книги / Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока
..pdfС учетом (1-195), (1-200), (1-204), (1-210) и (1-211) Т может быть определен в матричной форме:
^ == jg il"cd |
*с0 îpd |
г'ро] ^ |
|
' A(Ld - L q) s n 2 b k - b ) |
4( — I ?) cos 2(9* — 6) |
0 |
|
4(£й — Lq cos 2(0* —6 ) |
—4 ( ij — I e) sin 2(0* — 0) |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
M2 sin 2(0* — 0) |
Mj + M . cos 2(9* — 0) |
0 |
|
— M t + Л1* cos 2(0* — 0) — Мг sin 2 (0* - 9) |
0 |
||
2(Mf - Mg) sin (9* — 0) |
2(Л1/ — Mg) cos (0* — 0) |
о |
|
Mt s n 2(0* - 0) |
+ |
cos 2(9* - 0) |
|
Af* -j- Mt cos 2(0*—0) — A4*sin 2(0* — 0)
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2(Mr |
Ме) sin (0* — 0) |
Ici |
|
|
Afe)cos (9*— 0) |
|
(1-212) |
|
0 |
lc0 |
|
|
0 |
îpd- |
|
|
0 |
[pt |
|
|
0 |
_ гр»_ |
|
Теперь к полученным выше уравнениям |
напряжений и |
||
потокосцеплений |
статора и ротора |
(1-155), (1-172), (1-177) |
|
и (1-188) добавим уравнение движения ротора: |
|||
|
dt* |
dt |
(1-213) |
|
|
где Г , — момент первичного двигателя; / — момент инерации ротора синхронного генератора,
вала турбины и вращающихся вместе с ними ча стей.
Полученные выражения (1-211) и (1-212) (в виде произ ведения трех матриц) для электромагнитного момента син хронной машины являются обобщением соответствующих выражений, приведенных в статье Вауэлса [Л. 149], так как
последние получаются |
как частный |
случай из |
|
формул |
(1-211) и (1-212) при |
6*= 9 после |
проведения |
некото |
|
рых простых преобразований. Так как |
уравнения, |
связыва- |
ющие напряжения, токи и потокосцепления нулевой после
довательности |
статора |
и^, |
|
решаются от |
|||
дельно от |
остальных уравнений |
[см. (1-155) и ( l-172)i], то |
|||||
мы |
получили |
II |
уравнений |
(1-155), |
(1-172), (1-177), |
||
(1-188) и (1-213), связывающих |
11 неизвестных icd, içq, |
||||||
фсг. |
V ’ |
4W |
V |
' |
lp<t V |
*po и 6- |
Решение полу |
ченной системы уравнений позволяет рассчитать любые пе реходные электромеханические процессы в синхронной ма шине.
При этом напряжения на зажимах статора иы, ucq, и^ либо должны быть связаны дифференциальными урав нениями с токами статора ici, i^q, (при известных параметрах цепи статора), либо должны быть заданы. Н а
пряжения |
ротора |
upd. |
иРг, |
«р, |
также либо должны быть |
|||||||||
связаны дифференциальными |
уравнениями |
с |
его токами |
|||||||||||
V - |
ipq> |
V |
(при известных |
параметрах |
цепи ротора), |
|||||||||
либо должны быть заданы. Угловая скорость |
«** коорди |
|||||||||||||
натных осей также должна быть задана. |
|
|
(1-188) |
|||||||||||
|
Перепишем |
уравнения |
(1-155), (1-172), (1-177), |
|||||||||||
и (1-213) |
в развернутом виде. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Уравнения закона |
Ома для цепи статора: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
| |
d |
Фо |
rfO_, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rc 'сd I |
|
,. |
di |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
^cg |
|
|
|
d Ф, |
|
d% |
|
|
(1-214) |
|
|
|
|
|
|
Гс hq + |
dt |
|
dt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
d Фсо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^co |
|
rc ic« -f- |
dt |
|
|
|
|
|
||
|
Уравнения |
потокосцеплений статора: |
|
|
|
|||||||||
Фс* = |
А:р + ^4Ср + |
~ |
A40cos 2 (0, |
0)j icd |
M$ *cjs^n X |
|||||||||
X 2 ( 0 * - f l) + - - [ A f i+ A f ,c o s 2 ( e * — 0) |
V - |
- ^ |
/ pîs in x |
|||||||||||
X |
2 ( 0 ,- 6 ) ]. + |
y |
(Mf - |
Me) ipocos ( 0 , - |
0); |
|
|
|
||||||
|
г = - Л - М 01ы sin 2 ( 0 , - 0) -f | \ p + |
Mcp - |
\ |
M0cos x |
||||||||||
X |
2 \ |
- |
6)J ^ |
— |
l |
Mt ipd sin |
2 |
(0, — 6) -b - L |
X |
|
|
|||
X |
[A4XM2 cos 2(0, - 0 ) ] — y |
(M{ - Mt ) *„0 |
sin (0, - |
0); |
«pi = |
~ |
|
+ |
rt |
cos 2(0* — 0)] ipt — ~ |
rt iM |
Sin 2 (0* |
- |
0) + |
||||||||||||
+ T |
(r' “ |
r‘] '* |
cos (8*- |
|
8) + |
|
|
|
|
{ ^ |
r - |
i |
f |
) ■1 |
|||||||
«p« “ |
|
7" r%ifi |
Sin 2(0* - |
6) + |
•— |
|
[r, — r2 cos 2V0*— 0)] x |
||||||||||||||
X /, |
|
■(n - |
rg) b |
|
sin (0* - |
0) + |
|
d i>r> |
|
|
|
|
|
|
|||||||
PЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
/ Ü |
- Ü |
V |
) ’ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
X |
l |
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||
«po = |
~ r |
(n — re) ipd cos (0* - |
0) — |
|
(n - |
rt ) ipqsin X |
|||||||||||||||
|
|
|
X |
(0* — 9) + |
— |
(ff -f rt ) ipo |
dj>рэ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-216) |
Уравнения |
потокосцеплений |
ротора: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
+ |
|
cos 2(Û* - |
|
0)] ici - |
-j- AT /Cî sin 2(0*- 0)+ |
|||||||||||||
+ Y |
I*-' + |
L' |
cos 2(0* - |
0)] |
ipJ - |
- J L" 'p* sin |
|
2(fl* - |
|
&) + |
|||||||||||
|
|
|
|
- ^ ( i f |
- |
i , ) |
^ |
c o s(0* — 6); |
|
|
|
|
|
||||||||
4>„ “ |
- |
Y |
AT ^ |
sin 2(0* - |
O) + |
y |
|
[M' ~ |
|
Cos X |
|
|
|||||||||
X 2 (0* - 6)] icg - |
y ~ |
/pj sin 2 |
(0* - |
0) + |
Y |
|
- |
L" cos X |
|||||||||||||
X 2(0*— 0)] |
|
|
|
|
|
Le)^ s - .n (% - b y , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
- у |
(A#/ - |
Me) 1Ы cos (0* - |
0) - |
|
Y |
('и / - |
Ю |
iu, sin X |
||||||||||||
X (0* - |
0) + |
« |
(if - |
Lt) ipd |
cos (0* - |
0) ~ |
y |
( Lf |
|
i e)/p,X |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X sin |
(0* - |
0) + |
Y (if + |
|
- |
2A4f*) V |
• |
|
|
|
|
|
|
ТА-----|- {2 ( 4 — LJ [ 4 |
sin 2(9, - |
6) + 2 4 |
4 |
cos 2(9, - в)- |
|||||
— 4 |
sin 2(9, — 0)] + |
M, icd 4 |
sin 2(9, — 9) |
-f [Л^ + Л/2 cos x |
|||||
X 2 |
(9, — 0)] 4 4 |
+ [ - A f l + AfJcos2 ( в * - в ) ] 4 4 - |
|||||||
— M* 4 4 |
sln 2(9* - |
6) + |
2(M/ - |
Me) 4 |
4 |
sin (9, — 9) + |
|||
|
+ |
2(M, - Mt) 4 |
4 |
cos (9, — в)} = |
У |
. |
(1-218) |
||
Отметим, что матрицу статорного преобразования |
[ Ас J |
||||||||
мы взяли так, чтобы при |
9, = в |
получить из нее преобра |
зование Парка для уравнений статора. Матрицу роторного
преобразования |
[ Др | мы выбрали так, чтобы при |
0, — в |
все ее элементы |
равнялись 1, — 1 или 0. Однако |
с точки |
зрения удобства представления формулы электромагнитно го момента и простоты матричных преобразований удобнее было бы выбрать эти матрицы так, чтобы выполнялись ра венства:
[ А ] e W I или [ А ’] = [ А ] ; |
КЬ М . или [A -'] = [ A J . \
Этим равенствам удовлетворяют следующие матрицы статорного и роторного преобразований:
cos §, |
cos (б, — 120°) |
|
— sinfl, |
— sin (9, — 120°) |
|
H . I - V i |
1 |
1 |
|
Y 2 |
Y 2 |
cos |
(9, + 120°) |
|
— sin (9, + |
120") |
|
|
_ j__ |
|
|
/ 2 |
|
|
Г cos 0* |
|
— sin fl* |
У 2 |
|
u n - / 4 |
cos (в* - |
120е) |
- sin (0* - 120°) |
1 |
|
V 2 |
|||||
|
|
|
|||
|
L cos (0* + |
120°) |
— sin (в* +120°) |
1 |
|
|
Ÿ2 |
||||
|
|
|
|
|
|
= |
[A J; |
|
|
COS (О* - 0) |
cos (0* — 0) |
[Ар ] = |
У 2 |
— sin (0* - 0) |
- sin (О* - fl) |
|
1 |
— 1 |
|
|
|
(1-221)
sin (fl*— 6) COS (8*— fl;
о
(1-222)
|
|
cos |
(0Л— 0) — sin (0А— 0) |
1 |
|
|||||
|
У 2 |
cos |
(9* — 6) — sin (0* — 0) |
— 1 |
= И*1- |
|||||
|
sin |
|
(0* — 0) |
cos (0* —0) |
0 |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-223) |
Можно показать, что из полученной системы |
уравнений |
|||||||||
(1-214) — (1-218) |
следует как частный случай система урав |
|||||||||
нений Парка. В |
самом |
деле, полагая |
0А= |
6, |
учитывая |
|||||
равенства |
(1-153), |
(1-170), |
(1-171), (1-176), |
(1-184) — |
||||||
(1-187), (1-202) и |
|
(1-207), получим из системы уравне |
||||||||
ний (1-214) — (1-218) |
систему уравнений Парка: |
|
||||||||
Закон |
Ома для |
цепи статора: |
|
|
|
|||||
|
«сa —'fc i j + |
. |
<f Ф.cd |
■ф,CÎ |
dt |
|
|
|||
|
dt |
dt |
|
|
||||||
|
- |
|
• |
• |
I |
d 'Wa |
, , |
d 9 |
|
(1-224) |
|
“•« = |
C |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
«со “ Гс Zc0 + 'd Фсо dt
Уравнения потокосцеплений статора:
Фей — |
“Ь Mf if + Mg ig‘, |
Ф<* = |
iqj -f Mhik; |
ФеО |
*e** |
»
Уравнения закона Ома для цепи ротора:
Щ + «4 = П h + гgig + — - (% + %);
«А = |
ГJ h + |
dj>h . |
(1 225) |
||
dt |
’ |
||||
|
|
|
|||
Uf |
Ug — rf if - |
rg ig -<r |
|
После почленного сложения и вычитания первого и тре тьего уравнений (1-226) получим уравнения закона Ома для цепей обмотки возбуждения и продольной и поперечной успокоительной обмоток, которые, как известно, не меняют своего вида при применении преобразования Парка, т. е.
|
|
uf = |
г /if ~г |
d <!у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
«4 *= r&h + |
d*g . |
|
|
(1-227) |
||
|
|
dt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«А = |
ГА*л + |
dtyh |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
потокосцеплений ротора: |
|
|
|
||||
% 4- ^4 = |
~2 |
^ |
|
|
Vf + |
+ |
Lf if + |
Lgig, |
|
|
4a = |
-£■ Mkicg + J hih\ |
|
|
|
||
- b = |
-f- (Mf ~ |
Mg) icd — Mfg (if - |
ig) + |
Lf if - |
Lg ig. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-228) |
Сложив и вычтя почленно первое и третье уравнения (1-228), получим соотношения Парка для потокосцеплений обмотки возбуждения и продольной и поперечной успокои тельных обмоток:
Ь = ~ Mf icd + Lf if-{- Mfs ig,
ij>t = ~ Mg icd 4- Lg ig 4- Mfg if-,
* H = ~ - M hlct + Lhi„.
wt
Уравнение электромагнитного |
момента получается |
из |
||||||
(1-212): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т = |
(4, 4* 4о 4 + 4 4 4 — 41 х |
|
|
|
|||
|
0 |
4 ( 4 , - 4 ,) |
0 |
|
0 |
- 4 M h |
|
|
|
4 ( 4 , - |
0 |
о |
2(44+ A4) |
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
2{M, + Mg) |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
- 4 M h |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
2(Mf - M g ) |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
ici |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2(М, - Mg) |
|
hç |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
*c0 |
|
|
(1-230) |
|
|
|
0 |
|
if + |
ig |
|
|
|
|
|
0 |
|
ih |
|
|
|
|
|
|
0 |
. |
if — ig |
|
|
|
|
Перемножив матрицы, получим: |
|
|
|
|
||||
T = = Y |
К4, — Li) fa h„ + Mt h h3 + Me is h , - |
Mh ihi j . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(1-231) |
|
С учетом (1-225) перепишем выражение для Т так: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
«-)• |
|
(1-232) |
|
Формула (1-232) впервые |
была |
получена |
Дрейфусом |
|||||
[Л. 12, 14], затем Парком [Л. 23] и др. Формула |
(1-231) |
при |
||||||
ведена, |
например, |
в статье Вауэлса |
[Л.149], |
без учета |
про |
дольной успокоительной обмотки — в статье А. Г. Иосифьяна [Л. 90] и др. Наконец, если выражение (1-231) снова представим в виде произведения трех матриц, взяв в каче
стве роторных токов if, ig, ih, то получим |
формулу для |
Г, по форме записи близкую к приведенной |
в статье Вау |
элса [Л. 149]: |
|
г = - ~ ( 4 ,4 ,4 о 4 4 4 1 Х |
|
|
вт |
0 |
0 ,5 ( 4 ,- ^ ) 0 |
0 |
0 |
- -0,5М Г |
|
0 ,5 ( 4 ,- Lq) |
0 |
0 0,5М; |
0,5Mg |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,5Mr |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,5Ме |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,5Mh |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
•3S |
1'с?
*с0 if U
- h - (1-233)
Итак, мы показали, что введенные нами преобразования уравнений явнополюсной синхронной машины, заключаю щиеся в отнесении ее уравнений к осям, вращающимся с произвольной угловой скоростью а)й, являются более об щими, чем преобразования Парка, заключающиеся в отне сении уравнений машины к осям, жестко связанным с ее ротором.
Как увидим ниже в гл. 2, нам придется решать вопрос о рациональном выборе системы вращающихся координат ных осей с точки зрения максимального упрощения всей системы уравнений переходных процессов электрической цепи. При этом придется рассмотреть среди ряда вариантов выбора осей такие, как отнесение уравнений всех машин к осям, жестко связанным с ротором одной машины или отне сение уравнений всех машин к синхронным осям.
В последнем случае |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
К = |
00 = I “о d t + |
0ОО= |
W0 * + V |
(1-234) |
|
О |
|
|
|
Нецелесообразность этих двух |
вариантов |
может быть |
||
установлена из |
рассмотрения |
равенств (1-214)— (1-217) и |
(1-212).
В самом деле, из них следует, что в обоих этих вариантах периодические коэффициенты из исходных уравнений ма шины не исключаются, так как элементы матриц преобра зованных статорных и роторных индуктивностей и взаимоиндуктивностей, роторных сопротивлений и электромагнит
ного момента оказываются |
зависящими от |
периодических |
|
коэффициентов |
sin (0ft — в), cos (6*— 0), |
sin 2 (0А— 6), |
|
cos 2(0ft— О). Тем |
самым |
доказано, что отнесение урав |
нений синхронной машины к осям, жестко связанным с ее ротором, является необходимым условием для исключения периодических коэффициентов из ее исходных уравнений. И только при отнесении уравнений явнополюсной синхрон ной машины к осям, жестко, связанным с ее ротором, т, е,
при применении системы координат d, q, 0 или производной от нее системы координат /, 6, 0, периодические коэффи циенты могут быть исключены. Отсюда вытекает, что ра циональным методом выбора вращающихся координатных осей в сложной электрической сети будет прежде всего такой метод (не предрешая всего остального), при кото ром уравнения каждой из синхронных машин обязательно относятся к осям, жестко связанным с ротором именно этой машины.
Кроме того, введенное нами обобщенное преобразование уравнений переходных электромеханических процессов яв нополюсной синхронной машины отвечает еще и на такой вопрос, как получение строгого доказательства того поло жения, что периодические коэффициенты исключаются из вышеупомянутых уравнений только при отнесении их к осям, жестко связанным с ротором.
Разумеется, все сказанное выше относится и к неявно полюсным синхронным машинам, если принять Lm — М0 — = 0 и Ld = Lq.
Итак, из уравнений (1-214) — (1-218) и (1-212) строго следует, что если машина переменного тока имеет магнит ную и электрическую асимметрию (явнополюсная синхрон ная машина) или только электрическую асимметрию (неявнополюеная синхронная машина), то периодические коэф
фициенты могут быть исключены только при отнесении ее |
||||
уравнений к осям, жестко связанным с ее ротором. |
|
|||
Если, как частный случай, рассматривать в синхронной |
||||
машине только |
переходные |
электромагнитные |
процессы, |
|
т. е. считать скорость ротора |
d 6 |
|
то |
|
ы — - ц - постоянной, |
||||
уравнения Парка |
(1-224) становятся линейными |
и, как |
из |
вестно, могут быть решены, например, операторным мето
дом. Рассмотрение уравнения |
электромагнитного момента |
и уравнения движения ротора при этом отпадает. |
|
Переходя в уравнениях |
(1-224), (1-225), (1-227) и |
(1-229) к изображениям, полагая
UЫ (P) ~ Uc<i— Uci’,
= ^с,= = и сг;
U ей iP) |
tfco —**с0> |
|
^cdiP) === Pd Jt“- |
’ |
|
•^cfiP) * |
P g3^ |
i’egt |
1* iP) *» Рй Ф |
|
А р) =
4 V P ) = 'ïrcî = ' i v г*Гсо(р) = ЧГс«==Фс«; 4 '* ( p ) - 4 ', = W
и учитывая ненулевые начальные условия, получаем урав нения закона Ома для цепи статора в операторной форме:
Uса = Р |
|
~ |
Фы (0) - |
+ rc |
] |
|
|
u cg = p v 4 - |
фс? (0) + |
ФСЛ- 4- Гс / Cî; |
(1-236) |
||||
U«> = |
PVcO — 'Pa(°) + rc I cO- |
J |
|
||||
Уравнения |
потокосцеплений статора: |
|
|
||||
|
Ф«/ — Ld Icd-\- Mf If Mg Ig, |
|
(1-237) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ФсО = |
^0 Ля* |
|
|
|
||
Уравнения закона Ома для цепей ротора: |
|
|
|||||
|
Uf = |
rf h + Р Ф/ — Ф/ (0) : |
|
(1-238) |
|||
|
Ug = r eIg + p W |
g - ^ e (0y, |
|
||||
|
Uh ~ |
rhIh 4- P Ф* |
Фа (0) |
|
|
||
Уравнения потокосцеплений ротора: |
|
|
|||||
|
f = |
— |
Mf Itf 4- Lf If 4- M}g Ig, |
|
|
||
|
= |
— Mg 1yj 4- Lg Ig 4- Mfg If, |
■ |
(1-239) |
|||
ФЛ= |
y |
MhI cq + LhI h. |
|
|
Рассматривая далее нулевые начальные условия (сюда же относится расчёт так называемого аварийного режима— см. ниже § 3-1), перепишем уравнения (1-236) и (1-238):
и ы = |
P |
^ 7 « 4- rc I cd; |
(1-240) |
Vcq = |
Р Фс? 4- Ф«* ® 4- г с 7сг; |
||
^со = |
Р Ф"со 4“ rc I l0; |
|
Uf = |
rf I f + p |
ф,; |
и& = |
Гg 16 + р |
(1-241) |
Uh = rhI h i-pW „.
Положив, как обычно, что продольная и поперечная успокоительные обмотки короткозамкнуты(Ua — 0, Uk **0),