книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек
..pdfd*w |
|
ft |
_ |
/ <32® |
+_ÏL \ |
|
|
“ х,“ '' “â?"'дх2 |
Х2=И2— л |
|
V I F |
я* ' |
(2.61) |
||
|=х1+Т2_ ^ _ = - 2 |
д2Ш |
R |
dv |
ди |
)■ |
|
|
дхдг/ |
дх |
~дй |
|
||||
|
|
|
и |
|
|
|
а еь ег»Y=Yi+Y2 определяются по формулам (2.37). |
|||
Подставляя далее (2.59) в выражения для усилий (1.40) и |
|||
моментов (1.62), с учетом (1.38) находим |
|
||
Л/2 |
|
|
|
= J [ Вгг(ег+а3Хг)-y^^-+5ij(6j+a3Xj) ]^а3; |
|||
-/1/2 |
|
|
|
/1/2 |
|
+ (Yj+aaTj) ] da3; |
|
7\j= j Я66 [ (Yi+азТг) |
|||
-/i/2 |
|
|
(2.62) |
/i/2 |
|
|
|
M,i= J [ Дг-г(Ег+«зИг) |
!^ ^ |
+^u(sj+g3>Cj) 1 a3rfa3; |
|
—/i/2 |
l+азЛг |
|
j |
h/2 |
|
|
|
Mü= J £бб[ (y» +а3Тг) |
t^~°-\•-+ (Yj+tt3Tj) 1 a3da3. |
||
-h/2 L |
1+а3Лг |
J |
|
Разлагая далее подынтегральные функции в |
ряды по степеням |
а3 и удерживая все члены до а32 включительно, приходим к сле дующим выражениям для усилий и моментов в ортотропной ци линдрической оболочке:
|
|
|
|
W\ |
Dn 1d2w |
|
|
|||
|
|
|
, |
R |
/ |
R |
дх2 |
’ |
|
|
|
|
|
^22 |
/ d2iü |
|
w |
|
|||
|
|
|
+ |
R |
‘ |
ду* + |
R2 |
|||
|
ày |
|
' |
( |
1- |
ду |
|
d2w |
\ |
|
|
|
|
' |
R |
дх |
|
дхду / |
|||
|
|
|
|
|
|
ди |
|
d2w |
\ |
|
|
|
|
Ц - 1 - ---- h |
дхдуv |
Ь |
|||||
|
|
|
|
|
|
ду |
|
|||
л#„--- />,.-4^----Da ( j * |
____L * ! L \ ^ i i |
|
^“ <2'63 |
|||||||
|
дх2 |
ду2 |
R |
ду )~г |
|
|
дх |
|||
М2 |
- п ( |
^ |
. W \ |
|
п |
<Э2Ш |
|
|
||
|
— °2Л |
^ г +1>г! ~D» |
дх2 |
|
|
|
\ |
d2w |
1 |
до |
\ |
|
дхду |
R/ |
дх |
/ |
\ |
|
d2w |
1 |
du |
1 |
dv |
|
дхф |
2/? |
d*/ |
2R |
dx |
I ' |
Использованный здесь способ вывода соотношений упругости был впервые применен В. Флюгге [321] для изотропной и конст- руктивно-ортотропной цилиндрических оболочек. Соответствующая теория цилиндрических оболочек изложена также в монографиях [254, 322]. Обобщение данного подхода на оболочки произволь ной формы дано в работе А. И. Лурье [181].
Система (2.58) совместно с формулами (2.63) позволяет ре шать более широкий класс задач, чем уравнения технической тео рии цилиндрических оболочек (в том числе задачи деформирова ния, колебаний и устойчивости длинных оболочек, а также обо лочек средней длины при малых показателях изменяемости на пряженно-деформированного состояния в окружном направлении). Они будут использованы в главе 3 для выяснения пределов при менимости технической теории ортотропных цилиндрических обо
лочек к задачам колебаний и устойчивости.
ГЛАВА 3
С о б с т в е н н ы е к о л е б а н и я о р т о т р о п н ы х
ц и л и н д р и ч е с к и х о б о л о ч е к
Проводится исследование пределов применимости уравнений технической теории, основанных на модели Кирхгофа—ява, к расчету частот собственных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек. Оно осуществляется путем •сравнения с результатами расчетов по двум более совершенным вариантам теории цилиндрических оболочек —теории Флюгге и теории типа Тимошенко. Первая из них уточняет применяемые в технической теории уравнения равно весия, соотношения упругости и выражения для изменения кривизн и кручения, но не учитывает деформации поперечных сдвигов. Вторая, в свою очередь, учитывает поперечные сдвиги, но во всех остальных отношениях эквивалентна технической теории. Независимое сравнение с этими двумя вариантами теории цилиндрических оболочек позволяет, таким образом, установить пределы при менимости технической теории, основанной на модели Кирхгофа—ява, по всем входящим в задачу параметрам: соотношениям между длиной, радиусом итол щиной, между модулями поперечных сдвигов и модулями в плоскости слоя, а также по формам волнообразования в продольном и окружном направлениях.
Решение задач о собственных колебаниях конструкционных элементов имеет фундаментальное значение для разработки слож ных проблем динамики. При исследовании вынужденных и пара метрических колебаний, флаттера, нестационарного деформирова ния, динамической потери устойчивости и других процессов прямо или косвенно используется информация о большом количестве частот и форм собственных колебаний. Следует подчеркнуть при этом, что во многих задачах динамики важную роль играют срав нительно высокие пространственные формы колебаний. Это при дает особое значение вопросу обоснования исходных расчетных моделей, поскольку даже обеспечиваемая той или иной моделью высокая точность при решении задач статики и низкочастотных колебаний не всегда гарантирует ее применимость для анализа
высокочастотных или высокоскоростных процессов деформиро вания.
Проблема расчета собственных колебании тонкостенных обо лочек впервые поставлена Лявом [370], получившим также урав нения малых колебаний. В дальнейшем им были исследованы уравнения и выявлен вид решения для случая изгибных колеба ний цилиндрических оболочек [182]. В 1894 г. Рэлей получил формулу для собственных частот чисто изгибных колебаний ци линдрической оболочки [407]. Расчеты собственных частот сво бодно опертой цилиндрической оболочки впервые были проведены Флюгге [321], который установил существование для каждой изгибной формы колебаний группы из трех собственных частот. Задача расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки
■с защемленными торцами впервые рассмотрена А. П. Филиппо вым [252].
Большой вклад в теорию колебаний цилиндрических оболочек внесли работы Арнольда, Уорбертоиа [285, 286], где, в частности, сделай вывод о наличии минимума энергии деформации и, как следствие, минимума собственной частоты для вполне определен ного, зависящего от геометрических параметров оболочки, номера
окружной гармоники. В этих работах приведены также мате риалы обширных экспериментальных исследований колебаний стальных цилиндрических оболочек.
Необходимо особо отметить экспериментальную работу То биаса [442], в которой впервые рассматривались эффекты на чальных несовершенств при колебаниях цилиндрических оболочек
и было показано, что: 1) при наличии несовершенств расположе ние узловых плоскостей становится вполне фиксированным; 2) для каждой формы колебаний существуют две предпочтительные уз
ловые конфигурации, обладающие в общем случае различными собственными частотами; 3) разница между этими частотами мо
жет рассматриваться как мера имеющихся у тела несовершенств. Работы [182, 254, 285, 286, 442, 462] послужили основой для даль нейших теоретических и экспериментальных исследований в об ласти колебаний цилиндрических оболочек.
С середины 50-х гг. получила теоретическое развитие родст венная собственным колебаниям проблема распространения гар монических волн в бесконечно длинных цилиндрических оболоч ках. Первые исследования Смита [421, 422], Нагди, Купера [388], Лима, Моргана [366], Германа, Мирского [344] получили даль нейшее развитие в работах Купера, Нагди [304], Мирского, Гер мана [382, 383], 10 [463], Гринспоиа [334—337], Газнеа [326]. Они посвящены расчету дисперсионных кривых и изучению влия ния на них деформаций поперечных сдвигов и инерции вращения (для пластин эти вопросы впервые рассмотрены Мнидлн-
ном [379]).
Поскольку фазовая скорость гармонической волны выражается через частоту собственных ‘колебаний свободно опертой оболочки, то установленные в указанных работах результаты и выводы имеют самое прямое отношение к проблеме собственных колеба ний оболочек конечной длины и позволяют сформулировать сле дующий основной вывод. Учет поперечных сдвигов и инерции вра щения существенно расширяет (в сторону меньших длин волн) область применимости теории оболочек. Хотя авторы в большин стве случаев и не разделяли эффекты, обусловленные учетом по перечных сдвигов и инерции вращения, некоторые результаты (например, [344]) все же показывают, что эффект от учета по перечных сдвигов в количественном отношении намного превос ходит эффект от учета инерции вращения. Дальнейшее развитие данное направление динамики цилиндрических оболочек полу чило в работах [352, 353, 355, 390, 455, 456, 464], где рассматри вались однородные ортотропные, двухслойные, трехслойные, а за тем и общего типа многослойные оболочки. Ю. Н. Новичковым [206] получено решение для многослойной цилиндрической обо лочки регулярного строения. Результаты исследований по проб леме распространения гармонических волн [206, 337, 344, 366] имеют фундаментальное значение для выбора и обоснования рас четных моделей в динамике цилиндрических оболочек. Так, в [206] сформулирован вывод, что учет сдвиговых эффектов в жест ких слоях и инерционных членов, связанных с поворотом нормаль ных элементов, оказывается существенным только для динами ческих процессов с достаточно большим показателем изменяе мости. В волновых процессах такой учет необходим лишь для длин волн, сопоставимых с толщиной жестких слоев. К этому следует лишь добавить, что при расчете оболочек из композитных мате риалов, обладающих слабой сопротивляемостью поперечным сдви гам, необходимо учитывать еще один фактор — значения моду лей поперечных сдвигов. Если они достаточно малы по сравне нию с модулями упругости в плоскости слоя, то классическая теория может оказаться непригодной даже для длин волн, значи тельно превышающих толщину оболочки (или отдельного жест
кого слоя).
Исследования, проводившиеся в 60—70-е гг. в рамках класси ческой теории тонких цилиндрических оболочек, были направлены в основном на изучение влияния условий закрепления торцов на частоты и формы собственных колебаний. Общее решение задачи о собственных колебаниях изотропной цилиндрической оболочки,, допускающее рассмотрение в принципе любых граничных усло вий, предложено Форсбергом [323] и Уорбертоном [450]. Резуль таты, полученные конечно-разностными методами, были обобщены в [163]. Отметим также работы [109] (использовалась теория динамического краевого эффекта, разработанная В. В. Болоти ным) п [127, 263, 417] (для случаев граничных условий, отличных
от свободного опирания, применялись разнообразные приближен
ные методы). Исследования собственных колебаний цилиндриче ских оболочек асимптотическими методами подробно освещены в монографии [124]. Решения задачи о собственных колебаниях ци
линдрической оболочки рассматривались также на основе уравне ний трехмерной теории упругости [278, 292, 381 и др.]. Кроме
того, проводился анализ эффектов, связанных с предварительным статическим нагружением [205], с учетом тангенциальной инер ции [338]. Большое число работ посвящено учету начальных не совершенств формы оболочки. Проводились также обширные экс
периментальные исследования [329, 454].
С начала 60-х гг. развивалась теория собственных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек. К числу первых следует отнести работы В. С. Гонткевича [126], Мирского [381], Даса [307]. Колебания конструктивно-ортотропных оболочек исследо вались М. В. Никулиным [205]. В работе P. С. Сабировой [228]
рассматривалась оболочка из анизотропного материала более об щего типа. В целом же повторялся путь развития, пройденный теорией изотропных оболочек: от граничных условий свободного опирания к приближенным способам удовлетворения более слож
ным типам граничных условий и далее — к построению общего частотного уравнения, позволяющего рассматривать любые типы
граничных условий.
Большое внимание в последние годы уделялось задачам собст
венных колебаний армированных и многослойных цилиндрических оболочек (как ортотропных, так и относящихся к более общим типам анизотропии). Расчет собственных частот для многослойной оболочки с симметрично расположенными относительно средин ной поверхности изотропными слоями проведен Вейнгартеиом [453]. Во многих последующих работах рассматривался более общий случай оболочек, образованных из ортотропных, симметрично рас положенных относительно срединной поверхности слоев. В рам ках моделей Кирхгофа—Лява или Тимошенко, принимаемых для всего пакета слоев, такие оболочки, как известно, сводятся к од нородным, вследствие чего соответствующие задачи представляют интерес главным образом с точки зрения управления частотными характеристиками за счет изменения жесткостей и порядка чере дования слоев. Сравнительно небольшое число исследований по священо задачам колебании многослойных оболочек с несиммет ричной по толщине укладкой ортотропных слоев [52, 307, 354, 425]. В них изучались эффекты, обусловленные взаимным влия нием мембранных деформаций па моменты, а изгпбных деформа ций —на тангенциальные усилия. И, наконец, еще более общие типы многослойных анизотропных оболочек, в которых осп орготропни слоев не совпадают с направлениями координатных ли ний оболочки, рассматривались в [290], а затем в [332, 424] и ряде других работ. Данная проблема заключает в себе определен
ные принципиальные трудности и к настоящему времени наиме
нее разработана.
В дополнение к сказанному отметим, что ряд интересных ре зультатов по задачам собственных колебаний анизотропных, ар
мированных и многослойных оболочек получен в работах [24, 176, 177, 274, 294, 308—310, 330, 331, 347, 405, 406, 420, 432, 433]. В целом проблема собственных линейных колебаний цилиндри ческих оболочек в теоретическом плане к настоящему времени достаточно хорошо разработана. Однако по трем, по нашему мне нию, существенным прикладным вопросам — определению пре делов применимости технической теории (теории пологих оболо чек), пределов применимости модели Кирхгофа—Лява и допу стимости пренебрежения тангенциальной инерцией и инерцией вращения для ортотропных оболочек —до сих пор получены лишь фрагментарные количественные результаты. С целью восполнить этот пробел в данной главе представлено детальное исследование
перечисленных вопросов.
3.1. РАСЧЕТ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
И ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДЕЛОВ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Техническая теория цилиндрических оболочек*, как известно, имеет ограниченную применимость. Одно из требований этой тео рии заключается в том, чтобы при колебаниях и потере устойчи вости каждый из участков, заключенных между узловыми ли ниями, можно было рассматривать как пологую оболочку. В осе симметричных задачах это накладывает ограничение сверху на ширину кольцевых поясов, заключенных между соседними узло выми линиями, в неосесимметричных — ограничение сверху на размер образующихся вмятин и выпучин в окружном направлении. Вопрос о применимости теории Доннела к расчету цилиндриче ских оболочек на статические нагрузки обсуждался в [97, 115, 134, 135, 254, 351, 369 и др.].
В данном параграфе исследуются пределы применимости тех нической теории для расчета собственных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек путем сравнения с результатами расчета по уравнениям, основанным на модели Флюгге, приведенным в 2.3. Решение задачи о собственных колебаниях изотропных цилиндри ческих оболочек на основе уравнений Флюгге впервые приведено в работе [321] (соответствующие результаты изложены также в монографии [254]). В последующие годы уравнения Флюгге ис
* Взарубежной литературе она обычно называется теорией Доннела, ко торый впервые сформулировал и применил ее в задачах устойчивости [311J.
пользовались для расчета частот собственных колебаний многими зарубежными авторами (например, [314, 323, 450]). Несколько более простой, чем у Флюгге, вариант теории Тимошенко [441] применялся в работах [285, 286]. Теория Сандерса [297] исполь зовалась в [417]. Сравнительный анализ результатов расчета соб ственных частот по уравнениям Сандерса, Тимошенко и Флюгге, проведенный в [314], а также по уравнениям Сандерса и Флюгге, проведенный в [417], показал, что различия достигают порядка долей процента. Этот результат представляется закономерным, по скольку все перечисленные варианты теории тонких оболочек по лучены в рамках кинематической модели Кирхгофа—Лява и базируются на идентичных (или очень близких по существу) урав нениях равновесия и соотношениях между деформациями п пере мещениями.
Что касается сравнения результатов расчета частот собствен ных колебаний по уравнениям Доннела и по более точным (но остающимся в рамках модели Кирхгофа—Лява) вариантам урав нений, то, как следует из работ [314, 315], различия могут ока заться заметными (до нескольких десятков процентов) и возра стать с увеличением длины полуволны в осевом направлении и от ношения толщины оболочки к радиусу. Отметим еще раз, что во всех перечисленных работах рассматривались изотропные обо
лочки.
Обстоятельный сравнительный анализ результатов расчета ча стот собственных колебаний ортотропных оболочек на основе тео рии Лява [182] и теории Доннела представлен в работе [425]. Рассмотрены двух- и трехслойные оболочки с ортотропными сло ями. Исследовано влияние отношений длины L к радиусу У? и радиуса к толщине h на погрешность расчета низшей частоты ко лебаний по теории Доннела. Как показали результаты, эта теория дает завышенные по сравнению с теорией Лява значения. При R/h=20 для рассмотренной в [425] двухслойной оболочки низ шая частота отличается на 0,8; 4,5 и 24,6% при L/y?=0,5; 2 и 10 соответственно. При L/У?=50 низшая частота по Доннелу оказы вается в 3,1 раза большей. Для рассмотренных в [425] трехслой ных оболочек с У?/Л= 100 значения низших частот по Доннелу завышаются (в зависимости от структуры оболочки) на 0,5—1,0% при L/y? =0,5; 2,1—3,7% при LfR=2; 14,0—22,2% при L/y?=10 и до 40% при L//?=30. Заметное влияние на величину указанной погрешности оказывает соотношение между толщинами слоев в
трехслойном пакете. По-видимому, и для однородных ортотропных оболочек должна наблюдаться зависимость погрешности расчета
собственных частот, вносимая допущениями технической теории, от характера ортотропнн материала. Этому вопросу в дальнейшем
уделим особое внимание.
Рассмотрим решение линеаризованных уравнении движения ортотропной цилиндрической оболочки (2.58) с усилиями и
моментами, определенными согласно (2.63). Инерционные члены в соответствии с (2.56), (2.57) и соотношениями ух= - ~
уу=_ |
_ JJ-j имеют |
вид |
(штрихив последующих |
формулах |
||||||
опускаем): |
|
|
|
д2и |
|
h2 |
d3w |
|
|
|
|
|
p,— pii( |
|
|
|
|
||||
|
|
~Ж2 |
Ï2R~dxdt2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
d2v |
|
h2 |
d3w |
|
|
|
|
|
|
‘( - s - - 127? |
dydi2 |
|
|
|
|||
P3=~ph |
d2w |
F= _ l l t ( |
_ |
d3w |
2 |
d2v |
) ; (3.1) |
|||
~dt2~ |
1 |
|
12 \ |
|
dydt* |
R |
dt2 |
|||
|
|
Fi~ |
h3 |
t |
&w |
|
1 d2u |
\ |
|
|
|
|
P 12 |
' |
dxdt2 |
+ R dt‘ |
/ ‘ |
|
|
Предположим, что на каждый из торцов оболочки действует равномерно распределенное нормальное сжимающее усилие P(t) и что оно создает однородное напряженное состояние, определяе мое усилием Тц°=—Р. Допустим далее, что на внешнюю, боковую поверхность оболочки действует равномерно распределенная нор мальная следящая нагрузка — давление q(t), создающая одно родное докритическое напряженное состояние, определяемое уси
лием Тъ2°= —qR. Тогда, согласно формулам (2.55), получаем сле дующие выражения для «нагрузочных» членов:
|
|
д2и |
dw |
|
|
ду2 |
■ ь |
d2v |
|
dx |
|
+Г220 |
д2и |
(3.2) |
|
%2=Тц° - |
dxây ’ |
||
ох2 |
|
|
Х3=Тп |
d2w + r22» ( ^ + - ^ ) |
|
\ ду* + R* I * |
Подстановка (2.63), (3.1), (3.2) в (2.58) приводит к системе урав нении:
Г _ - L |
/ г . |
|
\ д2и , |
|
V à2v |
С12 |
dw |
|
" дх2 + (Си+— |
) — +(С12+Си) - ^ - + _ |
Их |
||||||
Du |
|
d3w |
|
|
|
àxdy |
R |
|
|
Dm |
d3w |
QI |
d2v |
1 dw \ |
+ |
||
R |
|
d^~+ |
R |
dxày2 |
11 \ dxây "**R âx I |
|||
+Г22°( |
d*u |
__LiïîM = |
/ д2и |
h2 |
à3w |
|
||
dy2 |
R |
dx I |
pI\ dt* |
™12R |
dxdt2 ) ; (3.3) |
д2и Сг2 àw Cs2‘lï7 + ( Сб6+-л?')'|^"+ *С12+Сб^ дхдУт R гду
J>n+W*i__Ё!^_+ rno^!l+Тй0'Т7Г=рЛ ( 5 " " |
|||||||||
|
Л |
|
дх‘ду |
+ 11 <?*2 |
_j . |
|
х л |
||
|
|
|
|
ft2 |
<Э3а> |
|
|
|
|
|
|
|
|
6/? |
<fy<5/2 |
d<ît> |
Ci2 |
|
|
|
|
|
|
|
d*w |
|
|
||
Л1,‘^ |
-+2(0,2+20и), ЛРд/’+° Я |
W + R |
дх + |
||||||
+ |
Ся dv |
Сп |
2Р22 Vw |
D ^m_ |
|
+ |
|||
Л |
ду+ R2 |
+ R* |
дуг |
+ R* |
d2w |
R дх |
|||
D66 |
д3и |
^12“Ь3/^66 |
d3v |
-7,,° |
|
( d2w |
|||
„ - - |
ж 4 |
||||||||
R |
дхду2 |
R |
dx2dy |
11 dx2 |
- тЛ |
||||
|
w |
\ |
Г d2w |
h2 if |
d4w |
d4w |
|
||
|
+Ж / |
- p,ll 1 Г “ “йИ\~dx3dP + |
‘di/dt2 |
||||||
|
|
|
1 |
дъи |
2 |
d3v |
\] |
|
|
|
|
|
R |
dxdt2 |
R дудР / J ' |
|
|
На торцах оболочки а*=0 и x=L будем предполагать условия
свободного опирания. Поскольку для «дополнительных» неосе симметричных компонентов напряженно-деформированного состоя
ния они однородны, имеем
° | ^ =0; e |.- w " 0: |
(3'4) |
Уравнениям (3.3) и граничным условиям (3.4) почленно удовлет воряют ряды
и(х, у, t) = |
[Umn (0 cosр„г/+Отп (0 sin$пу] cosатх; |
и(х, У, 0 =Х Xi |
sinр„//- Р„, *(0 cosp„f/] sinam.v; |
|
(3.5) |
|
[Cnn(0 COS P„t/+ ^mn (/) sinp„//] sina,„.v, |
где |
« |
|
|
|
T ' |