книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений
..pdfвпеременных {х, t) выражение (6.4.3) можно переписать
ввиде
X Ws (6) я
' К * - = IS p S ‘'б |
5 ‘'л |
^ / [ л + ( ^ ^ ) з ш в ] х |
о |
1/р(6) |
- л |
X ° [ s , у. (в-'*-®)
Результаты этого раздела будут применены в § 10.2 при исследовании треугольного крыла. Кроме того, они могут быть обобщены и использованы для анализа аэродинамики некоторых типов поверхностей управления (см. работы Майлса Определенные интегралы, встре чающиеся в применении выражения (6.4.6) к случаю гармо нического движения, затабулированы (см. Хакл 1^®-]).
§ 6.5. Стреловидная передняя кромка
Важным частным случаем крыла простой формы в плане является крыло с прямолинейной сверхзвуковой передней кромкой. В этом случае потенциал может быть получен непосредственно из выражения (6.27), хотя некоторые пре имущества дает использование, вначале, преобразования Лоренца (3.5.5) (см. ниже § 8.1 и работу Майлса [“*®]). Если в области интегрирования функция v равна констан те, как, например, в задаче о движении, внезапно начав шемся из состояния покоя, эффект угла стреловидности а учитывается просто умножением потенциала и числа Маха набегающего потока на cos а (см. Майлс 1^°'*]).
§ 6.6. Ускоренное движение крыла
Задача об ускорении симметричного (относительно плоскости Z = 0) крыла под нулевым углом атаки также может быть решена методами, построенными,для нестацио нарных задач обтекания крыльев простой формы в плане (см. Майлс [^^®]). В работе Гарднера иЛудлоффа I” ] бы ли приведены соответствующие расчеты для случая уско рения прямоугольного крыла с клиновидным профилем.
Г Л А В А 7
ПРЯМОУГОЛЬНОЕ КРЫЛО
§7.1. Введение
Вэтой главе мы рассмотрим граничную задачу, которая возникает при исследовании течения в области концов прямоугольного крыла (рис. 7.1). Оценив концевой эффект на одной стороне, мы легко сделаем то же самое для другой
\!/
psQ
Граничная задача для прямо угольного крыла.
стороны ИЗ соображений симметрии. После этого, чтобы полу чить, окончательный результат, останется лишь просумми ровать оба концевых эффекта (если только течения у концов крыла не взаимодействуют между собой; об этом см. ниже). Более того, с помощью преобразования Лоренца решение, полученное для прямоугольной кромки, может быть приме нено. к другим крыльям четырехугольной формы в плане
(глава 8). |
|
|
Основная граничная |
задача формулируется следующим |
|
образом [ср. C формулировкой (6.2.1—3)]: |
|
|
Ф^„ + |
Ф «-А ,*Ф * = 0, |
(7.1.1) |
Ф?1г=о= - V * (t/ > 0), |
(7.1.2) |
Здесь крыло ограничено передней кромкой д:' = |
О и боко |
|||||||||
вой кромкой у = О (рис. 7.1), |
а функция Ф* |
является |
пре |
|||||||
образованием Лапласа от |
Ф по координате х\ Эта задача |
|||||||||
|
|
|
|
|
идентична задаче о диф |
|||||
|
|
|
|
|
ракции |
на |
полуплос |
|||
|
|
|
|
|
кости (рис. 7.2), точное |
|||||
|
|
|
|
|
решение |
которой впер |
||||
|
|
|
_L_ |
вые было дано Зоммер- |
||||||
|
|
|
фельдом |
[““’ ]. Это |
об |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 7 .2 . Граничная |
задача |
для |
пря |
стоятельство |
было |
не |
||||
моугольного крыла в полярных коор |
посредственно |
исполь |
||||||||
динатах, после |
преобразования |
Лап |
зовано |
Стыоартсоном |
||||||
|
ласа. |
|
|
|
[” ®] |
при |
решении за |
|||
|
|
|
|
|
дачи |
о крыле. |
Однако |
|||
этот подход |
-не |
является |
единственным |
и |
возможен |
ряд других путей. Вследствие различия целей, которые ставят перед собой решая задачу дифракции (где инте ресуются полем на расстоянии) и задачу о крыле (где опре делению подлежат значения потенциала на границе), трудно ожидать, что наилучшим в обоих случаях окажется один и тот же метод.Поэтомуздесь мы рассмотримте методы, кото
рые, как |
нам представляется, |
ведут кратчайшим |
путем |
||
к решению поставленных |
задач. |
|
|
||
§ 7.2. Случай, когда |
скос |
потока не |
зависит |
|
|
|
от координаты по размаху крыла |
|
|||
Рассмотрим сначала простейший случай, |
когда |
задан |
|||
ный скос потока v не зависит от координаты у. |
по у, |
||||
Если |
систему (7.1.1.—3) продис^еренцировать |
то решение новой граничной задачи окажется возможным получить путем перехода к цилиндрическим полярным координатам (рис. 7.2) ивведением в рассмотрениеэлементарного решения
(D*=CQ-^he-'>^ZQs^<i>. (7.2.1)
Положив ^ = О и интегрируя с учетом граничного условия (7.1,3) при у = О, мы сможем определить постоянную С,
ИСХОДЯ ИЗ требования, чтобы на больших расстояниях от кромки решение совпадало с соответствующим двумер ным решением Icp. (5.2.6)], т. е.
И тФ * = Ф* = |
Г 1 К * . |
(7.2.2) |
|
V->co |
|
|
|
в результате для потенциала на крыле |
получим два |
||
выражения ^): |
|
|
|
|
V |
|
|
Ф* Iz=O = У *\ |
dT\, |
(7.2.3а) |
|
Ф* Iz=O = |
erf |
|
(7.2.3b) |
Чтобы в выражении |
(7.2.3) |
перейти от |
изображения |
к оригиналу, воспользуемся тем обстоятельством, что в ста
ционарном |
случае (X = s) функция Грина |
определяется |
соотношениями |
|
|
V |
|
|
.5Г^| |
(nsTi)-V2e-sTirfTi| = -| arcsin |
(^ <•*'). |
|
= 1 |
(7.2.4) |
Подставляя теперь в выражение (4.2.3а) в качестве функ ции ф выражение (7.2.4) и интегрируя по частям, после замены переменных S = ^sec^0, для обратного преобразова ния от ф*/Г* в решении (7.2.3а) получим
y) = J^{'KX')-
агссоз(1 / / * ) ^ 2 |
|
|
|
J |
J,[% (x'^-y>sec>9)'h]d6(y,<x'), |
(7.2.5а) |
|
О |
|
|
|
|
g '(x ':y )= J,(^ x ‘) |
(у > х '). |
(7.2.5Ь) |
Наконец, применяя к решению (7.2.3) теорему свертывания.
Л'
(7.2.6)
1) Выражение (7 .2 .ЗЬ) может быть получено также и из решения задачи (7 .1 .1 — 3) в параболических цилиндрических координатах,
как это сделано,D,работах Лэмба |
(^2®], |
применительно к зада |
че ди(|)ракции. (См. также работу |
Ротта |
|
в формуле (7.2.5а) первый член соответствует теории, полоски (ср. C (5.2.7,8)), а второй и является поправкой, учитывающей концевой эффект.
§7.3. Задача стационарного обтекания
Прежде чем приступить к рассмотрению нестационар ной задачи, в случае, когда скос потока является произволь
ной функцией XVi у (или х |
и у), разберем соответствующую |
||||||||
|
|
|
|
задачу |
о |
стационарном |
|||
|
|
|
|
обтекании. |
|
|
|
||
|
|
|
|
Общее |
решение ста |
||||
|
|
|
|
ционарной |
задачи |
было |
|||
|
|
|
|
дано |
Эввардом |
[®®1 (в |
|||
|
|
|
|
частном |
случае, |
когда |
|||
|
|
|
|
крыло является плоской |
|||||
|
|
|
|
пластиной, решение впер |
|||||
|
|
|
|
вые было дано Бузема- |
|||||
|
|
|
|
IiOM |
|
использовавшим |
|||
|
|
|
|
коничность |
течения). |
||||
|
|
|
|
Развитый |
Эввардом ме |
||||
|
|
|
|
тод явился мощным ору |
|||||
|
|
|
|
дием исследования обтег |
|||||
|
|
|
|
кания |
крыльев |
самой |
|||
|
|
|
|
различной формы в пла^ |
|||||
|
|
|
|
не (см. |
также |
моногра-. |
|||
|
|
|
|
фию Уорда 1*®®1). Эввард |
|||||
|
|
|
|
сделал также попытку f®’ ] |
|||||
Рис. 7.3 . а) Область интегрирования |
применить |
свой |
метод |
||||||
к не< |
|
шонарным зада |
|||||||
в выражениях (7.3.1) |
и (7.3.3) при |
|
|||||||
у < х '; б) область интегрирования |
чам, |
однако |
!получен |
||||||
в выражении |
(7.3.1) |
при |
у > х ' . |
ные |
им результаты не |
||||
|
|
|
|
верны, |
за |
исключением |
|||
тех случаев, |
когда |
!йриведенная |
частота |
(или |
скорость |
изменения во времени) настолько мала, что членами поряд ка X* можно пренебречь. В этом последнем случае преобра зования, рассмотренные в- § 4.5, делают результаты Эвварда
пригодными к использованию ^). Стьюарт и Ли |
задались |
|||
целью |
показать, |
что пршщщ ^^ивалентньис |
плащфей |
|
1) |
Пределы |
применимости этих рёзудь.та.трв были указаны |
||
Эввардом в' его |
более |
поз)^ней работе [ьв]. |
|
Эвварда (см. ниже) применим непосредственно к решению
нестационарных |
задач. |
Однако как их доказательство |
|
|
так и примеры применения к конкретным задачам |
||
(Стьюарт и Ли |
Ли |
неверны (см. работы Майл |
|
са |
Стьюарта и Ли [-’ “]). Чен [^®] не вполне последова |
тельно использовал метод Эвварда для получения прибли женных решений. См. также работу Стьюартсона
Рассмотрим прямоугольное крыло, простирающееся до бесконечности в одном квадранте (рис. 7.3,а). Потенциал
на верхней поверхности плоскости |
крыла |
Z = O связан со |
|||
скосом при Z = O соотношением (6.2.7), |
в котором |
х поло |
|||
жено равным |
нулю: |
|
|
|
|
|
у-К-'с'-а |
|
|
|
|
4>\z- |
|
(g . |
Л ) |
|
(7.3.1) |
|
|
|
|
||
Если у > |
х', выражение (7.3.1) |
сразу |
дает |
решение |
задачи, поскольку функция в этом случае известна повсю ду в области интегрирования (рис. 7.3,6). Если же 0 < (/ < л:', то нижний предел интегрирования по т] равен наибольшей из двух величин: — I (слева от которой о' обращается в нуль)
и y — (x' — ‘i), |
а полная область интегрирования есть |
сумма трех |
областей S j + Sa + Sg, показанных на |
рис. 7.3, а. Поскольку функция v в области Sg не известна,
формула |
(7.3.1) не дает нам явного решения задачи при |
у < х ' и, |
следовательно, сначала необходимо определить v, |
воспользовавшись условием, что потенциал ф в области Sg должен обращаться в нуль.
C целью упрощения преобразований выражения (7.3! 1), введём, в, несколько иных обозначениях характеристические координаты (см.. § 3.7), записав
=D C p - q.(A:',</.0 + )= ? ( .v ,P )
v'{x', y) = v{x, у). |
(7.3.2a, b, с) |
Теперь, |
воспользовавшись соотношениями |
(3.7.2) |
и (3.7.4), |
для якобиана и гиперболического |
радиуса, |
соответственно, выражение (7.3.1) |
мы сможем представить |
||
в виде двух уравнений: |
|
|
|
- |
1 |
г f(x, |
r\)dr\ |
’Р |
Jt |
\ |
(7.3.3а) |
|
|||
fix , |
Tl) = |
[ |
(7.3.3b) |
|
|
- V 2 { x - i ) |
Оба выражения (7.3.3а и Ь) имеют вид интегральных уравнений Абеля (Уиттекер и Ватсон стр. 229). Обра щая первое из них, (7.3.3а), по формуле Абеля, получим
„ - - |
д C 'fix, у) dy |
|
(7.3.4) |
Из граничного условия, устанавливающего равенство <р нулю в области R,. следует, что при у < х ф = 0, откуда
C помощью равенства (7.3.4) получаем, что / = O при т) < х. Таким образом, нижний пред^ интегрирования в выраже
нии (7.3.3а) может быть заменен на х и мы будем иметь
Ф{х, у) = ‘ |
(7.3.5) |
I V y-r\ |
■ |
Областью интегрирования в выражений |
(7.3.5) является |
одна лишь область Si, которую Эввард называет эквива лентной площадью. Таким образом, исходя из условия, что Ф = 0 в области R, мы установили, что влияния областей 5-2 и Sg на величину потенциала взаимно уничтожаются
(гасят |
друг |
друга). |
|
|
|
|
Переходя в выражении (7.3.5) к исходной системе коор |
||||||
динат, |
получим |
(*'-1)4-1/ |
|
|
||
|
|
|
у' (I. |
|
||
Ф (х■,.(/, 0 + |
) = ^ - 5 |
jj |
= . (7.3.6) |
|||
|
||||||
Этот |
результат справедлив для всех положительных |
|||||
значений у. |
|
|
|
|
§7.4. Преобразование Фурье в задаче
онестационарном обтекании
Если в дифференциальном уравнении (7.1.1) ч приравнять нулю, так что параметр Xбудет просто равняться s, мы полу чим квазистационарную граничную задачу, т. е. поток в любой момент времени можно приближенно рассматри вать как стационарный. Решение этой упрощенной задачи
может |
быть |
получено заменой функции v в выражении |
|||
(7.3.6) |
|
на V (которая все еще зависит от х) с последующим |
|||
взятием |
от |
этого |
выражения преобразования |
Лапласа |
|
^1^0 = ^ |
\ |
dx' \ |
Cll |
(7.4.1) |
|
|
|
|
|
1(.v'-6)-iy |
|
Здесь |
индекс «О» означает квазистациойарное приближение |
к рещению исходной задачи. Теперь, меняя в этом выраже
нии местами порядок интегрирования по jc' и | (так, что |
||||
пределы интегрирования по I будут простираться теперь |
||||
от Одо 00, а по х' соответственно от | до со) |
и вводя замену |
|||
переменной 1 = |
— |
убедимся, |
что получившийся инте |
|
грал по I есть не что иное, как |
преобразование Лапласа |
|||
от функции V (I, |
Ii). Следовательно, можно |
написать: |
||
ф : |
|
1+V |
у*(д, |
(7.4.2) |
|
|
|
I с - 1/ 1
Отсюда, если только в экспоненте (а не в функции V*, кото рая задана соотношением (7.1.2) как функция s и </) параметр s заменить на X, непосредственно следует решение исходной граничной задачи (7.1.1—3), которое имеет вид
(7.4.3)
ПIt-Wl ^ * '—(// —Л)2
Для того чтобы получить обратное преобразование выра жения (7.4.3), следует проделать следующее: выполнить интегрирование по C по частям, учитывая, что предел внут реннего интеграла, при стремлении ^K нулю, равен nV* {s, у); воспользовавшись формулой (5.2.7), получить обратные
преобразования |
от функций (s“ + x “)-V 2 и (s2+ x 2)-V 2x |
|
|||
X ex p |
[ — (s® + |
U |
и применить теорему |
свертывания |
|
к их произведениям на функцию V*. В результате этих |
|||||
преобразований получим (см. Майлс Р®®1 и |
|
|
|||
|
X' |
(х'-|) |
|
|
|
Ф = |
+ |
\ |
JA y -V ix' |
|
|
|
|
|
Ь-1-V |
. . /7 4 4\ |
|
|
|
|
<иг — \ ^ Л) |
||
|
|
|
. / p H p r i i P ' ' |
' |
где Фз есть составляющая потенциала, которая получается
по теории |
полоски |
из (5.2.8) ^): |
|
|
|
|
|
|
X' |
|
|
|
|
|
Ф .= |
\ |
|
y )d l. |
|
(7.4.5) |
|
|
О |
|
|
|
|
Вводя |
замену |
переменной |
^ = (j(:'-.-g )co s6, |
полу |
||
чим другую форму потенциала Ф |
|
|
|
|||
|
я /2 |
х' |
|
|
|
|
ф = ф ^ - ± j CfG^ |
y o [ x ( j c ' - | ) s i n e ] d | x |
|
|
|||
|
(x '-l) cos 0+ 1/ |
V(I. r\)dr\ |
|
|
||
|
|
ь А |
|
|
(7.4.6) |
|
|
|
a , /(^:'-S)*COS2e_(j/—Tl)2 |
|
|||
|
|(x'-E)cose-u I ' \ |
b/ |
. I/ |
|
Можно получить еще и потенциала, введя в (7.4.6) подстановку "Ц= У ( х ' — I) иметь
третью форму выражения для еще одну тригонометрическую cos 0 cos В результат.е будем
я/2 X'
Ф = Ф , - - 5 - $ <i0 U o [ х ( х : ' - Е ) S in e j d l X
О |
О |
|
2 arcsln V v / (* -t) COS 0 |
|
|
[ |
V[l, у |
1) COS Qcos ф]с1ф, |
_______________^ |
|
(7.4.7) |
1) Результат (7.4.4) напоминает преобразование Магнарадзе из § 4.2, однако решение (4.2;3) здесь непосредственно неприменимо и Требует предварительного преобразования граничного условия (7.1.2).
где аresin в верхнем пределе должен быть заменен на если его аргумент превзойдет единицу. В случае, когда V не зависит от у, интегрирование по ф может быть выполнено в явном виде, и тогда выражение (7.4.7) сведется
к ранее полученному нами результату (7.2.5) и (7.2.6).
j]=(x'~i)cose~j,
;шу-(х'-^)со80
\,1!=(х'-^)созв*1/
б)
Рис. 7.4 . а) Область интегрирования (| ,TJ)
в выаражении (7.4.6) |
при О < |
< |
д:' cos 0; |
б) область интегрирования (S, т]) |
в'выраже |
||
нии (7.4.6) при |
Jt' COS 0 < у |
< |
х '. |
Выражение (7.4.6) можнолнтерпретировать как обобще ние метода эквивалентных площадей Эвварда, поскольку область интегрирования ограничена псевдохарактеристи-
ческими линиями |
т) = |
1/ ± |
(лг'— &) cos0 и отраженной от |
|
боковой |
кромки |
линией |
т) = i/—•(лс'— g) cos 0, которая |
|
задается |
уравнением |
t) = (л:' — |) cos0 — t/ (рис. 7.4). |
К сожалению, эта интерпретация не может быть распростра нена на крылья со скошенными, или криволинейными кром ками, так как, в общем случае, уравнение отраженной линии Маха будет иметь вид n\= f(x', х' — \ —у), а не