книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

П P и л ож E ии E ТЕОРЕМЫ ОБРАТИМОСТИ

Теоремы обратимости для сверхзвуковых течений свя зывают соответствующие характеристики крыла заданной формы в плане при движении в противоположных направ­ лениях (т. е. когда задняя кромка становится передней и наоборот). Впервые такие теоремы были установлены при менительно к аэродинамическим задачам Карманом который доказал, что сопротивление крыла, связанное с его толщиной, инвариантно к обращению направления движе­ ния. Дальнейшее развитие этих идей для задач о стационар ных течениях было дано Хейсом [®®], [”4 , Хармоном [®^J Флексом [®°], [°Ч, Мунком 1“-®], Урселом и Уордом Брауном [2“] и Джонсом [^°“]. Первое обобщение на случай нестационарных течений получили Хислет и Спрейтер [®®] и Флеке [®°], [®®], Флеке связал теоремы обратимости с ва­ риационным принципом, однако никаких непосредствен­ ных приложений последнего (по крайней мере для неустановившихся течений) пока нет.

Результаты, полученные Хислетом и Спрейтером, пред­ ставляют особый интерес не только вследствие их общности, но также и благодаря их тесной связи с классическими тео­

в деталях. Кроме того, будет получен ряд дополнительных результатов.

Рассмотрим два тела, обозначая относящиеся к ним вели­ чины подстрочными индексами 1 и 2. Пусть эти тела тож­ дественны по форме и совершают полет по одинаковым траек­ ториям, но в противоположных направлениях (при этом

не предполагается тождественность поперечных движений обоих тел), так что головная часть первого тела для вто­ рого тела является кормовой и наоборот. Как показано на рис. П.1, будем считать, что первое (второе) тело начало свой полет в направлении отрицательной (положительной)

координаты из § 3.2 (однако все преобразования и основные

Рис. П .1. Начальные положения тел 1 и 2 и их траектории и плоскости (X , Т).

результаты применимы не только к случаю сверхзвуко­ вой скорости полета). Расстояние вдоль оси X будем изме­ рять от положения средней точки первого тела при Г = 0. Теперь, если через обозначить расстояние от носка тела i до некоторой точки этого тела (i = 1 или 2), то траектории будут заданы уравнениями

где f' (T) — скорость полета в момент Т, и f(0) = 0 . Точно такж е, если через обозначить время, прошедшее с начала полета тела i, можно написать

(П.2а)

(П.2Ь)

Траектории и координаты, заданные уравнениями (П.1) и (П.2), показаны на рис. П.1 для частного случая полета

Для того чтобы установить общую теорему взаимности для указанных двух тел, применим вторую теорему Грина

Здесь за положительное направление нормали п принято направление во вне ограничивающей объем поверхности (а следовательно внутрь тел и их следов). На рис. П.2 изо­ бражена система двух тел в момент времени, предшествую­ щий их совмещению (полное совмещение имеет место при

^i= ^2= Y ^)- В последую­

щие моменты времени по­ верхность интегрирования в соотношении (П.З) со­ стоит из внешней границы объема, занятого телами и их следами. В координа­ тах (X, Т) потенциалы ско­ ростей должны удовлетво­ рять волновому уравнению (3.2.2)

Кроме граничных усло­ вий на поверхностях тел, потенциалы повсюду, за исключением, может быть, точек

на телах, должны удовлетворять начальным условиям

Если теперь проинтегрировать обе части равенства (П.З)

по T в интервале ± \ t , то подынтегральное выражение

вобъемном интеграле правой части примет вид

\(9iV>2-^P2V"q>i)dr =

так как (pi и ф1Tобращаются в нуль в нижнем пределе инте* грирования {ty = 0), а фг и фгт — в верхнем пределе {ti = 0)> Тогда интеграл по времени от левой части равенства (П.З) будет равен

X=COnst. Криволинейный интеграл берется по поверхности тела или следа в плоскости X = const, представлена как функция переменных (Xi^t), а явная зависимость от поперечных координат опущена.

Выражение (П.7) может быть представлено непосред­ ственно в связанных системах координат, учитывая, чтр из уравнений (П.1) и (П.2) следует

Последний результат, естественно, справедлив лишь в слу­ чае сверхзвуковых скоростей потока.

Для того чтобы применить соотношение (П.7) к случаю крыльев произвольной формы в плане, заметим, что оно справедливо, если функции и фг являются любыми реше­ ниями задачи (П.4.5) при условии, что область интегриро­ вания определена соответствующим образом и особенности являются устранимыми (так как потенциал скоростей дол­ жен быть непрерывной функцией, то любая из особенностей в (П.9а) должна быть интегрируемой). Вследствие сказан­ ного функцию Фа можно заменить ее производной ф2т, кото­ рая также удовлетворяет условиям (П.4) и (П.5) ^). Произ­ ведя указанную замену в соотношении (П.7) и интегрируя

видим, что внеинтегральные члены обращаются в нуль вследствие начальных условий (П.5). Таким образом, соот­

Теперь, если предположить, что рассматриваемые тела являются плоскими, то возмущения давления и будут пропорциональны — ф1т и -|-ф2т соответственно, а производ­ ная — фi„ может быть заменена заданным скосом потока Поскольку возмущение давления на следе тела должно обращаться в нуль (в антисимметричной задаче, в симмет­ ричной задаче след отсутствует), то область интегрирования

мени равны нулю повсюду, за исключением самой поверхности тела, где они могут иметь разрыв.

СВОДИТСЯ К ОДНИМ лишь в^хним поверхностям крыльев. Перейдя в соотношении (П .П ), в качестве переменных интегрирования к координатам, связанным с крылом, получим

Это соотношение является обобщением (на случай неустановившейся скорости полета) известной теоремы взаим­ ности, доказанной Хислетом и Спрейтером I'’®] и, в частном случае гармонического движения, Флексом [°°]. Отметим, что справедливость соотношения (П.12), зависит от выпол­ нения условия Кутта (Pi = 0) на задних кромках обоих крыльев. При этом все особенности на кромках крыльев являются интегрируемыми, поскольку задняя кромка крыла S i является для крыла Sg передней и наоборот (таким рбразом, Pi и Vi могут иметь на передней кромке крыла S^ интегрируемые особенности, но эти особенности не могут перемножиться в подынтегральных выражениях (П.12)).

Соотношения (П.9) и (П.12) можно еще более упростить, воспользовавшись преобразованием Лапласа

Согласно теореме свертывания, соотношение (П.12) преоб­ разуется к виду

J J PI (5. s ) b j l - l , s)dS,=

Si

= J J p j I , s )S ,(l- I . s)dS„ (П.14)

S2

Следовательно, если функции Vi и Og содержат однр и ту же отделяющуюся зависимость от времени, то изображе­ ние f{s) в обоих частях (П.14) сокращается. После выполне-

ПИЯ обратного преобразования получившегося соотноше­ ния и умножения обеих частей на f (О, получим при

и аналогичные соотношения, соответствующие (П.9а, Ь, с). Частными случаями зависимости от времени, пред­ ставляющими практический интерес, являются зави­ симость вида f = 1(/) и гармоническая зависимость f = ехр (UiMt). В последнем случае нарушаются начальные условия (П.5), однако вывод соотношения (П.9) может быть видоизменен либо путем предположения гармонической зависимости от времени с самого начала вывода, либо опи­ раясь на то, что при достаточно больших ^ влияние пере­ ходного участка на величину интеграла пренебрежимо мало.

Ряд примеров, иллюстрирующих использование соот­ ношения (П.15), был дан Хислетом и Спрейтером, а также Флексом. Хислет и Спрейтер использовали также более общее соотношение (П.12) для того, чтобы связать подъем­ ную силу, действующую на крыло при входе в ступенчатый порыв ветра, с циркуляцией, возникающей при внезапном изменении угла атаки того же крыла. Тем самым они обоб­ щили результат, ранее полученный Сирсом 1^*4. Из более поздних работ, связанных с использованием теорем обра­ тимости, можно назвать работу Тиммана

ЛИТЕРАТУРА

son— Wesley Press.

23.von B o r b e l e y S. (1939), Ober die Luftkriifte die auf einen harmonisch schwingenden zweidimensionalen Fliigel bei Obers-

30.B u r g e r A. (1954), On the asym ptotic solution of wave pro­ pagation and oscillation problems. N at. Luchtvaartlab . A m ster­ dam Rep. № F -157.