книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек
..pdfО |
0.2 |
0,3 |
О/ |
|
|
|
0/2ÏÏ,кГц |
Рис. 4.13. |
Начальные |
участки |
||
спектров |
ОДН |
боропластиковых |
||
однослойных ортотропных |
|
оболо |
||
чек для различных направлений |
||||
армирования: |
а—р,'=0, |
|х"=0,6; |
||
б—ц#=ц"=0,3; |
в—ц'^О.б, |
O' |
ных трех вариантов предпочтителен вариант продольно-попереч ного армирования, для которого спектр ОДН начинается при наи больших частотах. При осевом армировании спектр ОДН смеща ется в сторону меньших частот; кроме того, в рассмотренном диапазоне частот он значительно гуще, чем при окружной и про дольно-поперечной укладке волокон. Этот пример наглядно пока зывает, как неудачный выбор схемы армирования сводит на нет эффект высокомодулыюсти волокон. Боропластиковая оболочка, армированная в осевом направлении, оказалась практически экви валентной по спектру ОДН стеклопластиковой оболочке с про дольно-поперечным армированием (ср. рис. 4.13,в и 4.12,6), хотя модуль упругости волокон в последнем случае более чем в четыре раза ниже.
. Использование многослойной структуры оболочек дает допол нительные возможности изменения характера спектров ОДН в нужном для практических целей направлении. В частности, можно добиться: а) смещения левой границы спектра ОДН в сторону
больших частот; б) увеличения расстояния между соседними ОДН; в) уменьшения ширины каждой ОДН.
Для иллюстрации этого на рис. 4.14 приведены начальные участки спектров ОДН четырех многослойных углепластиковых оболочек при симметричных самоуравиовешенных пакетах слоев. Мембранные С\-,- и изгибные Dij жесткости многослойных пакетов рассчитывались на основе характеристик углепластиковых моно слоев (см. табл. 4.1) по обычным формулам [21, 24]. Слева на рис. 4.13 приведены схемы строения верхних половин пакетов (ф; — Угол между осью х и направлением волокон в £-м слое).
По диаграммам ОДН можно проводить наглядное сопоставле ние различных композитных оболочек. Однако в случаях, когда требуется точная оценка качества той или иной оболочки (напри мер, при решении задач оптимального проектирования), необхо димо иметь количественную характеристику спектров ОДН. Такая характеристика должна учитывать расположение первой ОДН (на чало спектра), густоту спектра, а также изменение ширины каж дой ОДН с изменением амплитуды нагрузки Pt. Все это можно учесть, если ввести функцию £(0), характеризующую заполнен ность плоскости параметров {0, Pt) областями динамической не устойчивости.
Рассмотрим прямую, параллельную оси 0, при фиксированном значении Pt. Для любого частотного диапазона [0i, ©2] можно вычислить сумму длин отрезков этой прямой, заключенных внутри
ОДН. Определим функцию заполненности £(0О, 0) как отноше
ние. 4.14. Схемы пакетов и начальные участки спектров ОДН угле- •пластиковых оболочек с различным числом слоев
Рис. |
4.15. |
Зависимости |
||
г|(0), |
соответствующие |
|||
спектрам |
ОДН на рис. |
|||
4.12 и 4.13: 1—4.13, б\ |
||||
2 |
—4.13, а\ 3 |
—4.13, в; |
||
4 |
—4.12, а; 5 |
—4.12, 6\. |
||
6 |
—4.12, в |
|
ние этой суммы в диапазоне [©о, 0] к величине 0—©0(в частности* можно положить 0о=О). Таким образом, если на заданном уровне Pt в диапазоне [0О, 0] ОДН отсутствуют, то £(0о, 0)=О и, наобо рот, если весь рассматриваемый участок плоскости параметров на этом уровне состоит из ОДН, £(0о, 0) = 1. В дальнейшем чаще будем пользоваться функцией т|(0о, 0), связанной с £(0О, 0) со отношением rj=l—£. Таким образом, если £=0, то т|= 1 и, наобо рот, при |=1 функция г) =0. Приведем далее некоторые примеры: расчета функции т](0, 0) =г|(0).
На рис. 4.15 приведены зависимости т) (©) для различных одно слойных оболочек, начальные участки спектров ОДН которых изображены на рис. 4.12 и 4.13, при Pt=0,3. Начало кривой т|(0) соответствует левой границе первой ОДН. Значение функции т|(0) при фиксированном 0 зависит как от количества областей в интервале [0, 0], так и от их ширины. Выше других на рис. 4.1S
расположена кривая, соответствующая спектру 4.13,5, ниже — спектру 4.12,в.
На рис. 4.16 построены функции tj(0) для многослойных угле-
П
Рис. 4.16. Зависимости »1(0), соответствующие-
о |
0.1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
число слоев |
пластиковых оболочек, начальные участки спектров ОДН которых приведены на рис. 4.14. Цифры в поле рисунка соответствуют числу слоев в пакете оболочки. Верхнее положение занимает
кривая, соответствующая 9-слойной оболочке, нижнее —однослой ной (рис. 4.12,а). Заметим, что функция rj(0) зависит от ампли
тудных значений нагрузки Р0, Pt как от параметров. Чем больше Pu тем ниже располагается кривая г|(0). При увеличении Р0она сдвигается в сторону меньших значений 0.
В дополнение к функциям £(0О, ®) и т)(0о. 0), дающим доста точно полную количественную информацию не только о местопо ложении и ширине первой ОДН, но и о характере всего спектра ОДН, введем интегральную характеристику
е
/(0о,0) = J [l-ri(0)]d0. |
(4.77) |
0о |
|
Ее удобно использовать в качестве физического ограничения при решении задач оптимизации.
В заключение отметим, что, хотя рассмотрениекоснулось только главных ОДН, пути обобщения изложенных здесь расчетных ме тодик на случай учета побочных ОДН и возможных комбинацион ных резонансов представляются достаточно очевидными.
4.7. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОБОЛОЧЕК, РАБОТАЮЩИХ В РЕЖИМЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
На основе разработанных в 4.1—4.5 методик расчета упругих и вязкоупругих оболочек при параметрических колебаниях можно поставить несколько задач оптимального проектирования много слойной цилиндрической оболочки с ортотропными армирован ными слоями, работающей в режиме осевого вибрационного на гружения. В общей формулировке эта задача заключается в на хождении такого вектора проектных параметров
х*=(л'*ь .... |
Л), |
(4.78) |
при котором выбранная целевая функция С(х) достигает своего оптимального значения в области D допустимых значений пара метров управления х, т. е.
С(х*) = opt С(х), |
(4.79) |
X<=D |
|
где |
(4.80) |
D={:x:gj(x)^0, /=1,2, .... N}; |
£i(x) = (£ь g2, • • м^л*) —вектор функций ограничений; /V—общее число ограничений.
ie—itïi
Предполагая длину и радиус поверхности приведения оболочки фиксированными, выберем в качестве целевой функции массу еди ницы поверхности оболочки М. Тогда при заданных характеристи ках материалов армирующих волокон и связующего проектными параметрами будут коэффициенты армирования слоев рЛ, и толщины слоев А,-. При фиксированном числе слоев оболочки п число параметров оптимизации равно Ъп и вектор проектных пара метров представляется в виде
х= (р'ь р"ьДь • • •, р'п» р"л, Ап). |
(4.81) |
Область допустимых значений параметров управления (4.80) ограничена снизу и сверху технологически возможным суммарным коэффициентом армирования и разумными значениями толщин слоев. Кроме того, она определяется ограничением по статической устойчивости оболочки и физическими ограничениями, учитываю щими специфику механического поведения оболочки в условиях осевого гармонического воздействия.
Запишем ограничения, которые должны выполняться для каж дого слоя:
1) |
^(Ai)=/i0-Ai<0, |
(4.82) |
где /=1, 2,..., п, a h0 — допустимая минимальная толщина слоев,
2) |
£j(y'<) —— |
j=n+l, ..., 2/i, |
(4.83) |
3) |
gj(n"i) = -p"i<0, |
/=2/i+1, ...,, 3n, |
(4.84) |
4) |
gjili'i, рЛг) =ро-иЛ-р"г<0, j=3n+l, ..., 4/i |
(4.85) |
{здесь р0 —минимальный суммарный коэффициент армирования),
3) |
p"i) =мЛ+р"г—Р°^0, /=4л+1, ..., 5/г, (4.86) |
где р° — максимальный суммарный коэффициент армирования.
Для всей оболочки в целом потребуем, чтобы ее толщина не превышала некоторого заданного значения h°:
п |
|
gbn+i(д.) = Yi д‘- л°< 0- |
(4.87) |
г=1 |
|
Выписанные функции ограничений (4.82)—(4.87) не требуют
дополнительных комментариев, так же как и ограничение на устой чивость
7) |
g5n+2(x)=Po+/>,-P*(x)sC0, |
(4.88) |
где РЦх) — критическая статическая сила оболочки при осевом сжатии.
Остановимся несколько подробнее на выборе физических огра ничений, при помощи которых учитываются особенности мехами-
ческого поведения композитной оболочки в условиях осевого гар монического воздействия.
В качестве первого варианта физического ограничения поста вим условие, чтобы в рабочем диапазоне частот [О, 0О] не было ни одной ОДН. Оно записывается в виде
g5n+3(x, 0o)=0o-0ii(x)^O, |
(4.89) |
где ©„ — частоты, соответствующие левым границам ОДН. Огра ничение (4.89) является по существу обобщением традиционного ограничения на низшую собственную частоту.
Второй, более слабый вариант физического ограничения можно сформулировать, допустив в диапазоне частот [0, 0о] наличие од ной или нескольких ОДН, но ограничив их суммарную ширину. Его можно записать с использованием введенной в 4.6 функции т](0) или соответствующего интеграла /(©) =/(0, 0). Если, на пример, /0 — верхнее допустимое значение /(0) при 0=0о, то ограничение записывается в виде
g5n+з(х, 0о)=/(х, во)—/о^О. |
(4.90) |
Третий вид физического ограничения можно сформулировать исходя из требования, чтобы в заданном диапазоне частот сосед ние ОДН не пересекались. Таким образом ставится условие, ч.то наименьшая частота 0П, при которой пересекаются две соседние ОДН, больше 0О:
SW3(х, 0О) =0о0п(х)<0. |
(4.91 ) |
Итак, сформулируем задачу оптимального проектирования: тре буется найти такой вектор проектных параметров
х*= (ji'*i, р"*ьД*ь ... |
, |
ц"*«, Д*„), |
(4.92) |
при котором функция цели — масса оболочки М — достигает минимального значения
M(x*)=minM(x) (4.93) xeD
в области допустимых значений параметров управления (4.80), оп ределяемой функциями ограничений gj(x) (4.82)—(4.88) и одним из трех физических ограничений gj(x, 0О) (4.89)—(4.91).
Для выбора эффективного метода решения необходимо выявить основные свойства экстремальной задачи. Рассматриваемая за дача обладает следующими существенными свойствами: целевая функция — масса оболочки Л4(х) —является строго монотонной по каждому из проектных параметров, а экстремум целевой функ ции лежит на границе области допустимых значений параметров управления Гл. Отметим также, что в силу свойств экстремальной задачи ограничения (4.86), (4.87) выполняются автоматически вы бором начального вектора проектных параметров х0, а нижние значения этих параметров, определяемые функциями ограничений
ю*
<4.82)—(4.85), практически не достижимы из-за функции ограни чений (4.88)— (4.91). Простое выражение для целевой функции
облегчает использование хорошо разработанных градиентных методов поиска оптимума в направлении уменьшения проектных
параметров.
Возможна и вторая, альтернативная постановка задачи опти мального проектирования, согласно которой при фиксированной массе оболочки отыскивается такая структура ее многослойного пакета, для которой рабочие характеристики оболочки, находя щейся под действием осевых гармонических сил, достигают экстре мальных величин в области D' допустимых значений параметров управления. В качестве целевой функции тогда может быть рас смотрена одна из следующих:
а) протяженность 0„ диапазона частот [О, 0П], свободного от ОДН, которую желательно максимизировать:
0„(х*)= шах0„(х); |
(4.94) |
XED' |
|
б) интеграл /(0, 0о)=/(0о), который желательно минимизи ровать:
/(х*, 0О) = min/(x, 0О); |
(4.95) |
XSD' |
|
в) протяженность 0Пчастотного диапазона [О, 0П], не содер
жащего пересечения соседних ОДН, которую желательно макси мизировать:
0п(х*) = шах0П(х). |
(4.96) |
XGD' |
|
Вектор проектных параметров остается без изменения, т. е. в виде (4.81) , а область допустимых значений параметров управления
D'= {:x:g'j(x) ^0, /= 1,2, ..., N'} |
(4.97) |
будет определяться новым вектором функций ограничений g'j(x), число которых N' может не совпадать с /V. Функции ограничений (4.82)—(4.84) и ограничение на устойчивость оболочки (4.88) со храняются и для области допустимых значений D', а вместо функ ций ограничений (4.85)—(4.87) необходимо поставить условия постоянства массы оболочки. Эти условия могут быть записаны, например, в виде
g'i(р'*, р"i) =\i'i+|x//i—p.=0, /=3/г+1, ..., 4n, |
(4.98) |
где p, — суммарный коэффициент армирования, одинаковый для всех слоев, и
g'*«+, (Ai) = Yj Д,-Л=0, |
(4.99) |
г-1
где h — толщина оболочки, поддерживаемая постоянной.
Сложность целевых функций (4.94)—(4.96) практически ис ключает применение для решения задачи оптимального проекти рования в данной постановке градиентных методов. Одним из воз можных путей отыскания оптимального проекта в такой ситуации можно считать использование методов теории планирования экс перимента.
В дальнейшем ограничимся некоторыми иллюстративными при мерами решения задачи отыскания минимума массы оболочки при физических ограничениях (4.89)—(4.91). В табл. 4.2 приведены результаты решения задач минимизации массы четырехслойной •боропластиковон оболочки с ортогонально армированными слоями при R = 1 м, L/R=2,4 для трех видов физических ограничений — (4.89), (4.91), (4.90). Рассматривались два значения минимально
допустимого суммарного коэффициента армирования каждого слоя (4.85): pto=0 и j.i0=0,5. Одновременно варьировались 12 парамет ров управления: р/,-, р"*, Аг-, где £=1, 2, 3, 4. Задача решалась ме тодом градиентного спуска в сочетании с методом перебора при выборе начального вектора проектных параметров. Обнаружено незначительное отклонение (в пределах 3—4%) массы оптималь ного проекта вследствие изменения начальной точки х0. Путем сопоставления результатов решения задачи оптимального проек тирования, предпринятого из 20 начальных точек, в качестве на чального вектора проектных параметров выбран х0=(0,5; 0,4; 2,0; 0,4; 0,5; 1,2; 0,3; 0,6; 1,6; 0,6; 0,3; 0,8); величины Д,- даны в мм.
Из сравнения полученных значений целевой функции видно существенное уменьшение массы оболочки с ослаблением физи ческого ограничения: при ограничении (4.91) масса уменьшилась на 10—12%, при (4.90) —на 22—28% по сравнению со случаем
Таблица 4.2
ЗНАЧЕНИЯОПТИМАЛЬНОГОВЕКТОРАПРОЕКТНЫХПАРАМЕТРОВII ЦЕЛЕВОЙ |
||||||
ФУНКЦИИПРИРАЗЛИЧНЫХФИЗИЧЕСКИХОГРАНИЧЕНИЯХ |
|
|
||||
Ограничения |
0н(х)/2л^2ООГц |
0п(х)/2л5*200 Гц |
/о(х.0о)<5Гц |
|||
Ио“0 | |
ц0=*0,5 |
Цо“0 | |
Мо“0.5 |
Мо“0 | |
Цо—0,5 |
|
Д|, ММ |
1,78 |
172 |
1,73 |
1,62 |
1,67 |
1,44 |
p'l |
0,20 |
0,25 |
0,11 |
0,25 |
0,02 |
0,25 |
|Х"| |
0,22 |
0,25 |
0,17 |
0,25 |
0,11 |
0.25 |
Ai, мм |
0,97 |
0,92 |
0,91 |
0,82 |
0,85 |
0,63 |
М2 |
0,22 |
0,18 |
0,18 |
0,17 |
0,13 |
0,16 |
0,37 |
0,36 |
0,34 |
0.35 |
|||
il о |
0,39 |
0,37 |
|
|
|
|
Г 2 |
1,38 |
1,33 |
1,32 |
1,22 |
1,26 |
1,03 |
Д3, мм |
||||||
У1з |
0,06 |
0,09 |
0 |
0,08 |
0 |
0.05 |
0,46 |
0,48 |
0.42 |
0.46 |
0,38 |
0,45 |
|
iРj,3мм |
0,57 |
0.51 |
0.50 |
0.40 |
0,43 |
0.21 |
И-4 |
0*49 |
0.46 |
0.46 |
0.42 |
0.43 |
0,37 |
0 93 |
0,22 |
0.21 |
0,19 |
0.2ч |
0,16 |
|
М, кг/м2 |
э!з2 |
9,03 |
8,22 |
8,10 |
7.27 |
6,49 |
Рис. 4.17. Зависимости массы едини цы поверхности оптимальных двух слойных оболочек из углепластика с перекрестным армированием от угла армирования српри разных физичес ких ограничениях: 1 — 0ц/2л^ ^200 Гц; 2 —0„/2л^2ОО Гц; 3 — /0<5 Гц; 4 —P*7?Po+Pt
(4.89). Этот результат показывает, что уменьшения массы обо лочки можно добиться за счет разумного смягчения физических ограничений, соответствующего реальным требованиям, налагае мым на конструкцию.
При рассмотрении структуры описанных в табл. 4.2 оптималь ных пакетов с ц0=0 обратим внимание на то, что уменьшение массы оболочки происходит в большей мере за счет уменьшения коэффициента армирования, нежели в результате уменьшения тол щины слоев. Наложение дополнительного ограничения (|Ло=0,5), казалось бы, должно привести к увеличению массы. Однако ре зультат прямо противоположный: для всех трех видов ограничений
ср0=0,5 массы оптимальных оболочек оказались меньшими, чем
сро=0. С одной стороны, это подчеркивает, что использованный градиентный метод позволяет найти только локальный оптимум,
сдругой — указывает на необходимость введения ограничений типа (4.85) с целью регулирования оптимального поиска в направ лении более тонких и жестких (с высоким процентным содержа нием арматуры) слоев.
Рассмотрим далее результаты решения задачи оптимизации двухслойной углепластиковой оболочки с ортогонально армиро ванными слоями, уложенными относительно образующей под уг лами ±(р. Они приведены на рис. 4.17 и в табл. 4.3. Как видно, при всех четырех видах физических ограничений (4.88)—(4.91) влияние угла <рна оптимальную массу значительно. Отметим при этом, что зависимости М(<р) для разных физических ограничений заметно различаются. Кроме того, при рассмотренных значениях