книги / Функции комплексного переменного и их приложения. Ч. 1
.pdfСумму такого числового ряда удобно записать компактно с помощью функции Бесселе первого рода первого порядка [12]:
М х ) = £ (-1) |
X\ 2*+1 |
%к\(к +1)! |
J , |
С учетом этого получим С_, |
= - У,(2) и resf{z) = |
|
2=0 |
=С_, = - 7 ,(2). Согласно теореме 2 res /(z ) = -С_, =«/,(2).
Г—00
Определение 2. Логарифмическим вычетом функции /(г)
в точке z - а называют вычет её логарифмической производной
/ ' И |
в этой точке, то есть значение |
|
|
/ W |
|
||
|
|
|
|
|
|
2K /?/(z) ’ |
|
где в качестве контура L интегрирования можно взять любую |
|||
окружность с центром в точке |
z = а , целиком лежащую в ука |
||
занной проколотой окрестности этой точки. |
|
||
|
Теорема 3. В нуле аналитической функции /(z) |
её лога |
|
рифмическая производная т |
имеет простой полюс, а лога |
||
|
Л 2) |
|
|
рифмический вычет равен кратности этого нуля. |
z - a - |
||
|
Для доказательства теоремы полагаем, что точка |
нуль кратности т функции f ( z ), аналитической в этой точке. Тогда согласно теореме 1 в некоторой окрестности этой точки
/(z ) = (z -a )m.(p(z), |
(2-242) |
|
где ф(z) - функция, |
аналитическая в точке |
z = a. причем |
ф (а)* 0 , и, стало быть, |
ф(г)* 0 в некоторой окрестности этой |
точки. Вычислив логарифмическую производную функции /(z ), получим
/'(z ) _ m(z - а)тА • ф(г)+(z - а)” • y'(z) _
f (z ) |
( z - a Y -<?(z) |
|
1 |
/mp(z)+(z-a)*cp'(z) |
__ |
1 |
|
|
||
|
z - a |
cp(z) |
|
z - |
a |
|
|
|
|
|
m + (z-a) |
ф'ОО |
|
m |
|
|
|
|
|
|
(p(z) z-+a z - a |
|
|
|
||
Согласно утверждению п. 2.28 заключаем, что точка |
z = a |
|||||||
является |
полюсом |
, |
f ' (2) |
|
тогда в соответствии |
|||
функции |
—-Ьг, |
|||||||
|
|
|
f v ) |
|
|
|
f '( z) |
|
с (2.233) вычет этой функции в точке z = а равен res |
|
|||||||
) / = от. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2=0 /(^ j |
|
|
Следствие 1. Если точка |
z = а - |
полюс функции f(z) по |
||||||
рядка т , |
то для логарифмической |
производной |
^ j Z |
этой |
||||
|
|
|
|
|
|
|
f v ) |
|
функции точка z = а является простым полюсом и вычет в нем равен -т.
Пример 2.60. Найти логарифмический вычет функции
/(z ) = — —^Z.^~ ^ в нулях этой функции и в полюсе. |
|
|||
( z - l ) |
|
|
|
|
Эта функция имеет простые нули в точках zx- |
2 и z? = 3. |
|||
Поэтому в силу теоремы 3 res |
f'iz) |
f'(z) |
Точка z =1 |
|
^ = res ^ |
^ = 1. |
является полюсом второго порядка этой функции, так что на ос новании следствия 1 получим
res 4 т = - 2 -
.-1 /(z )
Определение 3. Если /(z ) является аналитической функци
ей на замкнутом контуре L и не имеет нулей на этом контуре, то значение
(2.243)
I. f(z) |
2ni l f ( z ) |
называют логарифмическим вычетом функции /(z) относи тельно контура L .
Теорема 4 (теорема о логарифмическом вычете). Пусть не постоянная функция /(z ) анапитична всюду в односвязной об ласти D и на её границе - кусочно-гладком контуре L, кроме, возможно, некоторого конечного числа полюсов. Пусть функция также имеет конечное число нулей, причем на контуре L нет ни нулей, ни полюсов функции / (z), тогда
resЖ |
N - P , |
(2.244) |
L f ( z) |
|
|
где ТУ и Р —общее число соответственно нулей и полюсов функ ции /(z ) в D . Причем каждый нуль следует считать столько раз, какова его кратность, а каждый полюс - каков его порядок Доказательство теоремы 4 подробно изложено в работе [2].
Следствие 2. Логарифмический вычет многочлена Pn(z)
степени п относительно простого контура L, на котором нет нулей Рп(z), равен числу нулей многочлена (с учетом их крат ности) внутри контура.
Пример 2.61. Найти логарифмический вычет функции
/(z ) = (е2 - |
2) 2 относительно контура |zj = 8. |
|
В области, ограниченной этим контуром, данная функция |
||
не имеет |
полюсов, а |
её нули определяются уравнением |
е: -2 = 0, |
из которого |
находим zk = In2 = In2 + i2kк , k&Z. |
Чтобы найти все нули, попавшие внутрь окружности |z| = 8, на до найти все целые значения к , для которых |z*| < 8. Несложно установить, что этому условию удовлетворяют значения 0, ± 1, т.е. внутрь контура попадают z0 = ln2, z, = In2+ 2/я и z_1= In2 - 2 / л. Каждый из этих трех нулей имеет кратность
т - 2, так что по теореме 4 искомый логарифмический вычет равен 6.
Остановимся теперь на геометрической интерпретации теоремы 4, используя рис. 2.42.
По условию теоремы функция /(z ) аналитична на контуре
L и на нем отлична от нуля, тогда |
|
|
= |
ln |
(2-245) |
L A Z) |
L |
|
Здесь под In f{z) понимают ветвь многозначной логариф мической функции Ln f{z) = ln| f(z) | + /Arg f ( z ). Так как функ ция ln|/(z)| однозначна и непрерывна, то для выделения такой ветви достаточно выделить ветвь функции A rg /(z), задав зна чение аргумента в точке z0. При этом для произвольной точки z, е L имеем
A rg/(z,)= A rg/(z0)+AYpA rg/(z), |
(2.246) |
где ДГр Arg f{z) - приращение функции A rg/(z) при движении точки z е Z. из положения z0 в положение z, вдоль дуги у
контура L в положительном направлении в комплексной плос кости (z). Если уравнение контура L можно задать в виде z = z(/), /е [а ,р ] , то, используя (2.245) и (2.246), находим
|
Л |
|
= /Л и f(z(t))=Ln / ( z ( p ) ) -Ln f(z(a)) = |
|
|
l J \ |
Z ) |
a |
|
|
|
=]n|/(z(p)) j + /Arg /(z(p))-In|/(z(a)) |- |
(2.247) |
|
|
|
|
- /Arg /(z(a))= /Ai Arg /(z ) |
|
В |
силу |
замкнутости контура и однозначности функции |
||
Н / ( г1 |
имеем |
Jn|/(z(p)]( = ln|/(z(a))|. В (2.247) ALArg/(z) есть |
приращение аргумента Arg© вдоль кривой в плоскости Q, ко торую проходит точка f{z), когда точка z проходит в положи тельном направлении кривую L. Из (2.244) и (2.247) получим равенство
N - P =± A LArg f(z), |
(2.248) |
2л |
|
которое называется принципом аргумента. Принцип аргумента формулируется так: разность числа N нулей (с учетом их крат ности) и числа Р полюсов (с учетом их порядка) функции f(z) в области D , ограниченной контуром L , равна деленному на
2 л |
приращению аргумента этой функции при обходе L точкой |
z |
в положительном направлении (при условии, что функция |
/( z ) является аналитической во всех точках D , за исключением
конечного числа полюсов, и на L не имеет ни нулей, ни полю сов). Проанализируем применение принципа аргумента на кон кретном примере [7].
Пример 2.62. Установить, устойчива ли система автомати ческого регулирования, описываемая обыкновенным дифферен циальным уравнением
*IV + 2хт+ Зх’ +х' +2х = g(t),
где t - время, х = x(t) - выходной сигнал системы, g(t) - вход
ное воздействие.
Этому уравнению соответствует характеристическое урав нение Р4(А.)= 0, корнями которого являются нули многочлена
Р4(z) = z4 + 2z3 + 3z2 + z + 2.
Используя контур, построенный в работе [6], заключаем, что число нулей этого многочлена в правой полуплоскости равно
N = — lim Д |
Arg Р4(z)+ — |
Iim ATArg PA(z). |
(2.249) |
||||||
2 я р ->ю тр |
|
2 я р ->“ |
|
|
|
|
|
|
|
Используя представление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ж ) = |
2 |
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 + - + — + -3- + — |
|
|
|
|
|||||
|
z |
z |
z |
|
z |
|
|
|
|
Arg P4(z) = 4Argz + Arg^ , 2 |
3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
z |
z |
|
z |
z |
|
|
|
|
|
Для построения |
образа |
Г |
|||||
|
отрезка |
у |
между |
точками |
/р |
||||
|
и |
-ip |
мнимой оси при отобра |
||||||
|
жении |
сo = P4(z) |
с учетом |
на |
|||||
|
правления |
движения |
точки |
z |
|||||
|
(рис. 2.43) |
|
подставим |
z - - i t , |
|||||
|
/ е [~р;р], в |
Р4 и, выделив дей |
|||||||
|
ствительную |
и мнимую |
части, |
||||||
|
приходим |
к |
параметрическим |
||||||
|
уравнениям |
|
искомого |
образа |
|||||
|
в плоскости (О): |
|
|
|
|
||||
Рис. 2.43 |
|
u(t)=t* - 3 t2 + 2, |
v(t) = |
|
|||||
|
|
= 2t3- t, t e [-p;p]. |
|
|
Заметим что функция u{t) - четная, a v(t) - нечетная. По этому кривая Г' симметрична относительно действительной оси плоскости Q . При этом точке z = 0 (/ = 0) будет отвечать точка
(о0 = 2, двум точкам |
точка со |
. |
3 |
|
= — са- |
||
|
|
|
4 |
мопересечения кривой |
Г , а точкам z =±/р - |
|
точки |
<и,2 = р4 ~ Зр2 + 2 ± /р(2р2 - 1) (см. рис. 2.43). При движении точ
ки о из положения со в положение <», ее радиус-вектор пово
рачивается против часовой стрелки на угол -arg со,, а при даль нейшем движении в положение со2 в силу симметрии еще на тот же угол. Таким образом,
lim A Arg Р5 (z) = lim 2 • (- arg со,) = 2 lim arctg— |
' ■= 0 . |
||||
p - к о |
' |
p - к о |
p - к о |
р |
- Зр^ +2 |
Подставляя вычисленные значения пределов в (2.249), по лучим
2п
Следовательно, характеристическое уравнение Р4(х) имеет кор ни в правой полуплоскости, то есть их действительные части положительны. Это означает, что рассматриваемая система ав томатического регулирования неустойчива. В заключение этого пункта остановимся на теореме Руше, которая играет важную роль в приложениях высшей алгебры.
Теорема 5 (теорема Руше). Пусть f(z)n<p(z) - функции,
аналитические на замыкании D области D , ограниченной кон туром L , и во всех точках этого контура удовлетворяют нера венству
|cp(z) | > \f{z) |, zeL . |
(2.250) |
Тогда их сумма cp(z)+f{z) и функция ср(г) имеют в D одина
ковое число нулей (с учетом их кратности).
Приведем краткое доказательство этой теоремы. Полное её доказательство приведено, например, в работах [l, 4,7].
Так как |/(z)| ^ 0, z е D, то согласно (2.250) |cp(z)|>0 на контуре и в силу неравенств (2.15) |cp(z)+/(z)(>|<p(z)|-|/(z|>0. Итак, функции ср(г)и <p(z)+/(z) отличны от нуля на L. Запи шем соотношение
cp(z)+/(z)=cp(z)' 1+ z f e r |
(2.251) |
|||
|
|
|
ф(*)у |
|
откуда |
|
|
|
|
A/.Arg (ф(*)+/(*)) = АдArg <p(z)+ A/,Arg |
Фiz) J |
|||
|
|
|
|
|
Поскольку f ( z) <] |
на L, |
то при любом изменении zeL |
||
Ф(*) |
|
|
|
|
т |
|
f ( z) |
|
|
радиус-вектор точки ю= 1 + |
; ( |
не может повернуться в плос- |
||
|
|
ф(г) |
|
|
кости (о) вокруг точки со = 0. Следовательно, второе слагаемое в правой части (2.251) равно нулю. Следовательно,
АдArg (cp(z)+ f(z)) = AiArg <p(z)
Отсюда в силу принципа аргумента вытекает утверждение теоремы.
Пример 2,63. Выяснить, сколько корней имеет уравнение
z6 - 8z +10 = 0 в кольце 1 < |z| < 3.
Найдем сначала число корней этого уравнения внутри ок
ружности, |zj = 3, а затем - на окружности |z| = 1 и внутри её.
Тогда разность полученных результатов будет искомым числом корней данного уравнения.
Рассмотрим |
функции |
cp(z) = z6 |
и |
/(z )= - 8 z + 10. На ок |
|
ружности |
|z| = 3 |
имеем |
|г6| = Зб |
и |
|-8z + 10|<|-8z| + 10 = |
= 24 + 10, |
то есть |cp(z)| > |/(z )|. В силу теоремы Руше у функций |
<p(z) и cp(z)+/(z) внутри этой окружности по шесть нулей, по скольку уравнение <p(z)=0 имеет корень 2 = 0 кратности да= 6. Таким образом, у данного уравнения внутри окружности J'z =3
будет шесть корней.
На окружности |z| = 1 выполнено неравенство
|/(z)(=|-8zH -10j>|l0-|8z| = 2 > j(p(z]j=|z6| = L
Следовательно, на этой окружности данное уравнение не имеет корней, а внутри её число его корней и корней уравнения - 8z +10 = 0 одинаково. Но последнее уравнение не имеет там корней. Значит, там нет и корней данного уравнения. Оконча тельно заключаем, что данное по условию уравнение имеет шесть корней в кольце 1 < |zj < 3.
2.31. Вычисление интегралов от действительных функции
При помощи вычетов можно вычислять многие определен ные интегралы от действительных функций действительного переменного, причем такой подход часто приводит к цели быст рее, нежели известные методы интегрирования [3].
В рамках пункта 2.31 остановимся лишь на некоторых примерах.
1. Рассмотрим интегралы вида
2я
J7?(sin х, C O ST ) dr,
о
где R(u, V) - рациональная функция двух переменных.
Применив замену z = еа( dz = ieadr, dr = —i dz\j. этот инте
грал можно свести к контурному по окружности, Z.:.;zJj= I, при чем изменению г от 0 до 2к будет отвечать движение точки в комплексной плоскости (z) по окружности L в положитель ном направлении. Тогда по формулам Эйлера
|
|
|
оJ 1-2p co sx + p2 ’ |
ре (0,1). |
1 |
||||
|
|
ix |
. |
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
+ e |
|
___z |
|
e - e |
___ z |
|
|
cos* = - |
|
2 |
|
|
2 |
sin* = |
2/ |
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|||
Запишем искомый интеграл |
|
|
|||||||
2тг |
|
|
|
|
Л |
|
11 I |
z + — |
& = <fR,(z)dz, |
J/?(sin *, cos *) d* = <j/? r ± |
' |
||||||||
0 |
|
|
z, |
U 2i |
Z |
z / 2 |
|
|
|
где i?,(z) - рациональная функция |
z. Если эта рациональная |
||||||||
функция не имеет особых точек (полюсов) на окружности L, то |
|||||||||
в силу теоремы Коши о вычетах можно записать |
|
||||||||
|
|
2л |
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
p?(sin х, cosx)dx = 2я:/£ resRx(z), |
(2.252) |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
v=\z=zv |
|
где Zy, |
v = 1 , 2 , n - |
все полюсы рациональной функции R{(z), |
|||||||
лежащие внутри окружности |z| = 1. |
|
|
|||||||
2. |
Рассмотрим интеграл вида |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
d* |
|
|
|
|
Используем замену, аналогичную примеру 1, разобранному |
|||||||||
выше: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
z + — |
|
|
z = еа9dz = — dz, cos* = ----—, тогда |
|
|||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
2 |
|
|
2f |
|
d* |
|
_ r |
|
- /dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.253) |
i p z ! ~ 4 P ! + I)+ P ’