книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений
..pdfулучшается, если выделить это предельное значение записав
1 OO
c„„ = m -'d r + 2 ( - f 5 [ l ^ ^ i * ^ - v ] 7 „ ( v ) / „ ( v ) 4 ^ .
О
(9.4.20)
Результат (9.4.15) представляет собой систему уравнений для определения коэффициентов В принципе эта система бесконечна, но приближенно ее можно заменить конечной системой и решать как таковую. Система (9.4.15) может быть еще решена и методом итераций, полагая
|
(9.4.21) |
|
71=1 |
где |
есть г-е приближение. Заметим, что такой способ |
предполагает, что детерминант левой части системы (9.4.15) не обращается в нуль при действительных К. Нули детерми нанта соответствуют полюсам функции F^(K), рассмотренной нами в предыдущем разделе, где мы заключили, что полюса эти — комплексные.
Некоторая модификация формулы (9.4.21), которая имеет определенные преимущества (см. ниже, рассуждения, сопро
вождающие |
соотношение |
(9.6.12)), дается |
соотношением |
|
|
т-1<> - |
3 (1 — б"*) СшпоЯ’ |
||
|
O^r+!) = - |
|
|
(9.4.22) |
Если величина v постоянна по размаху крыла, из фор |
||||
мулы (9.2.6) следует, что о{^’ = бт, |
и в первом приближении |
|||
интеграл по |
размаху х» согласно |
(9.4.22), |
будет равен |
|
|
|
|
|
(9.4.23) |
Значения действительной и мнимой частей этого выражения приведены на рис. 9.3 и, как видим, демонстрируют неожи данно хорошее совпадение с точным решением (9.3.16).
.Ниже (см. (9.6.1 Ib)) будет показано, что столь хорошее сов падение является следствием вариационного принципа, связанного с функцией %.
Вместо того чтобы методом итераций искать коэффи циенты Фурье разложения решения в ряд, интегральное уравнение (9.4.7) можно решать непосредственно, записав
= |
(9.4.24а) |
где |
|
„(г+1) = „ _ |
(9.4.24Ь) |
- 1 |
|
В этой постановке функция |
является решением гранич |
ной задачи, рассмотренной в § 9.2, при распределении скоса
потока, заданном функцией yf'") |
(т. е. уравнение (9.4.24а) |
|||
идентично уравнению |
(9.2.13)). Поэтому решение здесь |
|||
может быть |
получено |
любым |
из |
методов, применимых |
к уравнению |
(9.2.13). |
|
|
|
Вообще говоря, метод решения, |
рассмотренный в § 9.3, |
для наших целей обладал бы рядом преимуществ, поскольку он не требует итераций, однако отсутствие достаточно пол ных таблиц функций Матье Ne„ снижает практическую цен*
ность этого метода^). |
Кроме того, |
при построении |
при |
|
ближенных решений для малых, или больших |
значений X, |
|||
удобнее исходить из |
интегрального уравнения. Так, |
если |
||
мы хотим найти еще только один |
член разложения |
по Я |
||
в дополнение к решению § 9.2, то функция |
может быть |
приближенно представлена путем разложения функции Ханкеля в выражении (9.4.8) в виде
(9.4.25) Подставляя это выражение в формулу (9.4.17), получим
бЦ»+= |
261? I |
^mn- m ^ 8 ^ Lrt (n-h 1) (rt+2)"^/n (m-l-1) (ш-1-2) |
т (m * - 1) J ’ |
|
(9.4.26а) |
') Это утверждение относится ко времени, предшествовавшему появлению весьма обширных расчетных данных Маэельского Однако мы продолжаем считать методы этого раздела и § 9.6 и.меющнмн ряд преимуществ во многих практических приложениях.
за исключением случая m = п = 1, в котором эта формула имеет вид
Соответствующие выражения для a„^ получим подстановкой коэффициентов (9.4.26) в итерационную формулу (9.4.22). Тогда
«>= { 1 |
+ |
l + |
i t a + In ( 4 |
» .) 1 } “ |
X |
|
|
X |
+ 0 (> .M n U ) |
(9.4.27a) |
|
|
о?лУа |
|
|
( m > l ) , |
(9.^27b) |
+ (m +l)(m +2) ] } + 0 ( > .M n U ) |
|||||
при этом, |
если |
л < 0 , |
следует полагать равным нулю. |
(Заметим, что представление этого результата в форме Л+БХ® более соответствует характеру аппроксимации, и дает некоторые преимущества в конкретных приложениях.) Соответствующие этому приближению значения действи тельной и мнимой частей интеграла по размаху х (ср> C (9.4.23)) представлены на рис. 9.3. Видно, что это прибли жение хорошо совпадает с более точным решением (9.3.16) при Я меньших примерно 0,6.
§ 9.5. Решение уравнения Гельмгольца методом Кирхгофа
Другой подход к решению граничной задачи, сформули рованной в § 9.1, от которого можно ждать хорошего совпа дения результатов с точным решением при очень больших частотах, (Я 1), дает нам метод Кирхгофа (см. Борн, [®‘‘]). В этом методе граничное условие (9.1.6), требующее обра щения ф в нуль при л = О, 111 > 1, заменяется приближен ным условием, согласно которому в нуль должна обращаться производная фт). а не сам потенциал. Соответствующее
решение уравнения (9.1.9) дается выра^кением
|
со |
1 |
1 |
|
Ilvai. = |
S |
|
^ e x p liv d - I') - |
|
|
|
|
I |
|
|
|
_ (v 2 _ l.» )S ,i„ d ')« ', |
(9.5.1) |
ЧТО можно проверить, дифференцируя его по i] и применяя интегральную теорему Фурье (ср. с (9.4.9)).
Полагая в выражении |
(9.5.1) ii= 0 и интегрируя по v, |
|
получим |
|
|
'Nx(I) = -^ 5 |
(>, 11- 1' I)о(I') dl' |
(9.5.2) |
Соответствующее этому решению приближенное выражение для интеграла по размаху, х. при о = 1 имеет вид
XK = 2Х-' [ (яХ)-' + Г. (2Х) - J У, (ч) йч] +
О
2А,
+ 21Х -*[Л (2Х )-$У „(ч)<1ч] (9.5.3)
О
Значение действительной и мнимой частей этого выражения приведены на рис. 9.3, из которого видно, что аппроксима ция Кирхгофа применима при относительно больших зна чениях X (А. > 2 ,4 ). Однако можно было бы показать, что более простое приближенное решение, которое дает теория поршня (см. § 1.4 и выражение (9.1.13)), адэкватно полу ченному.
Приближение Кирхгофа может также послужить отправ ным и при построении точного решения, если к выражению (9.5.1) добавить еще одну часть, в которой интервал инте грирования по I ' будет уже |^'| > 1, а функция о (5')» т. е. скос потока вне крыла, — неизвестна. Если затем приравнять.ф нулю при т| = 0 и (|) > 1, то получим интеграль ное уравнение для определения функции v(l) при |||>1. Однако такой метод решения задачи не имеет каких-либо
преимуществ в обычных |
задачах о крыле, а потому мы |
не будем пользоваться |
им в дальнейшем. |
§ 9.6. Решение уравнения Гельмгольца вариационным методом
Вариационный принцип Швингера^) столь плодотворно примененный в теории дифракции, позволяет приближенно ^определить некоторые интегралы от потенциала по размаху
крыла.
Допустим, что скос потока v представлен в виде раз ложения на функции распределения по размаху типа sin (n0)/sin0, как это делается обычно при исследовании флаттера [ср, с (9.4.13— 16)]; в общем случае функции распределения по размаху умножаются еще на функции распределения по хорде крыла.) Тогда можно записать
У = Ё с л ( 1 ) . |
(9.6.1) |
где коэффициенты могут быть как функциями координаты X, так и Я. В соответствии с этим мы представим потенциал на крыле в виде ряда
4^= S |
(9.6.2) |
где подстрочный индекс нуль при ф в левой части опущен,
чтобы избежать возможной путаницы с |
Функции ф„, |
|
определяются по заданным |
из интегрального уравнения |
|
(9.4.5), которое для этого случая примет вид |
||
1 |
|
|
5 g (l-i')4 > ™ (r)< iE ' = |
t-„ e ) |
(| | | < 1 ), (9.6.3) |
где функция g определена соотношениями (9.4.6—8). Будем искать вместо ф интегралы с весом (такие, какие встреча ются при вычислении .обобщенных сил) следующего типа;
(9.6.4)
См. работы Левина и Швингера [iss], Левина [i®‘] и Майл са fi” J, I*"!].
Умножив обе части равенства (9.6.3) на |
и проинте* |
||||
грировав в |
интервале (— 1, |
+ I ) , разделим |
(результат на |
||
произведение |
из (9.6.4). Возведя обе части равенства |
||||
в степень |
(— 1), |
получим |
|
|
|
|
|
( |
I |
rf|) ( l|’nW,n |
|
|
X,,,,, = X ...= ^ |
V |
T-------------------- |
<9-б-5) |
|
|
|
|
- I |
- I |
|
Пользуясь обычными методами вариационного исчисления, можно показать, что выражение (9.6.5) стационарно по отно шению к первым независимым вариациям функций и в окрестности точного, решения интегрального уравнения
(9.6.3). Кроме того, оно инвариантно к преобразованиям масштаба какф,,^ так и ф,^. Таким образом, формула (9.6.5)
является удобным средством приближенного определения функций Xm,I-
Если в формулу (9.6.5) подставить разложение типа (9.4.13) и потребовать, чтобы полученное выражение было стационарно по отношению к вариациям каждого из коэф фициентов разложения, мы получим систему совместны.х уравнений типа (9.4.15) для определения этих коэффициен тов. Предложенный путь является наиболее последователь ным применением вариационного метода решения, однако в. таком виде он не имеет заметных практических преиму ществ перед непосредственным решением интегрального уравнения. Эти преимущества вариационного принципа проявляются- в том случае, если мы введем относительно простые приближения для потенциала. Рассмотрим разло
жения |
Фурье |
|
|
|
|
о (cos 0) SinO = 2 |
fli^^sin(mO) |
(9.6.6) |
|
|
ф (cos 0) = S |
sin (m0), |
(9.6.7) |
|
где |
задано |
соотношением |
(9.2.6), a |
приближенное |
выралсение (9.6.7) |
для ф получено из разложения (9.2.17). |
сравнивая выражения (9.6.6,7) и (9.6.1,2), получим
= |
|
(9.6.8) |
Om (cos б) |
Sin (от9) |
(9.6.9) |
|
||
(cos 0) = |
sin (mO). |
(9.6.10) |
Теперь, подставляя соотношения (9.6.9,10) в (9.6.5), получим
пJt
Хт„ = - ^ |
И |
\ Sin (т0) Sin Og (cos 0 - cos 0') х |
|
|
|
X Sinn(i(m 0 ')sin 0 'dO'd0j- ^ (9.6.11а) |
|
|
|
|
(9.6.11B) |
где |
задано |
выражением (9.4.16) и следующими. В част |
|
ности, воспользовавшись формулой (9.4.20), получим |
|||
|
|
OO |
I |
X... = |
« г ^ |
{ 1 + 2 т I l(v>- |
M V-VJ. (V) dv } ■’ |
|
|
|
(9.6.12) |
Интеграл по размаху крыла для |
частного случая о = 1, |
который получится, если в выражении (9.6.11&) положить т = п = 1, толадествен интегралу, yxte полученному нами ранее в виде (9.4.23), и его значения приведены на рис. 9.3, а, Ь. Вариационный принцип позволяет оценить и порядок приблилсения, даваемого выражением (9.4.22) (в сравнении с (9.4.21)). Это приближение с точностью до членов порядка X® (ср. с (9.4.26)) долл^но совпадать с точ ным решением в силу вариационного принципа (Левин я Швингер 1^*®1).
§ 9.7. Переходное движение
Ранее полученные результаты, как правило, не могут быть использованы непосредственно в задаче о переходном движении вследствие сложности отыскания обратных пре образований Фурье. Последние, в принципе, можно пред
ставить в виде разложения по убывающим и возрастающим степеням т, разлагая результаты, полученные в предыдущих разделах, соответственно по возрастающим и убывающим степеням X, но вообще практически имеет значение лишь первый из этих процессов^). Однако для малых значений г решение граничной задачи можно выразить через возму щения, вносимые кромками крыла, и через их последова тельные отражения от этих кромок. Метод Шварцшильда ( ] , разработанный им применительно к гармонической задаче дифракции, C большим успехом применим к задаче переход
ных движений, как это показали работы Фокса |
[ “®] в |
обла |
||
сти дифракции и Гана [®®1 |
в теории |
крыла ^). |
|
|
В большинстве практически интересных случаев доста |
||||
точно найти решение в |
интервале |
времени |
О < |
т < 2 |
(в предположении, что рассматриваемое возмущение воз никло в момент T = 0), на протяжении которого две кромки не взаимодействуют друг с другом. При исследовании обте
кания одной кромки, |
например ^ = — 1, |
граничные усло |
||
вия (9.1.5,6) |
примут вид |
|
|
|
|
Ф п 1л = о = -«(1 . о |
(9.7.1) |
||
|
Ф|ч=о = 0 |
( К - 1 ) , |
(9.7.2) |
|
а функция |
ф должна |
удовлетворять дифференциальному |
||
уравнению (9.1.8): |
|
|
|
|
|
|
+ |
= |
(9.7.3) |
Кроме того, |
мы должны задать начальное условие |
|||
|
ф = 0 |
( т < 0 ) . |
(9.7.4) |
|
Граничная задача, |
формулируемая |
соотношениями |
(9.7.1—4), идентична задаче об установившемся обтекании кромки прямоугольного крыла, если в этой последней пере
менные |
(х', у, г) заменить на |
(г, | + 1, |
i]) соответственно. |
|
Проведя |
такую |
замену в |
выражении |
(7.3.6) и введя |
Для численного определения обратных преобразоваинн Фурье |
||||
пригодны результаты Мазельского |
крыле этот метод был применен |
|||
2) К |
задаче о |
колеблющемся |
||
Бюргером |
[®о]. |
|
|
|
соответствующие изменения в обозначениях, получим
'f . (I, t ) = i J |
dr' |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
( 0 < т < 2 ) . |
(9.7.5) |
||||
Подобный же результат получится и для правой кромки |
|||||||
(^ = 4 -1 ), однако |
приводить |
его здесь нет необходимости |
|||||
|
|
вследствие |
симметрии |
||||
\ |
|
задачи (см. § 7.5). |
|
||||
(1+ ) \ |
Если 2 < |
T < |
4, воз |
||||
|
> - |
мущение, |
возникшее |
в |
|||
X |
|
момент времени t = О на |
|||||
|
другой кромке (1= + |
1)» |
|||||
|
приводит |
к |
ненулевым |
||||
(0-у^' |
|
значениям потенциала i|> |
|||||
/ ___ |
\1 |
при -H= |
O H |
I |
< |
— 1. |
|
а) |
+1 |
Тогда выражение |
|
(9.7.5) |
|||
|
не удовлетворяет |
более |
|||||
|
|
||||||
|
|
граничному |
условию |
||||
|
|
(9.7.2). Это показано на |
|||||
ч |
|
рис. 9,5 а, где возмуще |
|||||
|
ния, возникшие при х = |
||||||
б) |
ч |
= 0 и ^ = |
± |
1. |
обозна |
||
|
чены соответственно сим |
||||||
|
|
волом ( 0 ± ) ^). Гранич |
|||||
|
|
ные условия для |
|
потен |
|||
|
|
циала |
при "п = 0-Ь, |
чф(Ч^.ф<о-) \ заданного выражением
|
|
|
в) |
|
|
(9.7.5), |
показаны |
на |
|||
|
|
а) |
|
|
рис. 9.5 6. |
При |
T = |
2 |
|||
Рис. |
9 .5. |
Возмущения |
(0 ± ) |
и |
на кромках должны воз |
||||||
(1 ± ) |
при, |
т] = |
0-Ь , изображенные |
никнуть новые возмуще |
|||||||
в плоскости (I, |
т); крыло |
движется |
ния, обозначенные нами |
||||||||
в направлении |
положительной |
оси |
|||||||||
на рис. 9.5 |
а символом |
||||||||||
C безразмерной скоростью М; б) гра |
|||||||||||
ничные условия для |
при Tl = |
(1 ± ) . |
Эти |
возмущения |
|||||||
= 0; в) граничные условия для |
|
должны |
компенсировать |
||||||||
|
|
при ч = 0. |
|
|
(погасить) |
вне |
крыла |
||||
|
|
|
|
|
|
возмущения, |
приходя- |
1) Это не означает, что г|) D любой точке является суммой отдельных возмущений, см ., например, (9.7.10,11) и § 7.5.
щие C противоположных кромок |
Тогда соответствую |
|
щие граничные условия для |
примут вид |
|
= 0 |
( i ^ ± I ) |
(9.7.6) |
|
|
(9.7.7) |
как это показано на рис. 9.5,в. В |
интервале 4 < |
t < 6 воз |
никают новые возмущения я|)(2±), призванные погасить воз мущения при ^ 5 ± 1 соответственно, и подобным обра зом далее каждый раз, когда т будет последовательно превы шать очередное четное число, будет возникать пара новых возмущений. Определение этих последовательных отражений
будет становиться все более громоздким, |
однако на прак |
|||||
тике целесообразно, |
по-видимому, |
определять лишь |
||||
и |
а возможно и только |
а затем |
воспользовать |
|||
ся |
представлением |
решения при |
больших т, как это ре |
|||
комендуется во |
введении |
к этому разделу. |
||||
|
Простейшим |
случаем |
переходного движения является |
движение, соответствующее следующему закону изменения скоса потока:
I |
у = |
О |
при |
T < |
О, |
(9.7.8) |
1(^)1I |
у = |
1 |
при |
T > |
0. |
(Задача с произвольной зависимостью скоса потока от времени получается отсюда суперпозицией Дюамеля.) Этот случай включает и возможность возникновения возмущений в различных сечениях по хорде крыла в разные моменты времени (как в случае порыва ветра), стоит лишь заменить t на T — То(х). Подставляя зависимость (9.7.8) в выражение (9.7.5), получим:
= |
0 < t < ( | - H ) , |
(9.7.9а) |
<■’= - f [ ’■ V
] .
Й + 1 ) < Т , (9.7.9Ь)
откуда |
выражение для Vo*+* получается заменой (| |
+ 1) на |
||
(1 — 5). |
Если T < 1, интеграл |
от |
“фо по размаху |
крыла |
и его |
первая производная |
по |
времени, необходимая |