книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек
..pdfПодставляя далее (1.17) в (1.46), находим:
**,•=(Xi+-Xi-) { ) + № +-^-)vj- №+-*з-)е,;
Х*3= (Хз+-Х3-) ( l+ei+ e2+-^9i2+Y022+t-30) +
+ (Xi+—X\ )'01 + (X2+—X2 )02- |
(1.48) |
•Функция i>3°, входящая в T*i3 и X \ определяется согласно (1.27).
Возвращаясь к соотношениям упругости (1.41) и (1.47), сле дует заметить, что в них опущены слагаемые, связанные с подын тегральными функциями, пропорциональными аз2. Это упрощение отвечает точности, примятой в рассматриваемом варианте теории, при соблюдении условий (1.13). При необходимости удовлетворе ния определенным формальным требованиям (в частности, тео реме взаимности и шестому уравнению равновесия) их можно модифицировать. Простейший вариант такой модификации со стоит, видимо, в получении нелинейного аналога распространен ных в линейной теории оболочек формул Новожилова—Бала- буха [209], рассмотренного в работе [260]. Не вызывает принци пиальных затруднений (несмотря на очевидную громоздкость) обобщение на нелинейный случай известных соотношений упруго сти, полученных А. И. Лурье [181] или А. Л. Гольденвейзером [123]. При этом следует иметь в виду, что соответствующих уточ нений потребуют также и приведенные выше формулы для дефор маций. Несогласованные уточнения отдельных элементов теории, остающиеся в рамках исходной гипотезы о линейном распределе нии перемещений по толщине (1.1), не гарантируют улучшения конечного результата.
Проблема выбора соотношений упругости в линейной теории оболочек детально обсуждалась в монографиях [94, 123, 209] и
вмногочисленных других работах. Очевидно, сформулированные
В.В. Новожиловым [209] и А. Л. Гольденвейзером [123] требо
вания, состоящие в том, чтобы соотношения упругости были 1) ли шены формальных противоречий и 2) приводили к наиболее про стым (в рамках принятой точности) выкладкам, остаются в силе и в нелинейной теории оболочек, для которой второе требование приобретает особое практическое значение.
1.4. МОМЕНТЫ
Перейдем к выводу уравнений равновесия относительно мо ментов. В нелинейной теории оболочек он является наиболее
сложным. Известно несколько способов получения этих уравне ний [135, 148, 196]. Здесь для последовательности будем исходить
из соответствующих уравнений равновесия нелинейной теории уп ругости, используя некоторые идеи вывода, примененного в [196].
Векторное уравнение, выражающее условие равенства нулю главного момента всех сил, действующих на элементарный косо угольный параллелепипед, получим, обобщая вывод уравнения (8.1) главы II из монографии [210] иа случай криволинейной си стемы координат:
где S„., Sп3 — компоненты вектора напряжения на гранях, пер
пендикулярных до деформации координатным линиям а,-, аз; е*г, е*3 — единичные векторы деформированной (косоугольной) системы координат. Уравнение (1.49) предполагает, в соответствии с постановкой классической теории упругости, отсутствие внутрен них моментов, массовых и распределенных поверхностных пар*.
Подставляя в уравнение (1.49) формулы (1.34), (1.35) |
и учи |
тывая, что #з=1, ЕОз «0, преобразуем его к виду |
|
#*i#*2{ [e*iX S„,] + [е*2Х S„2] + [е*3Х Sn,]} =0. |
(1 50) |
Здесь |
(1.51) |
|
Обозначим через R(j4) и R*(4) радиус-векторы произвольной точки А оболочки до и после деформации. Введем также соответ ствующие радиус-векторы г(В) и г*(В) точки В срединной по верхности, лежащей на одной координатной линии а3 с точкой А. Вследствие условия малости деформации езз изменением длины отрезка АВ при деформации пренебрегаем. Учитывая также, что,
согласно исходной гипотезе (1.1), нормаль к срединной поверх ности при деформации не искривляется, можем записать
R=r+a3e3; R*=r* +a3e*3, |
(1.52) |
Используя формулы
|
dR* |
1 |
дК* |
|
! |
даi |
’ |
||
dir I |
#*г |
dat |
||
I |
dai I |
|
|
|
приводим (1.50) к виду
+//*,#*2[e*3XSn3]=0. (1.54)
Если в (1.54) положим H*i&A*iy то оно совпадает с уравнением (5.3) из [196].
Векторное уравнение, выражающее условие равенства нулю главного вектора сил, действующих на элементарный параллеле пипед, получаем из (3.4) [210] в виде
-^-(Я*2Sni) +-4-(Н\ Sni) |
даз |
+Я*,Я*2F*=0. |
|
да' |
да> |
(1.55) |
При H*i^A*i (1.55) совпадаете (5.2) из [196].
Дальнейшие преобразования аналогичны проведенным в [196]. Уравнение (1.55) умножается векторно на а3е*3 и интегрируется по а3 в пределах —/2, Л/2. Затем используется условие (1.54).
В окончательном виде получается следующее векторное урав |
|
нение: |
|
Л/2 |
|
i {-^-[e*sXS»1ff*2]+^-[e*3XSn^ ,] + |
|
-/1/2 1 a(Xl |
Ü(X2 |
|
Л/2 |
+Я*1Я*2[e*3XF] }a3d«3+ J { [-^ Х 8 П1Я*2] + |
|
+ [^ -Х ^ Я * , |
]}</а3+[Я*,Я*2е*зХо38„1]^ /Г0. (1.56) |
Расписав (1.56) покомпонентно, можно получить три уравнения
равновесия относительно изгибающих и крутящих моментов в оболочке.
В последующих выкладках используются формулы (1.51) и (1.15), выражения для единичных векторов е*,-, е*3 в деформиро ванной косоугольной системе координат (2.9) из [210] и формулы дифференцирования единичных векторов е*, е3 в недеформированной ортогональной системе координат (1.23) из [210]. Отметим также равенство
SniH*j=S*niHj,
выполняющееся при введенном ранее условии пренебрежимости вй/2 по сравнению с 1. Во всех выкладках сохраняются только квадратичные относительно неизвестных функций члены и учиты вается, что е,-, уг имеют более высокий порядок малости, чем Of..
Приведем окончательные результаты. В проекциях на оси недеформироваиной системы координат четвертое и пятое уравне ния равновесия записываются в виде
д . . |
+ |
дАг |
âAj ... |
|
д^Г(А’ |
+ |
|
(1.57) |
|
|
-А{А,Тпа+А^,(^+Ф^) =0. |
По форме они не отличаются от соответствующих уравнений ли нейной теории оболочек [209]. В (1.57) использованы обозна чения:
Af*ii=Af«( l+ej+t-з0- у 0<2+-^ез-2- а^ |
) + |
+Мtj(yjUi°0j) +NiiKj+NijX-; |
(1.58) |
=+е;-+и3о-^°0;) +Af«(Yf-Oj°0f) +JVilr/+JVljscj;
Г*а*(Г„ +йД,) ^ 1+ez+8j+ü3°+-^-0J-2_ v |
+ |
+{Tj3+kjMj3) (yi-Vi%) + {TЦ—Тji+kiMij-kjMji)§}+
+{Miz+kiNiz) (xi+v.j) + (Mj3+£jyVj3)Tj—
- (М1Гмй+ м (г * А ) {*<ч- |
_ |
(159) |
|
- kj(MjjVi0- |
+NjiTiVi0-Njrt}V .04 |
|
|
Д/2 |
|
|
|
f 'i= J {[ Fi{ 1+6i+Sj+tl3°+Y Oi2+-i- 0 .2) _ fj0jol x |
|||
-/l/2 |
' |
J |
|
X [l+a3(Ai+£j)] +a3Fj(xi+‘Xj)) tt3da3; |
|
(1.60) |
|
ф*,=-|{ №++*r) ( i+e,-n,+«»,+-Lei«-ej0/>) + |
|
||
+ (Xi+-Xr) (Vi-e<Oj»)+y[№ +-Xr) x |
|
|
|
(Xi+Xj)+ №+—Xi )T(] ]■, |
|
(1.61) |
|
Введены также обозначенииня: |
/i/2 |
|
|
/i/2 |
|
|
|
Мг-.= J a3(l+a3fcj)cr«da3; |
Mij= J oc3( 1+oc3kj)aiida3; |
|
|
—/1/2 |
-/1/2 |
|
|
h/2 |
/i/2 |
|
|
Л1ц= J a32(l+a3ftj)a„da3; W«= J “зг(1+а3*,)а,',(/а3; |
|||
—h/2 |
—h/2 |
|
|
Xi+ и Xi~ определены согласно (1.45). з*
/I |
использовании |
модели |
Кирхгофа—Лява, |
подставляя |
' *17) в (1.58)—(1.61), находим |
|
|
||
м*и*°мн / 1+е<+Оз0+_1е(2+1 .е;.2 ) +M..(yj+e.ej) +Nii*j+ |
||||
|
* |
I |
' |
(1.63) |
л*«=Мц(1 +Е;+и3Ч8/) +Af«(Yf+e^ej) +NuXi+Nifi4\ T*U= (Tit+klMa) (l+et+es+vf+^W+ei*) +
+(Tx+kjMji) (Yj+0i0j) + (7\j—Tji+kiMij—ftjMji)0j+
+(M(3+M/i3) (xt+xs) + (Mji+kjN^ii- (Ми-Мц+kiNij-kiNji) X
X (e^i |
\—^ - ) |
/ |
+kj(Mjfii- |
|
- Njjïfii) ; |
|
Aj oa,j |
|
|
(1.64) |
|
/1/2 |
|
|
|
|
|
^*i= |
J ( fFj f 1+Ej+6j+u3°+—0i2+—9/) +F38jl X |
||||
-*/s |
|
l |
l > |
(1.65) |
|
|
X [1 +(Xs(Ai+é,)] +a3F3(xi+Kj) ) a3da3; |
||||
Ф*,=4 { №++ХГ) ( l+ei+ej+u3°+-U;2+0/) + |
|||||
|
|
|
|
2 |
(1.66) |
+ №+-^r)(Yi+,eiej)+ -y[№ + -x-)(«<+î<j) + № + -^r)ti] } .
Шестое уравнение равновесия в проекциях на оси недеформированной системы координат имеет вид
[AiWijvP-MnvP+N&ivP-NiftjV?)]-
д
- -^т" [A}(MiiVj0-MijUi0+NijTjVj0-NiiXiVi0)] +
+AtAJ[kiM,ij-kJMmji+ (Tij-Tji+kiMij-kjMji) (l+8f+8i) + (1.67)
+ (Ti3+kiM{3)vf—(^з+^з)Ог°+ (Mij-Ma+kiNij-kjNji) X X (xi+Xj) —(Mi3+ kiNiz)üi°Ti+(Mj3+kjNj3) г/Д;] + +ЛИ;(^з+Ф%)=°-
Здесь
/1/2
^*з= J a3[1+a3 (*,+*2)] (Fsvi°-FlV2°)da3;
ф*»=4 { №++*2-)а10- (Xx++X rW +~ [№+-Xr)T,ü,«-
- №>+-Х2-)т2о2°] } . |
(1.68) |
Как видно, уравнение (1.67) является весьма сложным, и вопрос о том, с какой точностью удовлетворяют ему приведенные выше выражения для деформаций, усилий и моментов, требует специ
ального исследования.
Итак, получены формулы, связывающие деформации с переме щениями, напряжения —с деформациями, а также соотношения упругости и уравнения равновесия, отнесенные к исходной недеформированной ортогональной системе координат. Уравнения не
разрывности деформаций нелинейной теории тонких оболочек и постановка краевых условий подробно рассмотрены в моногра фиях [114, 135, 196] и во многих других работах, поэтому здесь
на этих вопросах останавливаться не будем.
Дальнейшей нашей целью является переход к уравнениям рав новесия оболочки, записанным относительно исходных неизвест
ных функций Ui°, Мз°, Vi°.
1.5.ВЫРАЖЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ УСИЛИЙ
ИМОМЕНТОВ ЧЕРЕЗ ДЕФОРМАЦИИ
Прежде всего подставим напряжения (1.38) и деформации (1.15) в формулы для усилий (1.40). При интегрировании, как
и ранее при выводе обобщенных усилий (1.41), не учитываем сла гаемые, связанные с подынтегральными функциями, пропорцио
нальными аз2. В результате получаем
Ти=Си (eiH-^-е,-2) +С0 ( ej+^-e/ ) ;
7’ij=C66(Yi+Yi+.Oi0j); Ti3=Tzi=Ci3(Qi+Vi°). |
(1.69) |
Подстановка (1.38), (1.15) в формулы для моментов приводит к следующим выражениям:
Mii=Du |
(ei+-^-0i2 )] +£>ij [x*j+fcj( ej+^-Oj2 )] ; |
|
Mij=£)66[x*i+T*j+kj(y»+Yj+.0iOj)]; |
|
Mi3=Di3kj(0i+u*°); |
|
Nu=Dti (е(+ - ^ 2 ) +D„ ( e,H—^-,0j2 ) ; |
Nij=Nii=Ds6{yi+yj+Q$j); Ni3=£i3(6i+üi0) •
Здесь x*i=xi+0ixf3; T*i=Ti+0jXi3; Xf, xu х*з выражаются согласно (1.7). Величины См, Dhi — мембранные и изгибные жесткости
ортотроггной оболочки. Для слоистых пакетов, рассматриваемых в рамках кинематической модели прямой нормали, они рассчиты
ваются по известным формулам [21]. В случае слоистого пакета с несимметричной укладкой слоев по толщине формулы (1.69),
(1.70) могут быть без труда обобщены по аналогии с линейной теорией оболочек [21].
Подставим далее (1.69), (1.70) в формулы для обобщенных усилий и моментов. В выражениях для 7*«, Т*ц, как и ранее, ограничимся первыми степенями ег-, у*» квадратами и взаимными произведениями 0г-, о»0. В результате получаем
Гц=Си ( eiН— 0i2 } +Сц ( Sj+~ef ) +С1311(о(о{о+0();
r« = c,6(Y1+vj+0*ei)+c18Ujo(o<o+ei). (i.7i)
В выражении для T*i3 линейные относительно е*, Y* и квадратич ные относительно 6г-, и*0 члены отсутствуют. Поэтому необходимо удержать слагаемые более высокого порядка малости: содержа
щие произведения типа е^бг, Y*0j и третьи степени величин 6*, иД
Врезультате приходим к формуле 7',i3=Ci3(u,»+0<)+Cii0i(ei+-|-0i2) +Clj0i(ej+ -y0/) +
+ C,660j(Yi+Yj+.0r0j). |
(1*72) |
Подставляя далее (1.70) в (1.58) и ограничиваясь линейными
относительно ег*, y»и квадратичными относительно 0*, Vi° членами, находим:
М*ii=Du |
еН—2*®г2) ] |
[ %*j+kj ^ Bj-\——Qf j j ; |
Mtij=DS6[^t+T*j+*,(v<+YJ+e<0j)]- (1J3)
Путем подстановки (1.69), (1.70) в (1.59), опуская те слагаемые, которые имеют порядок 0(ki2h2) по сравнению с другими, находим
т**3 = Ci8(0,+ino) +Cj3(0J+trjo) (Yi-^°0i) + |
(1.74) |
|
+Di3{ki+kj) (Qi+ Vi°) (Xi+Xj)+DjZ{ki+kj) (0j+üj°)Tj— —kjVi0 (DjjKj+DijXi) Л-kjD^Vp(ti+Tj) + (ki~kj)DçsQj(Тг +Tj).
В слагаемых, пропорциональных Du, Dijt D66, удержаны квадра
тичные относительно 0j, Vi° члены, что соответствует точности, принятой при выводе формул (1.73).
Формулы для обобщенных моментов (1.73) можно несколько упростить, приняв линейными выражения для у*и tV
. _ |
1 |
dv* |
1 |
дАг |
п |
|
|
Х' |
А< |
дсц |
AiAj |
дщ Vi ' |
|
||
|
1 |
dv? |
1 |
|
dAi |
„ |
(1J5) |
|
-------i---------------- Uj°. |
||||||
|
Ai |
da.i |
AiAj |
даj |
|
|
|
Кроме того, пренебрежем |
влиянием |
мембранных деформаций на |
|||||
моменты. Первое из этих допущений |
корректно, если |
показатели |
изменяемости деформированного состояния оболочки удовлетворяют условиям X" Второе — аналогично допущению, ис
пользуемому в линейной теории пологих оболочек (технической теории). Каждое из них, таким образом, может существенно ис казить результаты в одних и тех же расчетных случаях*, которые
нельзя рассматривать с позиций указанной теории. Следует под черкнуть, что ранее (в 1.3) уже была принята форма соотношений упругости, соответствующая технической теории. Кроме того,одно
из основных введенных предположений — о малости удлинений и сдвигов по сравнению с углами поворота нормальных сечений — также теряет убедительность вне рамок этой теории. Введение указанных двух упрощений вследствие сказанного представляется допустимым. Итак, выражения для обобщенных моментов запи
шем в виде:
M*u=DiiK*i+DijK*j\ |
1 ' |
M*ij=D6s(x*i^*j). |
В соответствии с этим следует упростить и формулу (1.74), опу стив нелинейные слагаемые. В результате получаем
7’7з=С1-з(0г+^°). |
(1.77) |
Рассмотрим далее выражения для обобщенных усилий и момен тов при использовании кинематической модели Кирхгофа—Лява.
Подставляя (1.17) в (1.71), находим
Т*ц=Тц =Сц (ei+-2“0i2} +Cij ( ej+-—0j2) ;
T*ij=Tij=Сев (y*+Yi+0f0j), |
(1.78) |
|
a согласно (1.47) и (1.69), получаем |
|
|
7,*i3= 7'i3+Ci,-0i ^ eH—^ г 2) |
( еН—гр®;2) |
|
+ Свб0j(Y*+Yз+Mj) • |
(1.79) |
При выводе выражения (1.79) учтено, что ег<1, 0;2<1, 1»з°<1.
* Типичный пример —устойчивость длинной цилиндрической оболочки при продольном сжатии.
Формулы для М*ц, M*ij сохраняются в виде (1.73), где
1 двг Ai dai
т ,= - Ai даi
1 |
|
|
ди3о |
+ Ш \ |
AiAj ^ |
r 0 j+ w + X |
дсп |
||
AiAj |
даj |
‘ , , * £ + m a |
||
Ai |
dai |
|
Выражения для Г**«3 несложно получить из (1.59), учитывая (1.69), (1.70). Отметим только, что 7\-3 являются в данном случае неизвестными функциями, подлежащими определению из уравне ний равновесия. Для случая, когда в М*ц, M*ij, Т**ц удержива ются нелинейные члены, эта. задача нетривиальна.
Если следовать описанному выше упрощенному подходу, то для М*ц, М*ц имеют место формулы (1.76), где
1 |
d6i |
1 |
дА{ a.< |
|
Ai |
даi |
AiAj |
daj *°j: |
|
1 |
dai |
1 |
дА{ |
(1.80) |
Ai |
AiAj |
daj •0i |
и T**i3=Ti3. С учетом этого уравнения равновесия (1.57) прини мают вид
д |
(AjM*u) -f |
|
|
dai |
- к №* ,*>+- я г |
|
|
откуда |
-AlAjTi3+AiAj(F,j+<b*j) =0, |
|
|
|
|
|
|
Г*=- |
AiAj L[“^да7i |
+ даj |
-\—-——M* |
|
àaj |
||
|
dAj |
■М |
|
|
dai |
33 |
|
Подставляя в эту формулу (1.76), учитывая, что в рамках принятои точности Т]=Т2=Т и используя формулы Кодацци
д |
(AjKj) - |
dAj |
;ci |
d |
(Aft) + |
dAj |
T, |
dai |
dai |
daj |
daj |
приходим к выражению
Г,3= AiAj |
bat № «*<+ (û,2+2û66)Xj]} _ |
|
|
1 |
dAj rrn |
(1.81) |
|
AiAj |
dai |
l(ü12+2£>6s)«î+OjjX^ +f *,+ф. . |
В случае изотропного материала |В»=Г>12+2Вбб=£= у-_^2 / при F*j=О, Ф*3=0 получаем известную формулу [94]:
Т{ъ=- ^ ~ к ; ы+щ)- |
(1-82) |
Подстановка (1.81) в (1.79) дает |
|
ri3=~ i r ~ t r {AilDim+ (DlJ+206s)y'J])“ AiAj |
da! Х |
X [{Dio+ZDe^Ki+DjjKjl+CaQi'^ е,Ч—^бг2 ) +Cij0t- ( еД——Qj2 J +
+C660i(yi+Yj+0iOj) +F*j+Ф*j. |
(1-83) |
Подведем итоги. При использовании кинематической модели, учитывающей деформации поперечных сдвигов, имеем пять урав нений равновесия (1.42), (1.57). Обобщенные усилия и моменты выражаются по формулам (1.71), (1.72), (1.76), (1.77), а входя щие в эти формулы деформации определены согласно (1.6) и (1.75). Компоненты поверхностных нагрузок задаются выраже ниями (1.46), массовых сил — (1.43), моментов массовых и по верхностных сил — (1.60), (1.61). Используя перечисленные фор мулы, систему уравнений равновесия можем записать относи
тельно пяти неизвестных функций иД «з°, иД
В случае применения кинематической модели Кирхгофа—Лява имеем три уравнения равновесия (1.42). Обобщенные усилия вы ражаются согласно (1.78), (1.83). Деформации определяются по формулам (1.6), (1.80). Для компонент поверхностных нагрузок и массовых сил имеют место выражения (1.48), (1.43), для мо ментов массовых и поверхностных сил — (1.65), (1.66). Путем последовательных подстановок система уравнений равновесия мо жет быть записана относительно трех неизвестных функций
мД Мз°.
1.6. УРАВНЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК В СМЕШАННОЙ ФОРМЕ
Нелинейная теория пологих изотропных оболочек*, основанная на гипотезах Кирхгофа—Лява, изложена в [196]. Вводятся сле дующие дополнительные упрощения. Во-первых, в формуле для
* В дальнейшем будем пользоваться термином «техническая теория обо лочек».