книги / Функции комплексного переменного и их приложения. Ч. 1
.pdfЭто соотношение показывает, что разность (2.165) является бес конечно малой при г —>0. Но так как она при достаточно малом г постоянна, то просто равна нулю. Что и требовалось доказать.
Замечание 1. Если функция (р(z) аналитична в односвязан ной области D и на ограничивающем ее контуре L, то в силу теоремы Коши для односвязной области
f(p(z)dz = 0. |
(2.167) |
L
Замечание 2. Если в односвязной области D, ограниченной контуром L, есть точка z0, в которой нарушена аналитичность функции cp(z) (особая точка), причем эту функцию можно пред-
ставить в виде cp(z) = •f(z) |
, где |
/(z) - аналитическая функция |
|
z - z 0 |
|
|
|
на замыкании D , то в силу (2.163) имеем |
|
||
<j(p(z)dz = j |
dz = 2nif(z0). |
(2.168) |
|
L |
L 2 ~ |
z 0 |
|
Замечание 3. Если в ограниченной контуром L области D есть конечное число особых точек z,,z2,...,z„ функции cp(z), причем эта функция представима в виде
(p(z) = _______й й ______ |
(2.169) |
( z - z ,) ( z - z 2)...(z-z„)’ |
|
где /(z ) - аналитическая функция на замыкании D , то после
довательно выполняют следующие действия:
а) строят не пересекающиеся друг с другом и не выходящие за пределы области D вспомогательные контуры U, к = 1, ..., п, каждый из которых окружает только одну особую точку с соот
ветствующим номером (рис. 2.35); |
|
|
б) согласно теореме |
Коши для многосвязной |
области |
и (2.157) имеем |
|
|
f/(z)dz = X f/0 0 d z, |
(2.170) |
|
/. |
*=!/.* |
|
т.е. исходный интеграл сводится к сумме интегралов по контурам, каждый из которых окружает лишь одну особую точку;
в) в каждом к-м слагаемом правой части (2.170) подынте гральную функцию представляют в виде
т=1
т*к
Таким образом, функция gk{z) является аналитической
в односвязной области, ограниченной контуром Lk, и на самом контуре, а потому в силу (2.168)
j(p(z) dz = 2%igk(zk) = 2ni |
f ( zk) |
. |
|||
|
|
(2.171) |
|||
i* |
|
|
|
|
|
|
|
f i f |
e - |
0 |
|
|
|
|
m- 1 |
|
|
|
|
|
m*k |
|
|
г) в итоге согласно (2.170) и (2.171) находят |
|||||
<f/(z)dz = 2т f , |
f ( z) |
|
(2.172) |
||
|
|
|
|||
i |
к=i |
|
|
|
|
f i f e - 2»,) |
|
||||
|
|
|
|||
|
|
W=1 |
|
|
|
|
|
m±k |
|
|
|
Пример 2.35. Вычислить интеграл |
<f— |
+ 1 |
dz , г д е L - OK- |
||
|
|
|
L z |
|
ружность: 1) |z|= ~ ; 2) |z - i\ =1; 3) |z| = 2
1) Подынтегральная функция является аналитической
в замкнутом круге |z| < — (рис. 2.36). Поэтому на основании тео
ремы Коши для односвязной области интеграл равен нулю.
2) В области, ограниченной окружностью |z - zj = 1
(рис. 2.37), находится точка z = /, в которой нарушена аналитич ность подынтегральной функции, поскольку знаменатель дроби обращается в нуль. Представим функцию в виде
|
|
z2+l |
z —i z + i |
|
||
В силу аналитичности функции |
------ в круге |
z - fl < 1 |
||||
используя (2.168), получим |
|
z + i |
|
|||
|
|
|
||||
{ |
- 4 — dZ= |
- L |
------d :z |
= 2ni- — |
n |
|
e |
||||||
|z-/|=i |
2 + 1 |
|z-/|= i2 - i |
2 + 1 |
Z+ I |
3) В круге |z| < 2 (см. рис. 2.36) находятся две точки zx= i
и z2 = -i, в которых знаменатель подынтегральной функции об ращается в нуль, т.е. нарушена аналитичность. Окружим эти точки контурами Lx и Li, не пересекающимися между собой
и с окружностью |г| = 2. Тогда подынтегральная функция будет
аналитичной в трехсвязной области D, выделенной на рис. 2.37. По теореме Коши для многосвязной области следует
<f ■—— dz = 4 - j — dz + <f —j — d z .
Ы=2 Z + \ L\Z + \ z +1
Вычисляем их: |
|
|
|
|
|
1 |
e': |
|
= -ne. |
|
|
-dz = 2ni ■ |
||
L-, Z + 1 |
i2 z + / z - / |
z - i |
|
И окончательно находим
i |
. |
я |
_ e - e |
dz = — |
%e = - 2 я ------- = - 2 я s h l. |
||
| , | . 2 |
z |
|
|
2.23. Высшие производные аналитической функции. Достаточные условия аналитичности функции
Теорема. Аналитическая в окрестности H(Z0) точки z0
функция / (z ) имеет в этой точке производную любого порядка
п, которую вычисляют по формуле
(2.173)
где L - любой простой кусочно-гладкий контур, охватывающий
точку z0 и целиком лежащий в w(z0). |
|
|
|
Доказательство. В |
силу интегральной |
формулы Коши |
|
и |
f { z + h) =^ j — /(* ) xdz |
для лю |
|
2т L Z - Z0 |
Ъи Lz - [ z 0- h ) |
|
|
бого приращения he С, не выводящего точку |
z0 + h |
за преде |
|
лы области D. Отсюда |
|
|
|
f { z 0+ h\—f(zA |
1 . |
f(z\ |
Покажем, что
Это равносильно тому, что интеграл
стремится к нулю, при h -» 0.
Простой замкнутый контур L является ограниченным замк нутым множеством точек этой плоскости. Поэтому непрерывная на этом множестве функция |z - z0| комплексного переменного z
достигает на |
L своего наименьшего значения 8, а функция |
|/ (z)| - своего наибольшего значения А. |
|
Поскольку в равенстве (2.175) предел рассматривается при |
|
h —>0, будем |
рассматривать приращение h настолько малые, |
что |/г|< 8 . В |
этом случае |z - z 0-A |^||Z - Z0|- |/I||> 8 -|/I|. По- |
этому |
|
Используя оценку интеграла (2.151), запишем
(2.176)
где k - длина контура L. Так как правая часть (2.176) стремится к нулю при h -» 0, то и его левая часть так же стремится к ну лю. Это означает, что справедливо (2.175). После перехода в (2.174) к пределу при h —» 0, учитывая определение производ ной, получим
/ f r . ) - a . ^ « r * ) - / f a j . J - < r f f e L d, . (2.177)
л->о |
Л |
2m L{z - z 0f |
Аналогично доказываются равенства |
||
2 m L \ Z - Z Q ) |
|
2 T L I L [Z - Z 0 ) |
Пример 2.36. Вычислить интеграл
f (z2 +1)2z dz ,
где L - окружность |z| = 2 .
В области, ограниченной контуром L, лежат особые точки z\ = 0, z-i = /, z3 = -i подынтегральной функции (рис. 2.38). Окру жим каждую из этих точек соответственно контурами L\, L2и L3, не пересекающимися между собой и с контуром L. Тогда по
дынтегральная функция будет аналитической в четырехсвязной области D (см. рис. 2.38) и на ограничивающем ее составном контуре (на внешнем L и внутренних L\, 12 и L3). Согласно тео реме Коши для многосвязной области
i |
e'2dz |
eKdz |
f |
e'zAz |
-+ f |
eadz |
£ (^ + 1 )^ |
4 (z '+ l)'z |
4 |
(^ + l)^ z |
4 |
(z J+l)2z |
Вычисляем каждый из интегралов в отдельности:
|
t elzdz |
_ |
Л |
е'г<к |
_ |
|
|
еа |
= 27u; |
|
|
ц (z2 +1J z |
h z (z2 + l]f |
|
|
|
|||||
|
|
|
(z2 + 1)2 2=0 |
|||||||
j |
e“dz |
= . |
1 |
|
_ _ |
|
_ |
_______ |
||
7-2 (z2 + l f z |
|
Li { z - i f |
•* * |
- Ы |
. A . |
|
||||
|
(z + i f Z |
|
dz ^(z + l'^ z j^ |
|||||||
|
|
|
Z' |
• iz |
2e* |
|
|
|
\ |
|
|
= 2ni • |
le |
|
|
|
|
||||
|
|
(z + z^z |
(z + z)2z2 |
|||||||
|
|
|
(z + /)2z |
|||||||
|
|
|
= 2л/ • |
-i |
2e~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
№ |
|
(2ifi\ |
|
|||
|
|
|
|
v(2l)2 |
|
|
||||
|
|
|
|
2m ( |
1 |
1 |
Q |
|
Зтп |
|
|
|
|
|
e V |
4 |
4 |
4 J |
|
2e |
|
г |
e“dz |
_ |
r |
1 |
ес(1г |
|
|
. d |
|
|
Ц (z2 +i f z |
|
|
|
|
|
• = 2T O ------------- |
Цг- if z, |
|||
|
Ц (z +i)2 (z - i f z |
|
dz |
|||||||
|
= 2m |
|
ie* |
2ea |
|
|
|
|
||
|
( z - ^ z |
( r - i f z |
(z -/)2z2 |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
= 2 K i |
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
(-2Z)2 |
(-2iJ»(-f) |
|
(—2/)2(—/)2 |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
ле . |
|
|
|
|
|
|
U |
4 |
4. |
|
2 1 |
|
|
Окончательно получим |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
37t. |
ne |
|
2 _ i_ _ £ |
||
|
|
|
|
-dz = 2ni----- i ------i = ni |
||||||
|
L (z2 + 1)2:. |
2e |
2 |
|
v |
2e 2 |
|
В п. 2.16 приведены достаточные условия дифференцируе |
||||
мости |
функции |
комплексного |
переменного и делается вывод |
||
о |
том, |
что для |
аналитичности |
функции |
f{z) - и(х,у) + iv(x,у) |
в |
области D достаточно, чтобы |
и{х,у) |
и v(x,y) были сопря |
женными гармоническими функциями в этой области. Рассмот рим другие достаточные условия, которые сформулируем в виде теорем.
Теорема 1 (теорема Мореры). Пусть функция f(z ) непре рывна в односвязной области D, а интеграл от этой функции по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру, лежащему в D, равен нулю. Тогда функция f{z) аналитична в D.
Теорема 2. Если функция f{z) непрерывна на замыкании
D однозначной области D, ограниченной кусочно-гладким кон туром L, и для любого z е D верно равенство
2т LZ,-z
то функция f{z) аналитична в области D. Доказательства этих теорем приведены в работах [1,4].
2.24. Равномерная сходимость функциональных рядов. Свойства
Пусть на некотором множестве А с С определена после довательность {f,£z)} функции f„(z) (п = 0,1, ...) комплексного переменного z.
Определение 1. Функциональный ряд
£ /„ (* ) |
(2-179) |
пшо |
|
называют сходящимся в точке z0e А, |
если сходится число |
вой ряд |
|
£ //.(* о)-
п=О
Определение 2. Множество всех точек z е А , в которых функциональный ряд (2.179) сходится, называют областью схо димости этого функционального ряда.
В пунктах 2.8 и 2.9 были рассмотрены частные случаи функциональных рядов: степенные ряды, имеющие вид
оо
^ C n\z - z0f степенные ряды с отрицательными степенями
п=0
z - z 0, а также двусторонние степенные ряды. Было показано (см. п. 2.8, п. 2.9), что область сходимости степенного ряда представляет собой круг сходимости \z - z 0\< R, дополненный
некоторым множеством точек окружности |z - z 0| = R (может
быть пустым).
Область сходимости степенного ряда, состоящего из отри цательных степеней z - z 0, представляет собой внешность ок
ружности \z —z0| = г , дополненную некоторым (возможно,
пустым) множеством точек окружности. Наконец, область схо димости двустороннего степенного ряда представляет собой кольцо г <\z - zQ\< R , быть может, дополненное некоторым ко
личеством точек окружностей \z - z0| = г |
и |z - z0| = R . |
|
||
Если |
D - |
область сходимости |
функционального ряда |
|
(2.179), то на D определена сумма ряда |
|
|
||
|
|
5(г) = lim S„(z) = ton X /*(z), |
(2.180) |
|
|
|
Л ->аО £ _ Q |
|
|
где Sn(z) - |
п-я частичная сумма ряда (2.179). |
|
||
Можно записать в символическом виде условие (2.180): |
||||
Vs > 0 |
3п |
= п (в, z) е N: п>п => $ (* ) - 1 /* (2) |
<е |
|
|
|
|
к=0 |
|
Номер п* здесь зависит от е и от точки z е D , на что указы
вает обозначение п = и*(е,г). Практически важным является случай, когда номер п* можно выбрать один и тот же для всех
точек z некоторого |
множества M c D , т.е. когда он |
не зави |
||||
сит от z. |
|
|
|
|
|
|
Определение 3. |
Функциональный |
ряд (2.179) |
называют |
|||
равномерно сходящимся на множестве M c D , если |
|
|
||||
Ve > 0 |
3п |
= и’(е)е N :(\/и > V«*,zeM =>j5'(z)-5'n(z)(<s), |
||||
где S(z) - |
сумма этого функционального ряда, a Sn (z) |
- |
его и-я |
|||
частичная сумма. |
|
00 |
|
|
||
Обозначая остаток ряда Rn (z) = |
|
|
||||
£ f k(z ), получаем уело- |
||||||
|
|
|
к=п+\ |
|
|
|
вие равномерной сходимости ряда на множестве М в виде |
|
|||||
V e>0 |
Зи‘ =ji*(e)eN :(H > W*,Z G M =5>|i?n(z)|< e). |
(2.181) |
Отсюда следует, что если функциональный ряд (2.179) схо дится равномерно на множестве М, то он равномерно сходится и на любом его подмножестве М, с М .
Пример 2.37. Исходя из определения 3 равномерной схо
димости, |
доказать, что ряд 1 + z + z2 +... + zn +... |
не |
является |
равномерно сходящимся в своем круге сходимости |
\z\ <1, но |
||
сходится |
равномерно в любом замкнутом круге |
|z |< l - 5 , где |
О < б < 1 - любое малое положительное число.
Используем формулу для суммы геометрической прогрес сии при |z| < 1
Л+1
Rn(z) =z',+1 + zff+2 +... = zn+1(l + z + z2 +...) =
1 —z
Круг |z| < 1 содержит точки, сколь угодно близкие к точке z = 1. Гак как
zw+l limi?n(z)=lim ------= оо,
Z-»l |
Z->1 1 — Z |