книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений
..pdfпредставить в несколько иной форме:
I {х) = |
{х) о (О+ ) + |
J ^ (х |
I) |
(^) + HiV(Ю1 |
|
|
|
|
(5.2.13) |
|
§ 5.3. Продольное |
демпфирование |
Наиболее поразительным физическим явлением, кото рое может быть предсказано с помощью приведенных выше результатов, является возможность неустойчивости про дольных колебаний с одной степенью свободы.
Возможно, что теоретические методы, основанные па предположении, что жидкость идеальна, не пригодны для надежного исследования этого вопроса. В то же время уста новлено, что сам по себе учет нелинейных эффектов, при
сохранении |
предположения об |
идеальности |
жидкости, |
не приводит |
к сколько-нибудь |
существенным |
изменениям |
в обнаруженной тенденции (см. главу 13).
Продольные колебания относительно оси х = XQ описы
ваются распределениями смещений и скоростей: |
|
||
|
Z (х, |
t) = (Хо — х) Re {а ехр {ik М/)} |
(6.3.1) |
Vix, |
= |
= |
|
|
= Re {а [1 + I^ (X -X Q)] ехр (гШО). |
(5.3.2) |
|
откуда |
|
|
|
|
V (х) = а [ 1 + i/fe (х - XQ)]. |
(5.3.3) |
|
Распределение |
давления получается подстановкой |
||
(5.3.3) |
в (5.2.11)’ или (5.2.13). В качестве примера достаточно |
рассмотреть случай, когда k мало, так как при малых часто тах отрицательное демпфирование проявляется особенно сильно.
Подставив (5.3.3) в (5.2.11) и сохраняя лишь члены поряд ка Л, получим
Первые два члена в квадратных скобках являются квазистационарными, а третий есть добавок за счет иестационарHOCTH обтекания, определяемый интегральным членом в выражении (5.2.11). (Соответствующие данные при до
звуковом обтекапнн см. в работах Майлса |
[^’°], [^’^1.) |
|
Безразмерный момент (который мы будем считать поло |
||
жительным, если OII действует в направлении увеличения |
||
угла атаки), вызванный полученным |
распределением |
|
подъемной силы 1{х), |
равен |
|
^ v |
j {x ^ -x )l(x )d x . |
(5.3.5) |
Здесь в качестве характерной длины выбрана хорда крыла. Для того чтобы выделить статический момент (Сма), квазистационарное продольное демпфирование (Смд) и добавок, связанный C эффектом иестационарности (Сдл1), напишем
CM = а [Сд/а -f ik (CMQ+ Смо)1 • |
(5.3.6) |
Здесь члены в квадратных скобках следуют в том же поряд ке, что и соответствующие им члены в выражении (5.3.4). Подставляя (5.3.4) в (5.3.5) и сравнивая полученный резуль тат C (5.3.6), найдем, что
CMa = ClQ^Xff----^^ , |
(5.3.7) |
|
(5.3.8) |
C A f a = - ^ Q - J f o ) |
(5.3.9) |
|
Анализируя выражения (5.3.8) и (5.3.9), видим,что коэф фициент квазистационарного демпфирования Смд есть вели чина определенно отрицательная, тогда как добавочный член C ui положителен при расположении оси впереди линии 2/3 хорды. Таким образом, при достаточно больших P"' демпфирование может быть отрицательным.
Граница устойчивости получится, если приравнять
сумму демпфирующих моментов |
Cmq-I Сма |
чулю |
|
± [ з ( | - М = |
) ( м ‘‘- | |
) |
] ‘'’ } (5.3.10) |
Этот результат иллюстрирован на рис. 5 |
.2 вместе с резуль |
||
татами, полученными Ван-Дейком 1^®’ ], |
|
(см. главу 13), |
Р и с . 5 . 2 . О б л а с т ь в о з м о ж н о й н е у с т о й ч и в о с т и п р б д о л ь н ы х
к о л е б а н и й п л о с к о г о |
п р о ф и л я , |
с о о т в е т с т в у ю щ а я у с л о в и ю |
^ м <1 |
С д / а = о в |
§ § 5 . 3 и 1 3 . 3 . |
ДЛЯ ромбовидного профиля C относительной толщиной, равной 6% (которые одновременно справедливы и для двояковыпуклого профиля, образованного дугами окруж ности, C относительной толщиной, равной 4,5% ). Расхожде ние в результатах Ван-Дейка и вычисленных по уравнению (5.3.10) показывает величину влияния нелинейных эффектов. Заметим, что уравнение (5.3.10) не имеет
действительных корней при M > |
= 1,58. |
Возможность потери устойчивости движения относи тельно колебаний с одной степенью свободы, в форме ли флаттера крыла, или продольных колебаний самолета в целом, весьма существенна с практической точки зрения, однако результаты, основанные на двумерной теории, могут привести к неправильным выводам, так как в указан ном диапазоне чисел М(1 < M < 1,58) для аэродинамических характеристик крыла весьма существен концевой эффект (см. §7 .5 и рис. 7.7 и 7.8).
Более того, представляется, что полученные выше результаты могут оказаться неверными даже в применении к двумерному крыловому профилю. Так, в экспериментах Братта и Чинпека Бивеиа и Холдера [^®], проведенных C двояковыпуклым профилем, имевшим относительную тол щину 7,5% , было получено положительное демпфирование продольных колебаний при различных положениях оси в диапазоне чисел M от 1,2 до 1,5. О подробностях характера течения в диапазоне трансзвуковых скоростей см. работу Чиннека, Холдера и Берри [*Ч.
§ 5Л . Случай произвольной зависимости от времени
Решение двумерной задачи, в случае, когда v является произвольной функцией времени t, можно получить, приме няя обратное преобразование Фурье к (5.2.8). Поскольку (см. Кемпбелл и Фостер [®®], 914, 5)
i 5 J,{?cK‘)e*-‘-d-A=±i.x'‘-f-Pu,x'-\f\), (5.4,1)
ТО, применяя теорему свертывания (там же, стр. 202), получим
ф Iz=O+ = |
^ |
^ |
T)rfT |
(5.4.2) |
Что касается пределов интегрирования по т, здесь следует заметить, что т = -|- оо соответствует — со истинного вре мени, тогда как в функции v' значение t, соответствующее настоящему моменту времени, равно — М(д:' — I) (см. (3.4.9)). Графически эти пределы показаны на рис. 5.3.
Несколько более простое выражение для <р получается из (5.4.2) в случае тригонометрической замены переменных:
X' |
П |
|
ф = - 1 ^ d| |
у' [I, ^' + {х: - D COS 0] т . |
(5.4.3) |
6 |
о |
|
Гиперболическая подстановка приводит к выражению вида
OO |
x'sch I |
|
|
Ф — ^ |
S |
— |
/' + Qsh|)dQ. (5.4.4) |
-OO |
о |
|
|
Чтобы вернуться к переменным (л:, t), заменим в выражении (5.4.3) I на I', подставим v', х' н t' из соотношений (3.4.9) и (3.4.10),
Р и с . 5 . 3 . О б л а с т ь и н т е |
Р и с . 5 : 4 . О б л а с т ь и н т е г р и р о в а н и я в |
г р и р о в а н и я в в ы р а ж е |
в ы р а ж е н и и ( 5 . 4 . 5 ) . |
ни и ( 5 . 4 . 2 ) .
азатем введем фиктивную переменную | = р|'. В ре зультате получим
Соответствующая |
область интегрирования |
на рис. 5.4 (ср. C рис. |
5.3). |
Распределение давления, соответствующее выражению (5.4.5), дается соотношением (3.3.5) и имеет вид:
I (.V, /) = |
(.V, t) — |
X |
|
X I d | I (I-I-M c o s G )I., [ i , < - ( ’* ' + Г ” ) |
d e } . |
||
|
|
|
(5.4,6) |
где второй член является нестационарной поправкой к квазистационарному результату (/ = a^v).
Отметим, что скос потока у(|, т) в любой точке | вызывает иестацнонарное возмущение в точке {х, t) лишь в ограничен ном диапазоне значений т:
t - m - 1)-1 (.V - |
T < / - (М -Ь 1)~^{X- |
1). |
Чтобы показать это более отчетливо, рассмотрим |
возмуще |
|
ние, возникшее в точке |
в момент времени t |
и распро- |
страняющеес^Г вниз по потоку в виде сферического волно
вого |
фронта радиуса |
( ^ - т) |
с центром |
в |
точке |
||
|
|
( ^ - т), у). Если |
^ - т < ( М |
+ 1)"^ (а: - 1 о), |
то |
наи |
|
более удаленная вниз по потоку |
точка этого волнового |
||||||
фронта еще лежит выше по потоку отточки (х, у), |
достигая |
||||||
ее |
при |
^ = t - f (M -f 1)"^(дг — Io)- |
В |
интервале времени T -f |
|||
+ |
(M -I-I)'^ (^ — Io) < ^ < |
+ |
— 1)"^ (х — 1о) |
волновой |
фронт достигает других точек с координатой по хорде, равной X , но расположенных вправо или влево по размаху крыла от сечения у — const. За тот же самый промежуток времени волновые фронты, несущие возмущения, возник шие в точках C той же координатой по хорде, что и точка (1о> 1/)» но C иными координатами по размаху, также достиг нут точки {х, у). Если ^ > T-f-dVI — 1)“^(д: — 1о)» все точки исходного волнового фронта лежат ниже по потоку, чем точки C координатой х и возмущение, -возникшее в точке do, у) в момент времени т, уже не может оказывать далее влияния ни на одну из точек с координатой по хорде, рав ной X . Эти выводы иллюстрирует рис. 5.5, на котором пока заны три типичных положения волновых фронтов. (См. так же работу Стрэнга f®’®].)
Другим подходом к рассматриваемой задаче можно вос пользоваться, если переписать дифференциальное уравне
ние в |
классической форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ф«Ч' + |
фгг=фд:'ос'. |
|
|
|
|
|
(5.4.7) |
||||
Решение |
вида |
(5.4.2) |
может быть получено |
непосред- |
||||||||||
У |
|
|
|
|
|
|
ственно |
методом |
Адама- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ра, |
|
если |
использовать в |
||||
|
|
|
|
|
|
|
качестве фундаментального |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
решения |
выражение (х"^ — |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
_ 2^ — |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Более общая постановка |
|||||||
|
"Narcsln^. |
|
|
|
^ |
и решение двумерной за- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
дачи |
|
дана |
в |
работах |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Е . |
А. |
Красильщиковой |
|||||
|
\ на-г) |
|
|
|
|
[11“], |
|
(см. |
также ра |
|||||
|
|
|
|
|
боты |
Кондо |
|
Мигоц- |
||||||
|
|
,^(C) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
кого |
|
Р®^1). |
|
|
|
||||
Р и с . 5 . 5 . Т р и т и п и ч н ы х п о л о ж е |
§ |
|
5.5. Нагрузки |
при |
||||||||||
вертикальном |
порыве |
|||||||||||||
н и я в о л н о в о г о ф р о н т а в о з м у щ е |
||||||||||||||
н и я , |
в о з н и к ш е г о в |
н а ч а л е |
к о о р |
|
|
|
ветра |
|
|
|
||||
д и н а т . В о л н о в о й ф р о н т а е щ е н е |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в л и я е т н а т о ч к и п р я м о й |
Z = |
х, |
в |
|
качестве |
примера |
||||||||
в о л н о в о й ф р о н т Ь о д н о в р е м е н н о |
применения |
результатов |
||||||||||||
д о с т и г а е т д в у х т о ч е к э т о й п р я м о й , |
||||||||||||||
в о л н о в о й ф р о н т C у ж е н е |
м о ж е т |
§ 5.4 |
|
рассмотрим, |
как про |
|||||||||
б о л е е |
в л и я т ь |
н а т о ч к и |
п р я м о й |
исходит нарастание |
подъ |
|||||||||
|
|
I==X. |
|
|
|
|
емной силы на |
двумерном |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
крыловом |
профиле, |
входя |
|||||
щем |
в момент времени ^ = |
O B ступенчатый порыв |
ветра |
|||||||||||
постоянной |
интенсивности |
aU |
(рис. 5.6). В этом случае |
|||||||||||
заданный скос потока |
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
:.(х, 0 |
= |
a l ( < |
- ^ |
) , |
|
|
|
(5.5.1) |
где 1(/) — функция Хевисайда. Подставляя это выражение
в (5.4.6), |
получим |
|
|
|
|
|
|
/(д:, |
= |
M |
- f - c o s 0 |
^ x'jdQ , |
(5.5.2) |
I) |
С м . р а б о т ы Ш в а р ц а |
М а й л с а |
р®®], |
С т р э н г а [ * ” ] , |
Б и о р ® ], |
|
Р о т т а |
[251]. |
|
|
|
|
|
где Ci^— коэ(1)фициент подъемной силы профиля в устано вившемся потоке,
А. = «о“ = ^ . |
(5-5-3) |
Выполняя интегрирование в выражении (5.5.2), получим
j|- = |
0 |
при |
( 4 ) < ( М |
+ 1 Г ‘. |
(S-S--Ia) |
|||
j L = |
± 3 r c c o s [ M - p , 4 ] |
|
|
|
||||
|
|
|
при |
(М + 1 ) - 1 < |
^ < |
( M - I ) - ', |
(5 .5 .4Ь) |
|
- ^ |
= |
1 |
при |
( 4 ) |
X M - |
1)-'. |
(5.5.4с) |
|
Границы |
трех |
областей, |
указанных |
в (5.5.4), |
связаны |
C тем обстоятельством, что разрыв в величине скоса потока
Р и с . 5 . 6 . П л о с к и й п р о (])и л ь , в х о д я щ и й в о д н о р о д н ы й с т у п е н ч а т ы й п о р ы в в е т р а .
влияет лишь на те точки, которые лежат на расстоянии от фронта порыва {х = MOТочки, лежащие вниз по потоку от Jf = (М + 1) t, не подвержены влиянию порыва, а на точки, лежащие выше по потоку от л: = (М — 1) О не влияет разрыв в величине скоса потока (см. рис. 5.5). Коэффициент подъемной силы, вызванный с порывом,
определяется выражением
Подставляя в него соотношения (5,5.4), получи
- ^ |
= |
Pf |
при ^ < (М + 1)-1, |
|
(5.5.6а) |
|
Clii |
= |
-V arccos(M - |
P^O - f |
arccos (^M - |
у ) |
|
|
|
|
при (М -Ь1)“^ < ^ < |
(М - 1)"', |
(5.5.6Ь) |
|
- ^ ^ = 1 |
при ^ X |
M - 1)-1. |
|
(5.5.6с) |
Эти результаты представлены на рис. 5.7 и сравниваются там C соответствующими результатами для несжимаемой жидкости (см. Сирс и Карман [2®®]).
Р и с . 5 . 7 . Н а р а с т а н и е п о д ъ е м н о й
с и л ы п л о с к о г о п р о ф и л я , в х о д я щ е г о
в о д н о р о д н ы й с т у п е н ч а т ы й п о р ы в в е т р а , в ф у н к ц и и Mt — и с т и н н о г о в р е м е н и , о т н е с е н н о г о к l/v, / — д л и *
н а х о р д ы .
Очень близкая по типу задача об определении характера нарастания подъемной силы при внезапном изменении угла атаки может быть исследована аналогичным способом^)'.
§5.6. Колеблющийся профиль
ваэродинамической трубе
Если рассмотренный в § 5.2 колеблющийся профиль поместить в аэродинамическую трубу с плоской (двумер-
1) |
С м . р а б о т ы |
М а й л с а [ “ ®], |
С т р э н г а |
Ч е н а [®^], [®“] , |
Х и с - |
л е т а |
и Л о м е к с а |
[“* ] , Р у м ь е |
У о т к и н с а |
У и л л и |
[з®®]. |
НОЙ) рабочей частью, стенками которой являются плоскости
Z = + ZJ , |
граничное условие на |
бесконечности |
заменится |
|
условием |
вида |
2= i Z i . |
(5.6. 1) |
|
|
ф^ = 0, |
|||
В этом |
случае решение |
для |
преобразования |
Лапласа |
от Ф (5.2.6) примет вид |
|
|
|
|
ф* = |
(S) CSCh (?.Zj) Ch [X(ZJ - Z )] (Z > 0). |
(5.6.2) |
Здесь переход от изображения к оригиналу может быть осу ществлен либо путем разложения гиперболических функ ций по экспонентам, либо, используя полюса функ ции csch (Xzj). В первом случае функция влияния (5.2.9) (см. Майлс 1-^']) имеет вид
=X
X 2 (2- |
6У У, [ - ^ |
(х“ - |
] X |
|
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
xI(JC-2rtPzi). (5.6.3) |
|
Во втором случае вид функции влияния: |
|
|||
g(X)= р-1ехр(- |
2 (2- |
^n) (|Li«Zi)'^sin (р,,д;). (5.6.4) |
||
|
[ 1+ ( Ж Т |
(5.6.5) |
||
|
|
Численные расчеты демпфирования продольных коле баний, проведенные на основе этих результатов аналогично тому, как это было сделано в § 5.3, показали, что динами ческая неустойчивость здесь может иметь место при всех
M > |
1, если |
только |
Pzj < |
0,27. |
В |
работах |
Дрейка |
[®°], |
[®Ч эти результаты обобщены |
на случай струи со свободной границей и аэродинамической |
||
трубы C перфорированными стенками путем замены условия |
||
(5.6.1) |
на Ф^-|-оФ = 0, где |
а—степень перфорации |
(а =OO |
при отсутствии стенок).’ |
|