книги / Механика разрушения вязко-упругих тел
..pdfодна относительно другой в плоскости деформации; продольный сдвиг (класс III), приводящий к антиплоскому скольжению по верхностей трещины.
I. Н о р м а л ь н ы й о т р ыв . Сингулярное поле напряжений вблизи края трещины имеет вид
|
|
л |
. |
0 |
. 30 |
|
|
|
1 — Sin "2" Sin - 2— , |
|
|||
|
|
|
0 |
. 0 |
30 |
(4.1) |
'ху |
|
cos -2- sm ~Y |
co s-g - f |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Jyy |
(2 яг)Т |
1 |
, . |
0 |
. 3 0 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
Sin -g—Sin —^2 - . |
|
Здесь использованы полярные коэффициенты, показанные на рис. 13, Ki — коэффициент интенсивности напряжений для тре
щин нормального отрыва.
где х = 3 —4v — для |
|
плоской деформации; |
— для плос |
||||||||
кого напряженного состояния; G — модуль сдвига. |
распределение |
||||||||||
II. |
П о п е р е ч н ы й |
с д в и г . В |
этом |
случае |
|||||||
напряжений вблизи края запишется так: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
• |
|
0 |
Го |
. |
0 |
30 1 |
1 |
|
|
|
|
- = ш |
— |
2 |
+ c o s c o s — |
|
|||
|
° х х |
|
|
е |
|
|
L |
. 0 . |
J |
|
|
|
|
|
|
L |
|
301 |
|
||||
|
_ |
* и |
|
|
|
(4.3) |
|||||
|
1 |
c°s ~2~ |
1 — sm-g- sin-g— |
||||||||
|
Т'Эсу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°У У |
(2яг ) 2 |
. 0 |
|
|
0 |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
S in -g- |
COS -g- COS —g |
|
|
Здесь Ки — коэффициент интенсивности напряжений для тре
щин сдвига.
Поле смещений в этом случае запишется так:
sin -~ jx + 1 + 2cos2-|- j
|
С)--- |
|
|
1 o —2ss |
|
|
(4.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
’ |
(2»)’ |
— |
c |
i n |
2 |
- |
| j ^ - |
|
III. |
П р о д о л ь н ы й |
сд в и г . |
Распределение напряжений у |
края трещины имеет вид
(4.5)
Здесь К т —- коэффициент интенсивности напряжений для тре
щин продольного сдвига.
Соответствующие антиплоские смещения запишутся так:
Коэффициенты интенсивности напряжений Кь Кт К т явля
ются функциями внешней нагрузки, геометрических параметров, размеров дефекта. В отличие от коэффициента концентрации напряжений коэффициент интенсивности напряжений — размер ная величина (в технике — кг/мм3/2).
Как следует из асимптотических представлений (4.1) — (4.6), коэффициенты интенсивности напряжений Ki, Кт К т полнос
тью описывают поле упругих смещений и напряжений у края трещины.
Приведем примеры коэффициентов интенсивностей напряже ний для некоторых задач механики разрушения. В том случае, когда бесконечная плоскость (пластина) ослаблена прямолиней ной трещиной (рис. 14) и находится под действием равномерно распределенных растягивающих напряжений р, приложенных на
«бесконечности» (задача Гриффитса), коэффициент интенсив
ности напряжений определяется так: |
|
Ki = р V я/, Кп = Кт = 0. |
(4.7) |
Для случая, указанного на рис. 15, имеем |
|
Ki = ~ ~ ^ Г * Кн = К т = 0. |
(4.8) |
Для краевой трещины, |
нормальной |
границе |
полуплоскости |
||
при одноосном растяжении (рис. 16), имеем |
|
|
|||
Кг = 1,12р К л/, |
Кн = |
/Сш = |
0, |
(4.9) |
|
а при нагружении, указанном на рис. 17, |
|
|
|||
Кг = 0 ,6 8 |
|/я /, |
Кп = Кш = |
о. |
(4.10) |
! I t
I |
J |
; |
Р |
|
2<1 |
||||
|
|
|
||
|
р |
|
|
|
|
Рис. 14 |
|
Рис. 15 |
Рис. 18'
При всестороннем растяжении бесконечной плоскости со звездо образной трещиной (рис. 18) имеем
Ki = l(n )p V n l. |
(4.11) |
Для четных п значения функции £(л) приведены в табл. 1. При n^slO справедлива формула
£ ( " ) - - j T |
<4->2> |
В случае однородного растяжения бесконечного тела с кру говой дискообразной трещиной (пространственная задача), как указано на рис. 19, коэффициенты интенсивности напряжений за пишутся
|
|
Рис. 19 |
|
|
|
|
Рис. |
20 |
|
Рассмотрим более сложные случаи, изученные в работах |
[52, |
||||||||
53, 63, 64]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть бесконечная упругая плоскость |
|
|
|
||||||
ослаблена |
круговым отверстием радиуса |
|
Таблица |
1 |
|||||
R и радиальными трещинами длиною /. |
|
||||||||
На «бесконечности» |
действуют |
главные |
|
Значения величн* |
|||||
напряжения |
N i= p и Л^=Яр( |
|
|
|
|||||
|
|
|
ны 6 (л) |
|
|||||
причем напряжение Ni направлено под |
|
|
|
||||||
углом а |
к |
оси Ох, |
как |
указано |
на |
2 |
1 |
|
|
рис. 20. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
0,894 |
|
|
В этом |
случае коэффициенты интен |
|
|||||||
6 |
0.778 |
|
|||||||
сивности |
напряжений в |
вершине |
/-й |
|
|||||
8 |
0,705 |
|
|||||||
трещины для 4 -^ 0 ,3 |
запишутся |
так: |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
/ч |
|
|
|
|
|
|
|
X [4COS 2 (0у — а) + 2cLcos (0, - 2а) — (Л* — ect) cos 2а]}, (4.14)
К м = |
~ Т д [ 4 - О + |
А*)] * (О — *) l 2sin2 (0^— а ) 4 - |
+ |
2схsin (0/— 2а) + |
(Ак — c j sin 2а]}, |
где 6j — угол между плоскостью расположения /-й трещины и осью
Ох, Д = (1 + 6 ) -1, |
Л = |
2 [4 - (1 + |
Д*)], 6 = ± . |
|||
Коэффициенты с\ и с2 определяются так: |
|
|||||
для k — 1 |
|
|
|
|
|
|
_ |
2ба |
|
|
___ б4 + 8б3 + 8ба . |
||
Cl |
(2 + 6)* ’ |
Cz — |
(2 + б)4 |
|||
для k — 2 |
|
|
|
|
|
|
|
С - |
о |
U> |
с - |
С - Аа>2 |
• |
|
С1 |
|
Са |
(1 _|_ Д2)2 |
> |
для А > 3
ci = са = 0.
В случае всестороннего растяжения (А = 1), коэффициенты интенсивности напряжений согласно (4.14) запишутся так:
_______ 2_k
К[п = р У Ш | / ^ [-i- (1 + Д*)] * , * ! ? = 0. (4.15)
Для двух симметричных трещин, расположенных вдоль оси Ох
(рис. 21), формулы (4.15) преобразуются к виду |
|
|
|
К р = р V n ( R + l ) (l _ |
2 |
= 0. |
(4.16) |
Отметим, что соотношения (4.16) справедливы для любых зна чений 6 > 0 .
Пусть бесконечная плоскость ослаблена эллиптическим от верстием и двумя симметричными трещинами одинаковой длины /. Плоскость подвергнута всестороннему растяжению напряже ниями р (рис. 22). Коэффициенты интенсивности напряжений в
этом случае:
|
|
i_ |
|
|
Ki = p V M a + l ) |
F(m, 6)|у £ ~ ^ - ]2 |
К„ = 0. |
(4.17) |
|
Здесь |
|
|
|
|
Ло = T-P’TJJ” * 1 |
= |
(а + Щ 1[а + / + V (а + |
I)2— (сг2 |
Ь2)], |
a, b — полуоси эллипса; F(m, б) — функция геометрических па
раметров т , 6. В работе [52] показано, что для всех 0<Сл*<1
величина F(m, б) при отличается от единицы приблизи
тельно на 5%, причем с ростом б это различие уменьшается. Для этого случая из (4.17) имеем приближенную формулу
Kl~pVnia+l>{ r ^ ) ‘ <4|8>
Рассмотрим теперь анизотропное тело с трещинами. Для плоской задачи (ez= 0 ) физические соотношения между напря
Рис. 21 |
Рис. 22 |
жениями и деформациями представимы так:
&ХХ = = Я ц О Хх "f" &12(Уу у “f" C li$ tx y &ЦХх г "Ь @15^УZ* |
|
|||||
Gy у = |
Яа1&ХХ “Ь |
^2 2 ^ VI/ "Н а 23ХхУ “Ь |
& 2& хг "Ь |
^25^1/2’ |
|
|
Уху = |
Я31°хх + |
а 32°уи + |
а ЗЗхх1Г+ |
a Zkxxz + |
а 35Ti/z» |
(4 - ^ 9 ) |
Ухг ~ |
а Ы °хх + |
а к2&ии + |
д 43ххУ “Ь |
а к& хг + |
a i5x yz* |
|
У у г = |
а Ы ° х х + |
а 52°УУ + |
а 53Х хУ + |
а 5ЬХ х г + |
а ЬЬХ Уг' |
|
Во многих случаях краевая задача расщепляется на плоскую деформацию и сложный сдвиг, и напряженное состояние вблизи края трещины в этом случае, согласно работам [ПО, 118, 141], можно представить в виде
Л __ Ki рJ PiPa \ |
Ра_________ ^ |
1\ —L |
** |
У2пг к 1 Pi—Ра LJocose—p2sin0 |
/cos0 —PiSinB JJ |
-4--5iL-Re(___!___f |
$ |
_____ |
P? |
1) |
||||||
|
V 2nr |
l 1*1 — 1*2 |
L Kcose — H2sin0 |
KcosG — jijSinG |
J / ’ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.20) |
о,... |
У2ЯГ |
Re / |
|
1 |
[ |
|
I |
H |
_________ 1*2 |
11 ■ |
уу |
\ |
1*1 — ^2 [ 'KcosO — p2sin0 |
Kcos 0 — [ц sin 0 JJ1" |
|||||||
I |
Ref |
|
1 |
[ |
|
1 |
|
1_______ 1\ |
||
|
У2пг |
1 Hi — Иг |
LKcosG — |iasinG |
V"cos 0 — цх sin 0 |
J) ’ |
|||||
= |
_ K i _ |
Rp/ |
И1И2 |
[ _______ 1___________________I________ ]| ^ |
||||||
xy |
У2пг |
1 |
H i |
H a |
L V |
C O S G |
— |
( i2 sin 0 |
У cos 0 — ( i x sin 0 |
J l |
. _ *n _ Rft / |
|
1 |
Г |
|
__________ __________ 1} |
|||||
|
У"2яr |
l Hi |
H2 |
L У cos0 — |i2sin0 |
У cos0—[ij sin 0 |
JJ ’ |
||||
|
|
|
|
|
*IH |
Re |
. |
■- 3- |
, |
|
|
|
|
%xz — — |
|
||||||
|
|
|
|
V 2лr |
Vcos 0 — n3sin 0 |
|
Km
хуг = T 7 = - Re
V 2лr Kcos 0 — Из sin Э
Здесь /Ci, /Си, Km — действительные постоянные (коэффициенты
интенсивности напряжений), определяемые из решения задачи теории упругости для анизотропного тела с трещинами; ць Мл> Из — корни характеристического уравнения
Ь7и6 + Ь0[1Ъ+ &6и4 + 64|х3 4- b3\i2 + Ь2и + Ь1= 0, |
(4.21) |
где коэффициенты biy b2, ...» Ъ7 связаны с упругими постоянными
материала an, ai2, ..., ass следующими соотношениями:
bi — а22а55— #25»
Ь2 = 2а2б (а24 + а35) — 2а23а55 — 2а45а22,
Ь3= а22а44 + 4а45а23 + а55 (2а12 + аз3) — (а24 + а35)2 — 2а2б (а15 + аз4),
Ь4 = 2а14а254” 2 (а24 -j- а35) (а15 4* #34) — 2а23а44 — 2а13аб5 —
— 2а45(2а12 + а33),
,6б = апа55 + 4а13а4Б + #44(2а12 + а33) — (а15 4- а34)2 + 2а14 (а24 4*#3s)>
&в== 2а14 (а15 4- аз4) — 2а45а1Х — 2а13а44, 67 = аиа44 — а24.
Для практических расчетов очень важен следующий вывод [141], установленный для ортотропных тел с трещинами: если внешние касательные и нормальные нагрузки, приложенные к берегам трещин, расположенных вдоль одной прямой, симмет-
ричны относительно плоскости их расположения, то коэффици енты интенсивности напряжений Ki, Кп и Кт будут такими же,
как в случае изотропного тела.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ ИЗВЕСТНЫЕ МОДЕЛИ И КРИТЕРИИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
Механика разрушения, являющаяся одним из новых направлений в механике сплошной среды, зародилась на стыке с такими фундаментальными науками, как физика, химия, ма териаловедение. Используя в своем развитии методы и подходы, свойственные этим наукам, механика разрушения вводит также новые подходы и критерии, присущие ей одной.
В основе механики разрушения лежат модели разрушения твердых тел, которые можно условно разбить на две группы.
К первой группе относятся однофазные модели. В этих моде лях элемент среды при разрушении сразу переходит из сплошно го состояния в разрушенное. Наиболее известным представите лем этой группы является модель Гриффитса — Ирвина [157].
Вторая группа включает более сложные двухфазные моде ли, согласно которым разрушение элемента среды состоит из двух последовательных фаз. Вначале элемент среды переходит
внекоторое промежуточное состояние (к примеру, расслоение
вполимерах), а затем во второй фазе происходит его оконча тельное разрушение. Одним из представителей этой группы яв ляется модель Леонова — Панасюка [82, 85].
Модель разрушения можно также условно разбить на два
основных элемента.
Во-первых, это — модель трещины, которая дает представле ние о форме трещины, структуре ее края. Во-вторых, это — кри терий разрушения — условие, при выполнении которого начина ется рост трещины.
К известным моделям трещин относятся модели Гриффитса [157, 158], Леонова — Панасюка [82, 85], Г. И. Баренблатта [3], Дагдейла [149] и др.
Наряду с этим было разработано ряд критериев разрушения, наиболее распространенными из которых являются:
1)энергетический критерий Гриффитса [157, 158];
2)силовой критерий Ирвина [160];
3)критерий, основанный на инвариантности /-интегралов, Черепанова — Райса [138, 179];
4)Критерий критического раскрытия трещины (КРТ или COD) [85, 193].
Описание указанных моделей и критериев, а также моделей
икритериев, не отмеченных выше, и библиографию по данному
вопросу можно найти в монографиях |
Л. |
И. |
Седова [129], |
Г. Н. Савина [123], Г. П. Черепанова |
[141], |
В. В. Панасюка |
|
[105], В. 3. Партона и Е. М. Морозова |
[106] |
и в обзорных ста |
|
тьях [3, 47, 108, 126]. |
|
|
|
Остановимся лишь кратко на некоторых моделях и крите риях, которые имеют непосредственное приложение в дальней ших разделах монографии.
1. Основоположником создания механики хрупкого разруше ния справедливо считают А. А. Гриффитса [157, 158]. Им была предложена однофазная модель разрушения упругого тела, ко торая состояла из модели трещины, имеющей вид тонкого раз
реза |
(эллиптический вырез нулевого раскрытия), и энергетичес |
|
кого критерия разрушения |
|
|
|
— ^Уо» |
(5*1)' |
где |
— скорость освобождения упругой энергии W при распро |
странении трещины с площадью S; уо— поверхностная энергия*
приходящаяся на единицу свободной поверхности тела. Впоследствии Е. О. Орован [178] и Дж. Р. Ирвин [160] выд
винули концепцию квазихрупкого разрушения, которая позволи ла применить теорию Гриффитса для объяснения разрушения металлических материалов. Суть этой концепции состоит в том, что для описания квазихрупкого разрушения металлических ма
териалов достаточно заменить в критерии (5.1) |
величину 2у0 на |
2у — интенсивность энергии, затрачиваемой |
на разрушение, |
включающую плотность работы, необходимой для пластическо го деформирования материала вблизи концов трещины.
В более сложных случаях для неупругих тел (в том числе для вязко-упругих) с трещинами общего вида критерий раз рушения получают, обобщая подход Гриффитса, из энергетиче ского баланса, который записывается так {141]:
A + Q = k + U + U, |
(5.2) |
причем А — j OijUitijdl1+ j рFiUidv — работа, совершенная за еди-
хD
ницу времени поверхностными силами на X и объемными силами
Ft в |
области D\ Q = j |
— тепловая |
энергия, подведенная к |
телу |
за единицу времени через 2; К = - у |
j* ptiiUidv—скорость |
|
|
|
|
D |
возрастания кинетической энергии в единицу времени; 0 =
= - j f |
j* v0dv — скорость роста внутренней |
энергии |
тела; |
П = |
|||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
VoIds — энергозатраты в единицу |
времени, идущие на |
увели- |
||||||
I |
|
|
трещин s. |
Здесь |
2 — произвольная |
замкнутая |
|||
чение поверхности |
|||||||||
поверхность, ограничивающая тело D; ^ — компоненты |
единичного |
||||||||
вектора |
теплового |
потока; |
tij— компоненты |
единичного вектора |
|||||
внешней, |
нормали |
к поверхности |
2; |
р — массовая |
плотность; |
||||
у0 — энергозатраты, |
приходящиеся на единицу площади вновь' обра| |
зующейся поверхности трещины; / — скорость распространения края трещины в каждой точке контура по нормали к нему. Точка над буквой обозначает полную производную по времени t.
Для упругого тела соотношение (5.2) упрощается к виду
$ OijUinjda = U — TS + 2yi. |
(5.3) |
v |
|
Здесь Г, 5 — температура и энтропия тела соответственно.
Для однородного и изотропного линейно упругого тела |
из со |
|||||||
отношений |
(4.1) — (4.6), (5.3) |
II |
условия |
необратимости |
роста |
|||
трещины 6 |
2 ^ 0 |
имеем [141] |
|
|
|
|
|
|
[ - 4 jr - |
(К? + |
+ |
Ж |
К?.. - |
Ч |
dl = о, |
(5.4) |
|
-W [ - - 4 ^ |
{К' + |
|
- ж |
Кт + 2v] > 0. |
(5.5) |
Из соотношения (5.4) следует условие локального равновесия
(критерий разрушения) |
упругого тела |
с трещинами |
|
i ^ ( / ( f |
+ KfI) + ^ r |
K?1I = 2Y. |
(5.6) |
<I
Условие (5.5) является условием локальной устойчивости этогр^ равновесия, которое в случае трещин нормального разрыва за пишется так:
Трещины, для которых выполняются условия (5.5) или (5.7), называются устойчивыми. Такие трещины остаются неподвиж ными при постоянной нагрузке, а их развитие происходит толь ко с ростом внешней нагрузки.