книги / Функции комплексного переменного и их приложения. Ч. 1
.pdfЛюбую из обратных гиперболических функций можно вы разить через остальные функции. Ниже приведена соответст вующая таблица.
arsh JC |
±arch-\/x2+1 arth |
* |
|
|
|||
archx |
J. |
Vx2 - 1 |
|
± arsh 4 x 2 |
± arth---------- |
||
|
X |
||
arth x |
±arch—p i = |
|
|
arsh—p = i= |
|
||
arct x |
4 i ^ 7 |
|
|
± arch , X-—- |
arth— |
||
arsh -y—L = |
|||
V*! - i |
|
X |
Таблица. 1.2
to * arcth----------
JC
± arcth . X V*2 - l
- 1 arcth—
X
Легко убедиться в справедливости приведённых в таблице соотношений. Рассмотрим для примера функцию arsh х.
Пример. Пусть у = arsh х, тогда shy = х, следовательно,
chy = yjsh2y +\ = 4 х 2+ 1 ,
откуда |
|
|
|
|
у = ± arch 4 х 2+1 ; |
thy = |
shy _ |
х |
|
л/sh2 +1 |
4 х 2+1 |
|||
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
у = arth |
. |
Jsh 2y + 1 |
4 x 2+ 1 |
|
cthy = —---- ----- = ---------- |
||||
|
|
shy |
x |
откуда
у = arcth Vx2 +1
Аналогично проверяются и остальные соотношения. Суммы и разности обратных гиперболических функций выражаются следующим образом:
arsh х +arsh у = arsh(x-y/l + у 2 +ул]\ +х2), |
d-29) |
arsh х - arsh у = arsh(x-Jl + у 2 - jyV1+ х2), |
(1-30) |
arch х + arch у = arch^xy + -J(x2- 1)(y2 - 1) |
(1.31) |
arch x - arch у =arch^xy - ^{x2 - l)(_y2 - 1) |
(1.32) |
x + у |
(1.33) |
arthx + arth у = arth-------, |
|
1+ xy |
|
x —у |
(1.34) |
arth x - arth у = arth-------. |
1-x y
В качестве примера проверим формулу (1. 29).
Введём обозначения arsh х= и, arsh х = v , тогда shu = х ; shv = y; ch y = *Jx2 + 1; chv = -/y2+1
Преобразуем выражение
sh(arsh х + arsh у) = sh(n + v) = sh и ■ch v + ch и ■sh v = = X^jy2 +1+ y ^ x 2 + 1,
тогда
arsh x + arsh у = arsh ^x-Jy2~+1 + y-Jx2+1
Аналогично проверяются остальные формулы.
Подобно тому как гиперболические функции выражаются через показательные, обратные гиперболические функции могут быть выражены через логарифмические.
Рассмотрим конкретный пример.
Пусть |
дана функция >>= arshx |
отсюда |
следует, |
что |
||||
х ~ shy |
а |
т.к. |
еу -г~у |
|
ТО |
|
еУ- е'У |
или |
shy = ---------- |
|
X = ---------- |
||||||
е2у - 2х • еу -1 = О |
|
|
|
|
|
|
||
Решая |
квадратное уравнение |
относительно |
еу получим |
|||||
еу = х +VJC2 -h 1 |
(знак минус перед корнем не учитываем). |
|
||||||
Следовательно, |
у = In ^х + л/*2 +1 |
, а |
т.к. |
y = arshx, |
то, |
|||
окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arshjt = In + |
с2 +1 j . |
|
(1-35) |
||
Аналогично получаются следующие формулы: |
|
|||||||
|
|
archJC= In^JC± л/х2 -1 |
(x>l), |
(1.36) |
||||
|
|
|
a r t h x - i l n y ^ , |
(\х\<1), |
(1.37) |
|||
|
|
|
arcthx = - l n — |
, |
(|х|>1). |
(1.38) |
2х -1
1.4.Дифференцирование и интегрирование гиперболических и обратных гиперболических функций
Формулы дифференцирования гиперболических и обрат ных гиперболических функций можно свести в следующую таб лицу, представленную в работе [10]:
(sh х) = ch х, |
(1.39) |
(ch х)' = sh х, |
(1.40) |
(th*)'= 1 |
(1.41) |
ch х |
|
(cthx)' = — -V -, |
(1.42) |
|
|
sh'* |
|
(arsh х)' - |
,----- |
(1.43) |
|
yl + x2 |
|
(archx)'= |
/—---- , |
(1.44) |
|
VJC2 -1 |
|
(arth x)' - |
\ - x z |
(1.45) |
|
|
|
(arcthx)’= — г— . |
(1.46) |
|
|
x2- l |
|
Первые четыре формулы выводятся по определению гиперболических функций. Остановимся на выводе форму лы (1.39).
Пример. По определению sh х - ех - е -X |
Поэтому |
||
(sh х)' = |
е |
- е - х \ |
|
|
=- ( е х +е' с)= ch х. |
||
|
|
2 х |
|
Аналогично доказываются формулы (1.40-1.42).
Для доказательства формул (1.43-1.46) применим правило
, 1 дифференцирования обратной функции: Ух —~
Пример. Пусть у = arsh х, тогда х = sh у Дифференцируя
по у, получим х' =ch у |
|
|
1 |
1 |
т.к. ch у = |
Поэтому у'х - (arsh *)' = — = |
J\ + x2 ’ |
|
|
|
= д/l + sh2 у = Vl + х2 Произведя обращение таблицы производ
ных, получим таблицу интегралов:
Jch xdx =sh х + С, |
(1.47) |
Jsh xdx = ch x + C, |
(1.48) |
\— z—= th x + C, |
(1.49) |
Jch2x |
|
\-—j - =-cth x + C, |
(1.50) |
}sh2x |
|
arsh-j= + C, |
при a >0 |
f—j = = |
- ln(x + ylx2 + a) + C = ■ |
|
|
|
|
||||
y x 2 + a |
|
|
|
arch |
|
+ С, |
при |
a <0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
x |
+ C, |
при |
\x\<a |
f |
dx |
1 . |
x - a |
|
----arth— |
||||
+ C — |
a |
a |
|
|
|
||||
H |
— |
r = ^ - |n |
x + a |
1 |
x |
|
|
|
|
x |
- a |
2a |
|
|
при |
Ixl > a, |
|||
|
|
|
|
|
— arch— + С, |
||||
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
= 2 arctgex+ C.
chx
(1.51)
(1.52)
(1.53)
В качестве примера рассмотрим вопрос о вычислении инте грала от рациональной функции гиперболического синуса и ги
перболического косинуса. |
|
|
|
|
|
p?(sh х, ch x)dx |
вычислим |
с помощью подстановки |
|||
th— = z Тогда х = 2 arth2 , откуда dx = |
, в свою очередь |
||||
2 |
|
|
1— 2 |
|
|
|
s h - |
|
2 th — |
2 th — |
|
shx = 2sh—,ch—= 2— — ch2 —= -----—= --------— = |
, , |
||||
2 ' 2 |
ch± |
2 |
sch^ |
1-th2- |
' - г‘ |
|
|
|
|
1 th2 £ |
|
ch x = ch2 — + sh2 —= ch2 —fl + th2 —1 = ---------—= ^ - ^ 7. |
|||||
2 |
2 |
2{ |
2) х_ А 2Х 1- Z2 |
Подставляя полученные выражения shx, chx и dx через z в подынтегральное выражение, получим
p?(shx,chx)dx = Ji? |
2z |
l + z2> |
2dz = p?,(z)dz, |
|
1- z 2 |
l - z 2 |
\ —z |
где У?, - рациональная функция от z ,
dx
Пример. Вычислить j
(l + ch x)2
dx |
—= J— |
2 dz |
|
= - f ( i - z 2)cb = l |
Z ------- |
+c = |
|||
b n : - - |
|||||||||
[ |
|
|
|
|
|
|
|
z 3 ^ |
|
I2 |
V |
. |
2 V |
2 JV |
' |
2 |
b |
|
|
(l + chx) |
| |
1+ z |
|
|
|
|
|
l - z "
= I th * - I t h 3- + C.
2 2 6 2
1.5.Некоторые разложения гинерболических функций
вряды
Рассмотрим разложение показательной функции ех в ряд
по степеням х: |
|
|
|
|
|
* |
х |
х2 |
х3 |
х” |
|
е |
= 1 + — + — |
+ — |
+ . . . + — + ... |
(* ) |
|
|
1! |
2! |
3! |
л! |
|
Этот ряд абсолютно сходится при всех значениях х. Заменим в равенстве х на -х , получим разложение функции е~х
-X , х X1 X3 . „ х”
е=1 — + ----------+ ... + ( - 1) — + ...
1! 2! 3! л!
Составим полусумму и полуразность рядов (*) и (**); тогда по лучим
, |
X |
х 3 |
X5 |
Х~ |
1 |
(1-54) |
sh х = —н----- 1----- - |
(2л - |
• + |
||||
|
1! |
3! |
5! |
1)! |
|
. |
, X12 |
X4 |
0-55) |
ch JC = 1 + — |
+ — + . . . + -------------- + ... |
2! 4! (2л-2)!
Ряды (1.54) и (1.55) являются также абсолютно сходящими ся при всех х. Ниже приведём разложение некоторых других функций:
. |
х3 2х5 |
17х7 |
62х9 |
|
thx = x |
----- + -------------- + --------- ...+ |
|||
|
15 |
315 |
2835 |
(1.56) |
|
|
|
К |
|
+ 2 <2 |
-■>. к » . » . . |
к |
||
----<х< — |
||||
(2п)! |
|
2 |
2 |
В формуле (1.56) и во всех последующих Вп - числа Бер
нулли.
1 |
х |
|
х3 |
2х5 |
х |
|
X+ |
|
cth х = — + |
--------3 |
|
+ |
----------------945 |
4725 |
(2л)! |
(1.57) |
|
X |
|
45 |
|
|||||
|
|
|
(-7t<X<7t, Х*0), |
|
|
|||
. |
|
, |
х7 |
5х |
61х° |
71 |
71 ^ |
(1.58) |
schx = l ----- + ---------------+ |
... ----- < Х < |
— |
||||||
|
|
|
2 |
24 |
720 |
2 |
2 ) |
|
1 |
|
х |
7х3 |
31х5 |
(~л<х<л, |
х*0), |
(1.59) |
|
cshх = —- —+ — ----- |
|
+ |
х6 360 15120
|
arsh х = х - - |
1-3-х5 1-3-5х7 |
|||
|
|
|
■+ ...+ |
||
|
|
2-3 |
2-4-5 2-4-6-7 |
||
|
„ 1-3-5...(2л-1)х |
2л+1 |
(1.60) |
||
|
|
||||
|
+ ( - ! ) ' |
|
|
+ ...(-1< х < 1), |
|
|
2 -4 -6 —2л(2л + 1) |
|
|||
u |
X3 |
X5 |
х7 |
х2^ |
+ (—1 < х < 1). (1.61) |
arthx = х + — + — н-----+ ... + -------- |
|||||
|
3 |
5 |
7 |
2л+ 1 |
|
Для получения рядов (1.56) и (1.57) найдём сначала разло-
х
жение вспомогательной функции / (х) = —— в ряд по степе-
е —1
ням х, принявДО) = 1 согласно работе [10].
х |
п |
в. |
|
|
+... |
(*) |
-------—Вп |
н----- х + — х2 + ... + — У |
|||||
ех -1 |
0 |
1! |
2! |
п\ |
|
|
где в равенстве (*) В0,В],...,В„ - неизвестные коэффициенты.
Сдругой стороны,
х__________________1________________
У -1 , х |
У |
У |
х" |
(**) |
|
||||
2! |
3! |
4! |
(л + 1)! |
|
Сравнивая равенства (*) и (**), получим тождество
Вп+ — х + |
В2 v-2 |
|
Д , |
|||
х |
+... +- |
- У + |
||||
|
|
|
2! |
|
|
л! |
. |
X |
X |
X |
|
|
П |
X 1 |
+ — + — + ---- + ...+ |
|
- + ... |
|||
|
2! |
3! |
4! |
|
(« + 1)! |
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, полу чаем бесконечную систему уравнений относительно неизвест ных Д ,,Д ,...,Д , Приравнивая свободные члены, найдём
Во = 1. Приравнивая нулю коэффициент при У -1, получим об щий вид л-ro уравнения системы
— Во н-------- |
А + . 1 |
В, |
+ |
1 Дп—1 _ |
||
|
2! |
• |
= 0. (* * * ) |
|||
л! |
( л - 1)! 1! (л - 2)! |
|
1! |
( л - 1 ) ! |
Покажем, что все числа Вп с нечётными индексами в равенстве
(***), кроме В\, равны нулю.
Заменив в равенстве (*) х на -х, получим
-----------= В0 |
Д |
В |
В |
Д . |
|
----- -}х +-2 |
- У ---- W |
+... + (-1)" =BLXn +... |
|||
г х - \ |
0 |
1! |
2! |
3! |
л! |
Путём вычитания из (*) последнего равенства получим
_ 2Д 2Д |
-У +...+ |
2Д |
х + - |
2fc+l х2*+1 + |
ех - \ |
- 1 |
1! |
3! |
(2к + 1)! |
х |
х _ х |
хех |
_ х (1 - е х) |
ех -1 |
е~х -1 ” ех -1 |
1-е* |
~ ех -1 |
Сравнивая |
коэффициенты |
при |
одинаковых степенях х |
в правых частях двух последних равенств, получим |
|||
2В, = -1 ; ВЗ =В5 = ... =В2к+1 = |
= 0 (к= 1,2,3...). |
Запишем левую часть равенства (**) по аналогии с бино мом Ньютона в символическом виде. Эта формула в раскрытом виде даёт равенство (**), если показатели степени В заменить соответствующими индексами.
Приведём значения нескольких первых чисел В„:
В , - ^ ; В2 - ^ ; Въ- 0; |
Д, - |
|
В5- 0 ; В6 - |
Вп - 0; |
Во = ——; Вд =0; |
В,а= — ; В,, =0; Вп =— |
• |
||
30 |
10 |
66 |
2730 |
|
£ 13= 0 ; В,4 = - ... ит.д.
О
Числа В\, В2, Въ, ..., В„, ...и т.д. называются числами Бер
нулли. Таким образом, разложение функции |
имеет вид |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ех -1 |
|
X |
|
|
X |
Вт 7 |
В4 4 |
|
В2п |
7„ |
||
-------= 1-----+ — х~ + — х |
+... + —— X +... |
|||||||||
ех -1 |
|
|
2 |
2! |
|
4! |
|
|
(2«)! |
|
х |
|
х |
х(е*+1) |
х |
е2 + е - 2 |
х |
, х |
|||
Так как -------+ — = — ------- - = --------------- = —cth—, то, заменив |
||||||||||
ех - \ |
|
2 |
2{ех -1) |
2 |
-х |
|
i |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Р 2 |
— Р — 2 |
|
|
|
в последнем равенстве — на JC, будем иметь |
|
|||||||||
, |
1 |
~ 2 2п-Втп |
|
|
1 |
х |
х3 |
2х5 |
||
|
х |
t \ |
|
(2и)! |
|
|
х |
3 |
45 |
945 |
что соответствует приведённой формуле (1.57). Аналогично можно получить и другие соотношения.
Задания к главе 1
1. Проверить справедливость следующих формул:
a) sh2x = 2 th х 1- t h V
б) sh3x = 4sh3x + 3sh x;
в) sh(«+l)x = 2 chxshH x -sh(/?-l)x;
r) ch2x = |
1 + th2x1 |
|
||
|
|
1 - t h 2x ’ |
|
|
д) tli2x = |
2 |
|
||
th x +cth x ’ |
||||
|
|
|||
е) th3x = |
th3jc+ 3th JC |
|||
|
|
3th2 x + 1 |
’ |
|
. |
x |
sh x |
ch x -1 |
|
ж) tg — = |
--------- |
shx |
||
|
6 2 |
chx + l |
||
2. |
Доказать, что |
|
a)(ch x ± sh x)n = ch nx± sh nx;
6)sh2x - s h 2y = sh(x + y )s h (x - y ) = ch2x - 2 y;
в ) с Л х ± , „ ^ Ё ! к ± У 1 , sh x • ch у
3. Найти корни уравнения sh х - 3ch х + 9 = 0.
4.Выразить координаты точки М(х, у) гиперболы х2- у 2= а2 как функцию площади S гиперболического сектора OLM, огра ниченного дугой гиперболы LM и двумя лучами ОМ и OL, где L(x, -у) - точка, симметричная М относительно оси ОХ.
5.Доказать, что
a) arch х = 2 arch |
х + 1 =2arsh |
х —1 |
|
2 |
2 ; |
б) arth х = —arsh |
= —arch ^+ * ■; |
|
2 |
1- х 2 2 |
1- х 2 |
|
л |
|
в) arch х = ± In |
,(0 < х < 1). |
J