книги / Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока
..pdfВ развернутом виде формулы преобразований, напри мер, дл» токов запишутся так:
Ка = |
ha cos 6* — icq sin bk + |
/с0; |
|
|
|
|
(1-162) |
||||
4* = |
ica со ' (ô* — 120°) — h g si" (% — 120°) + |
4 4 |
|
||||||||
ia |
= |
icd cos (0* + 120’) — iCJ sin (6* + |
120°) + |
i j ; |
|
|
|||||
if = |
- j |
ha cos |
(0* — 0 ) --- iM sin |
{ \ — 0) + - j- ip0; |
|
||||||
ig — |
Y |
lPd cos (0* ~~ 6)-----^ |
z’p?sin |
°)-----^ p o i |
|
||||||
h = |
ipa sin (9é — 0) + ipg cos (6A- |
0). |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-163) |
С |
учетом |
(1-157) |
и |
(1-159) |
перепишем |
равенство |
|||||
(1-156): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
[Vc] = 1 A ] I A J U r '] [ 4’] + [ 4 |
] [ Мер] [ V |
И |
41- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-164) |
Множители |
перед |
[ i'c ] |
и |
[ i'p] |
можно |
рассматри |
|||||
вать как |
матрицы статорной индуктивности |
[ 4 СС] |
и вза* |
имоиндуктивности [Мер] после преобразования, т. е.
|
|
[ C ] = [ 4 ] [ 4 c ] [ 4 - '] ; j |
(i-i65) |
||
|
|
[ X p b K H |
M j U |
p 1]. |
(М ее) |
Выполнив |
перемножение |
матриц |
в правых частях ра |
||
венств (1-165) |
и (1-166), получим: |
|
|
||
|
~Кр + Мср + у |
MQcos 2 (0* - |
0) |
||
[ С ] |
|
- - f - M 0 sin 2 {bk— 0) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
-----5-M osin2(0A— 6) |
|
|
0 |
||
I cp + |
Mcp~ - ^ M ücos2(bk ~ b ) |
0 |
|||
|
|
0 |
|
4 |
М, + М2 cos 2(0* — в)
— М2 sin 2(0* — 6)
О
—М2 sin 2(0* — b)
—M2 cos 2(0* — 9)
0
2(Mf —Mg) cos (fl*- 6 ) |
(1-168) |
- 2(M/ —Mg) sin (0* — 0) |
|
0 |
|
где L0 = Lcp — 2Mcp |
(1-169) |
— индуктивность нулевой последовательности статора.
|
М ± = |
М /+ М£ f |
2МД; |
(1-170) |
|||
|
M, = |
M, + Mg— 2Mh. |
(1-171) |
||||
Тогда для потокосцеплений статора получим: |
|||||||
Tpcd |
L:р + |
Afcp + |
— M0 cos 2(0* - 0) |
||||
4>cg |
= |
|
Mo sin |
|
- 0) |
|
|
|
~ Y |
|
|
|
|||
_"ФсО_ |
|
0 |
|
|
|
||
3 |
M0si 2 (0 * -0 ) |
|
0 " |
Г * * " |
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
A P + M cp-----\ |
M0 cos 2(0* |
0) 0 |
|
||||
|
0 |
|
|
|
A> |
гс0 |
|
"Mx4 M2 cos 2(0* - 9) |
— Мг sin 2(0* — 0) |
||||||
J |
M2 sin 2(0* |
0) |
M l — M2 |
cos 2 (0* — 0) |
|||
+ 4 |
|||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
2(Mf —Mg) со* (0* - |
0) |
|
Ipd |
|||
|
— 2(M/ - |
M£) sin (0* |
0) |
lPQ |
|||
|
0 |
|
|
|
- гР° - |
||
|
|
|
|
|
Далее преобразуем уравнения закона Ома для цепей ро
тона. Для этого |
умножим слева обе |
части |
(1-137) на |
|||
[ Ар | и, |
учитывая |
соотношения |
(1-152) |
и |
(1-159), полу |
|
чим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
л ' |
п |
о |
|
|
М Р 1 |
Ug = [Ир]*= UPJ |
о |
rs |
|
+ |
|
|
.«А. |
_upv. |
. о |
о |
Щ |
] |
+ [ЛР ] |
dt |
Уе = [А? ] |
|
|
1_ с- 0
О
—1 о 0 |
|
г, |
0 U p * ] [ 4 ] + |
0 |
гЛ_ |
= А |
~rf |
О |
O ' |
О |
|
О [Ар '] [ *'р] + —■ [% ] — |
|
|
о |
о |
ai |
|
rh |
(1-173)
Множитель перед |
[ гп] в |
первом члене правой части |
|
можно рассматривать как матрицу |
преобразованного ро |
||
торного сопротивления |
[* Рр]» |
Т- е* |
|
М - [ Л . ] [ Л №][Лр']* |
(1174) |
Выполнив перемножение матриц, получим: |
|
||
>, + |
r2 cos2(0a — 6) |
— r2 sin 2(0Л— 0) |
|
— r2 si 1 2(0а — 0) |
r ! - - r 2cos2(0A— 6) |
|
|
2(о |
- rt ) cos (0Л — 0) |
— 2(г/ — r4) sin (0* |
в) |
|
2(0 - r4) cos ( \ — 0) |
(1-175) |
|
|
— 2(о — О,) sin (0ft —в ) . |
||
|
2(0 + rs) |
|
|
где |
|
|
|
и |
fi = О + г« + 2rh |
(1-176) |
|
|
|
г2 = П + ге - 2гк.
Выполнив далее дифференцирование и перемножение матриц в последнем члене правой части (1-173), перепишем (1-173) с учетом (1-175):
(1-177)
Преобразуем уравнение потокосцеплений ротора. Для этого умножим слева обе части (1-139) на [Ар ]:
%d
ш |
= [ A J [ фр ] - [ Ар ] [Afp,] [ *• ] + [ Ар] [1РР1 [ /р]. |
|
_ФрО_ |
|
(1-178) |
С учетом (1-157) и (1-159) перепишем равенство (1-178):
[ф р] = [Л .] [A fJ И Г '][ /с] + |
[ Ар][ LPP] [Ар1] [ Q . |
|
(1-179) |
Множители перед [ /с ] и [ 4 ] |
можно рассматривать |
как матрицы преобразованных взаимоиндуктивности [Мрс] и роторной индуктивности [1РР], т. е.
|
|
[м'рс] = |
[А Р ] [Мрс] [ЛГ1] , |
(1-180) |
|||||
|
[ 4 p ] = |
U |
p ] [ * J U |
p ‘ ]. |
(1-181) |
||||
Выполнив |
перемножение матриц в |
правых |
частях ра |
||||||
венств (1-180) и (1-181), получим: |
|
|
|
|
|||||
|
|
М ' + |
М" cos 2 (9* — 6) |
|
|||||
|
|
- |
М" sin 2(0* - |
|
0) |
|
|
||
|
|
2(М/ |
Mg) cos (0* — 0) |
|
|||||
|
— M " sin 2(0* - 0) |
|
|
|
0 ‘ |
|
|||
|
M ' — М" cos 2(0* — 0) |
|
|
0 ; |
(1-182) |
||||
|
— 2(М/ — Mg) sin (0*— 0) |
О |
|
||||||
Г L' + |
L* cos 2(6*- 0) |
|
— L” sin 2(0* — 6) |
||||||
[ ^-рр] — |
- U |
sin 2(0* - 0 ) |
|
U — L" cos 2(0* — 0) |
|||||
[ (L f -Z .g )co s (0*— 0) |
(Lf—Lg)sin (0*—0) |
||||||||
|
|
(Lf — Lg) cos (0* — 0) |
|
|
|
||||
|
— (Lf — Lg) sin (0* - 0) |
|
|
(1-183) |
|||||
|
|
Lf + Lg — 2Mfg |
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M' = |
Mf + M g + M h\ |
|
(1-184) |
||||
|
|
M" = |
М/ - f Mg — Mh; |
|
(1-185) |
||||
|
L '**0,5(L , + |
La + |
2Lh + |
2M iJ; |
(1-186) |
||||
|
L" = |
0,5 (Lf + |
Lg - |
2Lh + |
2Mfg). |
(1-187) |
|||
В итоге для потокосцеплений |
ротора получим: |
||||||||
|
|
= [АТг'с] |
Ч Г |
|
|
|
tpd |
|
|
|
%я |
hq |
+ Чрр] |
Ч |
|
||||
|
Ч>ро |
|
|
_ . |
|
|
|
^р0 |
|
Для получения электромагнитного момента Т синхрон ной машины в системе координат d k, qk, 0, вращающейся
с произвольной угловой скоростью , будем исходить из
известного его выражения |
(см., например, [Л. 149] в фаз |
||
ных координатах: |
|
|
|
Т — |
<ЦЦ |
(1-189) |
|
d О М- |
|||
|
|
Поскольку матрица Щ представляет совокупность как статорных [гс ], так и роторных f/р ] токов машины, ее удоб но представить, как и матрицу [L], в виде клеточной матри цы [Л. 159, 160]:
4 у |
ш = ht V |
(1-190) |
*Р |
|
|
кК
[Ц = |
|
|
(1-191) |
Последнее выражение для [/-] следует |
из |
(1-138) и |
|
(1-139), если их объединить в одно. |
|
|
|
В развернутом виде для Т получим: |
|
|
|
d\Lte\ |
d[Aftpl |
|
|
dû |
dû |
|
(1-192) |
|
|
|
|
^[^ip/1 |
d\l pp] |
|
|
dû |
dû |
|
|
Вводя преобразованные токи |
[ 4] и |
[ гр] |
согласно |
(1-157) и (1-159) и учитывая свойства произведения транс понированных матриц [Л. 159, 160], получаем:
|
|
d\Lcc] |
d[McP) |
Г = — [ 4*1 М Л |
lu * ] [А-1 |
dû |
d j |
|
М с ~ ']К ] |
||
2 |
р*. |
d[M,p/1 d [£pp] М р ‘] [ip] |
|
|
|
||
|
|
dû |
d и |
На основании свойств произведения матриц это выра жение может быть переписано так:
U s ' C V U r ' ] U r 'l
U r . ' ] ^ U r '] U s '] ^ - U V ]
X |
(1-193а) |
|
4 |
||
|
Далее выполним умножение средней клеточной квадрат ной матрицы на клеточную матрицу-столбец, стоящую спра ва. что допустимо, так как число столбцов матриц, стоя щих в каждой из клеток средней клеточной матрицы, рав но числу строк матриц, стоящих в каждой из клеток матри цы-множителя-:
Т2 1С ipi X
[ÆJ'I |
U r 1] [ 4 ] |
+ U r.'] |
U ,-'] [ 4 ] |
X I V ] |
U r '] 14 ] |
+ U s 1] |
U r 1] [ 4 ] |
(ï-190
Произведя дальнейшее перемножение клеточной мат рицы-строки на клеточную матрицу-столбец, получим:
Т = ТЛ + Гср + Г рс + Tpp= - L [ Ц |
[A J1] |
X |
* |
au |
|
х [А7‘] [ 4 ] + 4 - [ 4 ] [А7,'] -‘ Ш |
- [ л г 1] [ 4 ] + |
|
+ J - [ i ] U s ' ] i H ^ U r ' ] [ 4 ] + |
|
+ - j - 1 4 . ] U « ] |
U r 1] [ 4 ] • |
(i-i95) |
Учитывая соотношения |
(1-140) — (1-145), выполняем |
||
дифференцирование клеточной матрицы: |
|||
= |
М0 |
' sin 20 |
|
sin (20 - |
120°) |
||
d 0 |
0 |
sin (20 + |
120°) |
|
|
sin (20 - 120°) sin (26 + 120°) sin 20
d [Л4+ = d 0
Mg sin 0
Me sin (0 — 120°) Me sin (0 + 120°)
sin (20 + |
120°) * |
|
sin |
20 |
(1-196) |
sin |
(2 0 - |
120°) |
Mf sin 0
Mf sin (0 -1 2 0 °)
Mt sin (0 + 120°)
Mhcos 0
Mhcos (0 — 120°) (1-197)
AfftCos (0 + 120°)
d{Mcot\
rf0
~Mf sin 0 Mf sin (0 — 120°) Mg sin 0 Mg sin (0 — 120°)
Mhcos0 |
Mh cos (0 — 120°) |
||
A4/sin (0 + |
|
120°) |
* |
Mg sin (0 + |
120°) |
; |
|
Alftcos (0 + |
120°) |
|
|
d[M, pi) = |
/ |
rf[Mcp] - . |
|
d 6 |
V |
rfQ |
|
£ 1Ь А . = 0. d О
(1-198)
(1-199)
(1-200)
Из (1-200) следует:
Выполнив перемножение трех средних матриц в составе Т сс, получим:
sin 2(0* — 0) |
cos 2(0* — 0) |
0 |
‘ |
Afo [^crfг"с* г'со1 cos 2(0* — 0) |
sin 2(0* — 6) |
0 |
X |
О |
0 |
0 |
|
|
|
X |
ha |
|
|
|
(1-202) |
|
|
|
[c |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lcQ |
|
|
|
|
Или после перемножения матриц |
|
|
|
|||||
7 \с = |
-J- (L* ~ L<) [ & |
sin |
|
2(9* - |
6) + 21ы icq cos |
2 (0* - 0) - |
||
|
- |
4 sin 2 (0 * -O )J, |
|
(1-203) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
= |
|
( Z , - ! , ) . |
|
(1-204) |
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
a L |
и Lq определяются так |
(см., например, |
[Л. 21, 90, |
|||||
149]): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
, |
(1-205) |
|
|
|
|
|
|
± М |
г |
(1-206) |
Выполнив перемножение |
трех |
средних |
матриц |
в составе |
||||
Г ср, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср - М У № } ^ |
W \ V A - |
|
|||||
|
2 |
|
|
а а |
|
|
|
|
|
|
|
|
' Af, |
sin 2(6* — 5) |
|
|
|
|
|
|
16 [*cd Х |
/со] |
Mj -f- Mi |
cos 2(0* — 6) |
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— M, |
*■ /W2 cos 2(0* — 6) |
2(.И/ — Мг) sin (0* — 01 |
lpd |
||||||
— |
|
si.i 2 (8a — 0) |
|
2{Mf - Mg) cos (0* — 0) |
Hi |
||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
L V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-207) |
или после перемножения матриц |
|
|
|
||||||
|
|
|
Тср = |
{M2 ipd 1Ы sin 2 0*— 0) + |
|
|
|||
|
|
+ |
l - M l + Mi cos 2(0* - |
0)] /и *cd + 2(Af, - Me) X |
|||||
|
|
X |
/рз to, Sin (0* - |
0) + |
[Mg + M2 cos 2 (0* - |
0;] /Frf/„ — |
|||
|
- |
M2 ip, hq si i 2(0* — 0) + 2(M, - Afe) ipeiQd cos (0* - |
0)}, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-208) |
где Mi и M2 были определены выше соотношениями |
(1-170) |
||||||||
и (1-171). |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Выше (1-99) было доказано, что |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Тср = Трс, |
|
|
(1-209) |
|
причем |
легко убедиться, |
что |
это доказательство |
распро |
|||||
страняется и на синхронные машины. |
|
|
|||||||
|
Для электромагнитного момента Т окончательно полу |
||||||||
чаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Т = Тсс + 2Тср, |
|
(1-210) |
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
= |
у |
! 2{Ld — Lq) [ lei sin 2 (0* - 0) -f- 2 iJ .^ |
cos 2(0* — 0) - |
|||||
|
|
|
— icq Sin 2 (0*— 0)1 + |
М.г iKd ifd s n 2 0* — 0) + |
|
||||
- H |
Mi -f M2 cos 2 (0* — 0)] |
|
-f- [ — Mt -(- /W, cos 2i0* — 6)j X |
||||||
X |
Hd ip1 - M zic/ pi sin 2 0* - 0) + 2(Mf |
Mg) i d |
sin (0* - 0 i -|~ |
||||||
|
|
|
-f- 2{Mf — Mt ) iCJ ip,, cos (0* — 0;} . |
(1-211) |