книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек
..pdfРис. 5.10. Зависимости критической скорости |
||
удара от толщины оболочки. Сплошные линии |
||
соответствуют: Г,-=400 |
МПа (/), |
600 (2), |
1200 (3). Штриховая линия —расчетная за |
||
висимость из [82]; точками отмечены |
экспери |
|
ментальные значения из |
[82]. |
|
Остальные обозначения см. в тексте |
|
(т. е. остаточного прогиба быть не должно). Это и было установ лено в эксперименте. Как показали расчеты, проведенные для других значений h и V*, максимальная величина функции Т в обо лочке возрастает по закону, близкому к линейному, с увеличением V* и уменьшением Л.
Будем считать критическим такое значение скорости удара Vkp=V*, при котором в заданных промежутках tœ[0,tc], *œ[0,L],
выполняется условие |
|
maxТ(т, х, z) = Ti. |
(5.26) |
Таким образом, VKp зависит от Г* как от параметра. Зависимости Vup(h) при различных 7\*, по крайней мере в исследованном нами диапазоне скоростей V* =0,4-1СН —0,7-10_3 и толщин Л=0,09— —0,13 мм, очень хорошо аппроксимируются линейными функциями (на рис. 5.10 изображены сплошными линиями). Штриховая линия соответствует теоретической зависимости, полученной в работе [82], при определении напряжений в невозмущенном состоянии оболочки на основе решения Сен-Венана и последующем исследо вании устойчивости движения исходя из линеаризованных урав нений. Кружками показаны некоторые из экспериментальных ре зультатов, приведенных в [82]. Для скорости удара, обозначенной светлым кружком, динамической потери устойчивости не наблю далось, тогда как при скорости, обозначенной зачерненным круж
ком, была установлена динамическая потеря устойчивости согласно использованным в [82] экспериментальным критериям.
Тот факт, что примененный нами критерий динамической по тери устойчивости (5.26) дает заниженное значение критической скорости, вполне объясним. Этот критерий, имеющий локальный характер, позволяет расчетным путем установить величину ско рости удара, при которой в местах наиболее интенсивного выпучи вания оболочки происходит образование первых локальных плас тических зон. За исключением тех ситуаций, когда данный крите рий вообще неприменим (если, в частности, процесс динамического выпучивания протекает в условиях упругого поведения матери ала), он, естественно, приводит к более низким величинам УКр по «сравнению с экспериментальными значениями, при которых можно визуально установить изменения формы оболочки. Добавим, что путем подбора определенного значения 7\ можно хорошо согласо вать полученные теоретические результаты с экспериментальными данными. Этот условный «предел текучести», превышающий ис тинный предел текучести материала, соотносится с условиями на гружения, при которых кольцевая складка целиком переходит в пластическое состояние.
В заключение отметим, что методика, разработанная в 5.1, не позволяет описать все многообразие экспериментальных резуль татов, полученных в [82]. Так, из 17 испытанных образцов 10 по теряли устойчивость у нижнего торца, 7 —у верхнего. Расчетным путем нам не удалось получить значения функции Г, большие у верхнего торца, чем у нижнего. Кроме того, на одном из образцов в [82] было установлено образование серии ромбовидных выпучин у нижнего торца, возникновение одиночной вмятины в сред ней части оболочки и перемещение этой вмятины к верхнему торцу. Это свидетельствует о наличии процесса неосеснмметрнчного динамического выпучивания, для описания которого следует использовать более общую постановку задачи и специальные ме
тоды решения.
5.3. РАСЧЕТ НЕОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ТОРЦЕВОМ УДАРЕ
Первая попытка разработать методику расчета, учитывающую одновременно процессы распространения возмущении в срединной поверхности, осесимметричного и неосесимметричного динамичес кого выпучивания, была предпринята в работе [37]. Задача реша лась с использованием метода Бубнова—Галеркина по окружной координате, метода конечных разностей по продольной координате и в конечном итоге была сведена к интегрированию системы нели нейных алгебраических и обыкновенных дифференциальных урав нений. Численные результаты, полученные фактически для лолубесконечной оболочки, показали, что в течение некоторого
промежутка времени после приложения нагрузки наряду с рас
пространением возмущений в срединной поверхности развивается лишь осесимметричная форма выпучивания в окрестности ударяе
мого торца. По достижении нагрузкой определенной величины осесимметричная форма постепенно трансформируется в иеосесимметричную. Методика, изложенная в [37], получила развитие в. [59] на случай оболочки конечной длины, изготовленной из ортотропного материала.
Уравнения движения оболочки примем в форме (2.36), по ложив
X*I=Х*2=X*F*I =F*2= Ф*1 =Ф*2=0; Р*\= —р- • ;
P*2=-|i |
à2v |
Р*з=—р- d2w |
|
|
dt2 ’ |
‘ ° |
** dt2 |
и введя обозначения: T*n=Nx, |
T*2i =T*l2=T, T*22=Ny. |
С учетом (2.41), (2.45) эти уравнения преобразуются к виду
|
|
dNx |
|
дТ |
д2и |
|
|
|
дх + ду ~^~дР |
|
|||
|
|
дТ |
|
дЫу _ |
d2v |
|
|
|
дх + ду -fl dp ’ |
|
|||
Ел -Du |
дА(w —wü) |
—2(Z)i2+2D66) d*(w—w°) |
||||
R |
|
дх* |
|
д ( ïr |
dw |
дх2ду2 |
-D3 |
d*(w —w°) |
|
„ dw \ |
|||
|
dy* |
|
дх |
дх |
|
|
|
|
|
+~d7\Nx^dT+ J-dy7) + |
|||
|
, |
д l r dw |
|
. a; dw |
\ |
d*w |
+d i \ T~dT+Ny~dir)=ildy |
-dt2 |
Согласно (2.41), (2.45), имеют место соотношения
(5.27>
(5.28)
(5.29>
|
„ Г du |
, |
1 f |
dw Y |
1 / |
dw° \2 1 |
|
|
|||||
N: _Cl,l |
|
|
4 |
дх |
)2 |
4 |
|
дх |
) |
+ |
|
||
дх + 2 |
V\ |
') |
2 V\ |
|
|||||||||
_ |
Г dv |
w —w° |
|
1 / |
dw |
\2 |
1 / |
dw0 \21 |
|
||||
+ С‘2 Ldÿ~+ |
|
R |
+Т\~ду' ) ~~2 ( ~dÿ~) -I ’ |
|
|||||||||
„ |
„ Г du |
|
1 / |
dw \2 |
1 / дш° у 1 |
+ |
|
||||||
Af„=C12[ — +у |
( — |
) - y ( - â r ) J |
(5.30) |
||||||||||
_ |
Г dv |
w —w° |
|
1/ dw |
\2 |
1 / dw° \21 |
|||||||
|
|
||||||||||||
+ C22L ^ + |
|
R |
+Т \ ~dÿ / ~ ~ ï\~ df) |
J ’ |
|
||||||||
|
/ du |
|
dv |
dw |
dw |
dw° |
dw° \ |
|
|
||||
|
66 \ du |
|
dx |
|
dx |
du |
dx |
|
du / |
|
|
Начальный прогиб оболочки в общем случае может быть представлен в виде разложения в ряд Фурье по окружной коор динате:
w°(x, у) =w0°(x) + ^ [шп°(х) cosM+^n°(*) sinр„0],
n=i |
(5.31) |
где fin =nlR. Предположим длянаглядности, чтов (5.31) отлично от нуля осесимметричное слагаемое Wo°(x) и один из коэффициентов Фурье адп°(*), соответствующий некоторому фиксированному но меру п окружной гармоники (аналогичное допущение сделано в £37]; случай, когда отлично от нуля конечное число коэффициен тов Фурье в разложении (5.31), подробно исследован в 5.4). Итак, начальный прогиб оболочки запишем в виде
w°(x, у) =w0°{x)+wn°{x) cospni/. |
(5.32) |
В аппроксимации прогиба по окружной координате также огра ничимся осесимметричной составляющей и одной гармоникой ряда Фурье, соответствующей тому же значению п, что и в (5.32):
W{х}у,t) =w0(х, t)+wn (х, t) cospn0. |
(5.33) |
Используя (5.32) и (5.33), из уравнений (5.27), (5.28) можно ус тановить следующие зависимости и и и от координаты у:
и (х, у t)=u0 (х, t)+Un (X,t) cosPny+u2n (x, t) cos2Pny; |
' |
v(x,y, t)=Vn{x,t) sinpn0+u2n(x, t) Sin2pnt/, |
где m0, un, u2n, vn, v2n —функции, подлежащие определению. Под ставив (5.32)—(5.34) в (5.30), разделив осесимметричную и неосе симметричную части, для усилий получаем
|
NX=NX°+NX"; |
Ny~NJ>+Nf; |
Т=Р', |
(5.35) |
|||
где осесимметричные слагаемые |
|
|
|
|
|||
-г |
г ди° + 1 / dwQ)г . ч |
dwn \2 |
1 / ô»0° \2 |
||||
■Cl' 11ьГ+1Л и г ) + Л |
дх 1 |
2 \ |
дх ' |
||||
1 1 |
дх |
\ 21 +Ci2 [ |
ш0°- w0 |
г |
|
|
|
4 \ |
) 1 |
R |
+т |
|
|
||
.NU^ C 1 Г <Э«о |
1J( dw0 |
) Ч ( |
dw„ \ 2 |
11 |
аюо° |
||
s L“â r +7 '1 дх |
дх |
/ |
2 ' |
дх |
4 V дх / J |
L |
|
а неосесимметричные имеют вид |
|
|
Nx'l=N'x cosPnlH-W"* cos2§ny\ Ny"=N'v cosp„*/+N"v cos2pn*/; |
||
Г= Г sin рпг/+ Г"sin2р„г/. |
37^ |
Пренебрежем далее в уравнениях (5.27) и (5.28) инерционными членами, связанными с неосесимметричными составляющими тан-
генциальных перемещений: |
д2ип |
d2u2v |
d2vn |
d2v2n |
Тогда при |
|||
|
|
|
dt2~’ |
~dt2 |
||||
учете (5.35) из (5.27) получаем уравнение |
|
|
|
|||||
|
|
dNx°-=\i- |
д2и0 |
|
|
(5.38) |
||
Для |
|
дх |
dt2 |
|
|
|
||
неосесимметрнчных составляющих усилий можно ввести |
||||||||
, |
А |
|
д, |
|
д2Фп |
|
д2Фп т |
д2Фп |
функцию ф„(х, у, О такую, что Nx«= |
|
|
Т=~~дЩ> |
и привлечь известное уравнение совместности деформаций, прини
мающее с учетом (5.32), (5.33), |
(5.36) вид |
|
|
|
|
|||||
An^ |
+iAm+2Ai2)J ^ |
r+ A ,2 |
дхА |
|
||||||
|
ду‘ |
|
|
|
дх2ду2 |
|
|
|||
Г „ ,/ |
|
|
\ |
|
|
|
о\ |
1 |
0 |
|
<32Ш0 |
<Э*2 |
, 1 d2(wn-wn°) |
||||||||
= 1р" \ w*~dxft? |
) +~R------- д? |
|
J C0SM+ |
|||||||
1 „ J |
à2w„ |
|
„ |
д2ш„° / |
дшп |
\ 2 |
, |
|||
2 |
Pn LWn |
дх2 |
Wn |
дх2 |
\ |
дх / |
+ |
|||
|
|
( - ^ |
- ) 2] cos2m , |
|
|
|
(5.39) |
|||
где Ац — податливости ортотропного |
материала, |
вычисляемые |
через Cfj по известным формулам [24]. Представив, согласно виду
правой |
части |
(5.39), |
функцию |
Фп |
в |
форме |
Фп (х,у, t) = |
||
=<Рп(дг,/)cos Рп1/+ф2п (х, 0 cos2рпу, получим два уравнения: |
|||||||||
|
^22— |
---Рп2 (Дб6+2Л12) —^ |
---НрпМпфп — |
|
|||||
|
|
|
|
|
d2w0 |
d2w0° |
)■ |
||
|
|
|
|
|
дх2 |
|
дх2 |
||
|
^22— |
|
—4Pn2(^66+2^12> ■ |
---H16Pn4^ll4>2n = |
(5.40) |
||||
|
|
|
|||||||
_ 1 „ |
,Г |
d*w„ |
„ d2Wn |
I |
dWn |
\ 2 , / |
cto„° y \ |
Неосесимметричные составляющие усилий принимают вид: NxU= - Рп2фп cosРпУ-4Рп2ф2п cos2$пУ\
Nи1=~" - cosрпУ+— 'cos2Mî |
(5'41> |
<5ф2п
Т=рп (- ■sinp n ÿ + 2 - sin2рпу) •
Наконец, подстановка в (5.29) выражений (5.32)—(5.34), (5.35), (5.41) и применение процедуры ортогонализации приводит к двум уравнениям:
d2w0 _ |
Ny° |
d*(w0-w0Q) |
, д w |
“ 5F“ |
R— ° n |
d? |
+ ax x |
(5.42)
d2wn
X * < V > - W .. - ... ) + - £ - ( w - % - ) -
Таким образом, задача сведена к решению системы пяти урав нений (5.38), (5.40), (5.42), содержащей неизвестные функции
«о, w0t wn, фп, Ф2п. Отметим, что введение функции усилий не яв ляется принципиальным, а позволяет лишь снизить число оконча тельных уравнении с семи до пяти и записать их в более компакт
ной форме.
Приведем условия на торцах оболочки, для которых будут про водиться последующие численные расчеты. Принимая, что во всех случаях к обоим торцам приложены одинаковые, равномерно рас
пределенные сжимающие усилия Р(0> для составляющих осевого усилия имеем
Nx° | x~o,L=-P{t)\ |
(5.43) |
MchU-o,l=0, |
(5.44) |
причем (5.44) приводится к виду |
|
фп I п:—0,L=ф2п | .r-.0,L==0. |
(5.45) |
Будем считать, что окружное перемещение v на торцах равно нулю; это условие формулируется в виде
а2<р» |
| |
=0. |
(5.46) |
дх2 |
I *=.0,1, |
дх2 I .%•—0,1, |
|
12-ПИ
Для прогиба будем задавать один из следующих трех типов гра ничных условий:
|
|
d2w0 |
| |
=wn |
I |
') |
W° I .v-O.Z.= |
dx2 |
1x=0,I. |
х—0,1. |
|
2) |
I ,-ОД. ‘ |
dw0 |
|
=Wn |
x=0,L |
dx |
|
||||
3) |
dw0 |
d3w0 |
|
dwn |
|
dx |
~dx3~ |
|
dx |
Начальные условия зададим в виде
d2wn |
1X«0,jL=0; |
(5.47) |
dx2 |
||
dwn |
Ix—0,1. =0; |
(5.48) |
dx |
d3wn |
=0. |
|
dx3 |
||
(5.49) |
||
|
I |
dwn I |
I |
dwn |
=0. |
|
- â r L 0=°: |
“4< -°=“’n |
àt |
|
|
(5.50) |
|||
|
|
|
|
Следует отметить одну важную особенность поставленной за дачи. В линейном приближении она распадается на две независи
мые. Осесимметричная деформация описывается системой урав нений
d2u0 |
duo |
+ C12 |
w0—w0° |
dt2 |
dx |
h |
|
d2w0 |
W0—Wo° |
(5.51) |
|
-) -D n-d^ W°~Wo^ |
|||
~ W ------И С12^ Г |
+Си' |
|
dx* |
с неоднородными граничными условиями на торцах (5.43). Неосе симметричная деформация описывается уравнением
d2wn |
1 |
d \n |
d4(wn—wn°) |
+2рп2(/)12+27)6б) X |
||
dt2 |
R |
dx2 ~Dn |
dx4 |
|
|
|
|
X |
d2(wn-wn°) |
-D22$nA{Wn- |
i, |
(5.52) |
|
|
dx2 |
|
|
|
|
очевидным решением которого при любых вариантах осесиммет
ричного закрепления торцов и начальных условиях (5.50) явля ется
cpn{x, t) =0; wn(x,t)=wn°(x). |
(5.53) |
Следовательно, информация об осесимметричном нагружении тор цов оболочки поступает к неосесимметричным формам деформи рования лишь посредством группы нелинейных членов
NXQ |
dwn |
1 PnW |
d2w0 |
dx |
рп2фп — |
||
|
|
dx2 |
входящих в уравнение (5.42). Ясно поэтому, что при численном интегрировании задачи их необходимо вычислять с особой точ ностью. Даже небольшие погрешности в определении, например,
усилия Nx° могут сильно исказить результаты расчета процесса
неосесимметричного деформирования оболочки.
Численное решение смешанной краевой задачи проводится, как и в 5.1, согласно продольной схеме метода прямых. Конечно-раз ностная аппроксимация прогиба и его производных описана в 5.1. Дополнительно отметим, что при граничных условиях (5.45), (5.46) имеют место соотношения:
срЛо=фА(*+‘)=0; фА(-1)=-фЛ(1); фА(Л'+2)= _фк<л> k=n,2n,
а неоднородное граничное условие (5.43) с учетом (5.36) записы вается в виде
1 ( dwn0 \ 21 „ Г “'о-о'о0 |
Рп2 ч, |
|
~ ~ \ ~ д Г ) \~ Cin — |
R-------- г _х |
|
X (а»»1- » .01)!} |
=-Р(/). |
(5.54) |
J3x=0,L |
|
|
Получаемая в конечном итоге система разностных уравнений интегрируется по времени в следующей последовательности.
1. На каждом шаге по времени решаются две линейные отно
сительно фп>фгп системы N алгебраических уравнений, полученных при конечно-разностной аппроксимации уравнений (5.40). Для этого используется метод пятидиагональнон прогонки; значения функций фп и фгп в узлах сетки выражаются через значения w0
и wn: |
фА(г)==ф/4(г)[а,0(1)>Wo(2)f |
W0(N\ Шп(1), . . . , |
; |
(5.55) |
|
k=n,2n; |
i= l,...,iV. |
|
|
2. Выражения (5.55) подставляются в систему 3iVнелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, по лученную при конечно-разностной аппроксимации уравнений (5.38), (5.42). Сформулированная задача Коши интегрируется методом Рунге—Кутта четвертого порядка; в результате находятся функ
ции «o(i,(0» &n(i)(0-
3. С использованием выражений (5.55), а также формул (5.35), (5.36), (5.41) вычисляются усилия, а затем при необходимости — напряжения и деформации в любой точке оболочки в произволь
ный момент времени.
Рассмотрим оболочку с темн же параметрами, что и в 5.1. Осе симметричную составляющую начального прогиба w0° будем считать равной нулю, неосесимметричную составляющую для фик сированного п зададим посредством ряда
приняв распределение коэффициентов Фурье Wmn° в виде
|
Wmn°=0,2h |
(-1У |
(5.57) |
|
|
т 2 |
|
f т |
. т +1 |
—при нечетном.Для проведения |
|
где 1=~2 |
ПРИ111четном и 1=~2— |
расчетов по описанной методике необходимо предварительно вы числить функцию доп0(*)> просуммировав ряд (5.56).
Осевое сжимающее усилие на торцах, как и в 5.1, будем счи тать линейно возрастающим во времени (5.20). В дальнейшем, если специально не оговорено, принимается VP =5.
Рассмотрим некоторые результаты численных расчетов, прове денных для варианта граничных условий свободного опирания:
ш0= |
d2w0 |
=wn= |
d2wn |
=0 при х=0, L. |
(5.58) |
дх2 |
дх2 |
Принимается, что начальный прогиб отличен от нуля только для окружной гармоники п=3.
Сходимость результатов расчета прогиба проверялась измене нием числа узлов разностной схемы N. На рис. 5.11 показано, как изменяются значения о>3 в нескольких сечениях оболочки с уве личением N от 99 до 299 (результаты, обозначенные точками, об суждаются в 5.5). Все численные результаты настоящего пара графа получены при N—299.
На рис. 5.12 приведены зависимости ге0 (а:) и ку3(а') в несколько последовательных моментов времени. Как видно, в оболочке па раллельно протекают два процесса: осесимметричное выпучивание в краевой зоне и неосесимметричное — в средней. Интенсивное развитие осесимметричных изгибных деформаций в непосредствен ной окрестности торцов объясняется стеснением их подвижности в радиальном направлении. В свою очередь, главным фактором, определяющим местоположение зоны интенсивного развития не осесимметричных деформаций, является вид функции wn°(x), за дающей начальные несовершенства формы оболочки.
Рис. 5.11. Иллюстрация сходимости разностной схемы (N —число узлов). Цифры у кривых со ответствуют значениям координаты .v: 1—0,36L; 2 —0.42L; 3 —0.48L; 4 —0.54L; 5 —0,661
0.3 |
w0/h |
0 |
|
Рис. 5.12. Процесс развития во времени осесимметричной и неосесимметричной составляющих прогиба. Штриховые ли нии соответствую решению задачи неосеснмметрнчного динамического выпучивания методом Бубнова—Галеркнна
Влияние условий закрепления торцов на зависимость неосесим метричной составляющей прогиба от координаты х иллюстрирует рис. 5.13, где помимо граничных условий свободного опирання (5.58) рассмотрены также условия защемления
|
|
dw0 |
ÔWn л |
л г |
/с |
|
w0=----- -=»„=----—=0, |
при л =0, L |
(5.59) |
||
|
|
ох |
ох |
|
|
и условия свободного края |
d3wn= 0, |
|
|
||
dw0 |
d3w0 |
dwn |
при л*=0, L. |
(5.60) |
|
дх |
дх3 |
дх |
дх3 |
|
|