книги / Механика разрушения вязко-упругих тел

ко-упругих материалов кривые ползучести e=q>(7) могут быть

асимптоту, параллельную оси времени t, отстоящую от нее на

расстоянии, равном полной деформации, т. е. мгновенной де­ формации ео плюс деформации упругого последействия. Кривая

участка разгрузки ВС асимптотически приближается к оси вре­ мени t. В этом случае процесс деформирования в механическом

смысле полностью обратим (рис. 7).

Процесс деформирования в этом случае описывается соотно­ шениями линейной теории вязкоупругости, содержащими огра­

Процесс деформирования в этом случае можно описать с по­ мощью неограниченных интегральных операторов, к примеру, с помощью операторов с ядром типа Абеля. В первом случае (см.

рис. 7) скорость ползучести е = 0 ; такую ползучесть называют ограниченной. Во втором случае (см. рис. 8) на участке DE ско­

рость ползучести е = const; ползучесть называют установившей­ ся. При достаточно большом уровне напряжений участок DE

кривой установившейся ползучести может сократиться и перейти

вточку перегиба d (рис. 9), разделяющую участки с убывающей

ивозрастающей скоростями деформаций. В последних двух случаях, соответствующий or>as> деформации растут до момен­ та разрушения образца. Такую ползучесть называют неограни­ ченной.

Эта закономерность справедлива как для полимеров, так и для металлов при соответствующих температурах.

Взаключение приведем некоторые свойства резольвентных операторов теории вязкоупругости, необходимые нам в дальней­ шем.

Резольвентные операторы Вольтерра вида (2.27) обладают свойством расщепляемости

Это свойство, в частности, имеют разностные операторы с экс­ поненциальными, дробно-экспоненциальными и степенными яд­ рами, рассмотренные выше.

Для резольвентных операторов имеет место формула обраще­

Обобщением соотношения (2.39) является правило обращения аг­ регата операторов [25]

1= 0,

акоэффициенты ап определяются из системы алгебраических

уравнений

т

= 0 ( л = 1 . 2 , . . . ,т )

П

i=l

ный оператор.

§ 3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ. ТРЕЩИНА В ВЯЗКО-УПРУГОМ ТЕЛЕ

Система уравнений квазистатической линейной тео­ рии вязкоупругости для случая малых деформаций аналогична системе определяющих уравнений теории упругости, за исклю­ чением физического соотношения между напряжениями и де­ формациями, рассмотренного выше. Мы имеем следующие урав­ нения:

уравнение равновесия

случае в форме (2.2).

На поверхности тела S заданы следующие граничные усло­

Здесь tti — составляющие вектора смещения; и*0 — значения на

поверхности тела; Л* — массовые силы; — компоненты еди­ ничного вектора внешней нормали к граничной поверхности; fi,j — частные производные от компонент вектора U по коорди­ нате X j.

Приведем теперь основные соотношения плоской квазистати­ ческой теории вязкоупругости.

Полная система уравнений плоской квазистатической теории вязкоупругости (плоская деформация) при отсутствии массовых сил имеет вид

коммутативные (в общем случае) линейные интегральные операторы вида (2.3).

Для того чтобы уравнения (3.5) соответствовали плоскому на­ пряженному состоянию, достаточно в (3.5) заменить Л* оператором

2А* + м* А* + 2М*

Подобно тому как было сделано в работе [97] для случая

Предполагается, что действие операторов вязкоупругости на аналитическую функцию не меняет ее аналитического характера. В случае бесконечной области при отсутствии массовых сил функ­

морфные в бесконечной области, включая бесконечно удаленную точку.

Во многих задачах механики сплошной среды для их эффек­ тивного решения удобно вводить конформно отображающие функции. В этом случае обобщенные формулы Колосова — Мус-

ю(£) — функция, которая отображает внешность (внутренность) контура L в плоскости z на внешность (внутренность) единично­ го круга в плоскости £; ф(£, /), -ф(£, t) — функции напряжений, связанные с функциями ф{(z, t)\ ф1(г, t) соотношениями

Ф (Е. t) = Ф. [и (£), (\, ф (£, t) = ф! [0) (0. /].

В нашем случае область комплексной переменной z будет

внешностью (включая и бесконечно удаленную точку) некото­ рого односвязного контура L. Будем в дальнейшем пользовать­ ся отображением на внешность единичного круга. В этом слу­ чае для достаточно больших \z\ и |£| отображающая функция

имеет вид

В случае, если на внутреннем контуре L (контуре отверстия или

трещины) задан главный вектор внешних сил с компонентами Xn(t) и Yn(t), а на бесконечности заданы главные напряжения Nx= p (t) и N2= q (t), то функции ф(£, t) и ф(£, t) представимы

в следующем виде:

a — угол между осью Ox и направлением напряжения N i= p (t).

Если для удобства ввести обобщенные напряжения

то первые два соотношения преобразуются к виду

« ; - » ; + * к , = 2 г Ц - ф ' ( U ) + ^ в. о ) •

Отсюда следует, что соотношения (3.12) по форме полностью совпадают с формулами Колосова—Мусхелишвили для упруго­ го тела.

В случае первой основной задачи вязкоупругости граничные условия для функций ф(£, t) и ф(£, t) на основе соотношений (3.

12) имеют вид, аналогичный упругому случаю, и записываются так:

Здесь f* = i ^[X*n(t)-\-iY*n(t)]dst X\(t), У*(t) — обобщенные значе-

u

ния компонент вектора внешнего напряжения, действующего по

s — длина дуги контура; t — точка контура L; а — точка единич­

ной окружности в плоскости £.

На основе полученных соотношений определим плоское поле напряжений и смещений в вязко-упругом бесконечном теле вбли­ зи прямолинейной трещины, находящейся под действием про­ извольных самоуравновешенных напряжений, приложенных к ее берегам (рис. 10). Вначале решим вспомогательную задачу.

Исходя из соотношений (3.10), (3.13) и повторяя ход иссле­ дования работ [97, 85], определим напряженно-деформирован­ ное состояние в вязко-упругой плоскости, ослабленной прямоли­

нейным разрезом длиною 2L(/), когда в некоторых точках на берегах разреза ({■, 0), (£, —0) приложены сосредоточенные растягивающие силы p(t) (рис. 11).

Комплексные потенциалы <р(£, t) и ф(£, t) в этом случае име­

ют вид

§ 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ВБЛИЗИ КРАЯ ТРЕЩИНЫ.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ

Как следует из соотношения (3.21), распределение на­ пряжений в изотропном вязко-упругом теле с трещиной не за­ висит от реологических характеристик и будет таким же, как и в упругом теле. Необходимо отметить, что в общем случае (про­

странственная задача) этого наблюдаться не будет, однако име­ ется ряд практически важных случаев, когда вблизи трещин в- пространственных вязко-упругих телах распределение напряже­ ний будет также чисто упругим.

Для плоской деформации и плоского напряженного состо­ яния указанная закономерность проявляется во многих изуча­ емых задачах. Это условие выполняется в общем случае, если главные векторы внешних усилий, приложенных к каждому из граничных контуров многосвязного вязко-упругого тела, в от­ дельности равны нулю, а на границе тела и берегах трещины за­ даны нагрузки.

В связи с указанным обстоятельством для изучения условий роста трещин в вязко-упругих телах представляет значительный интерес рассмотрение распределения напряжений и смещений у края трещины в упругом теле.

Эти исследования проводились в работах Вильямса, Ирвина^ Райса и многих других исследователей. В работе Г. П. Черепа­ нова [141] с общих позиций показано, что напряженно-дефор­ мированное состояние вблизи края произвольной трещины в уп­ ругом пространстве расщепляется на плоскую деформацию и продольный сдвиг, которые можно исследовать независимо.

В связи с этим удобно выделить различные особые поля на­ пряжений в зависимости от того, к чему приводят возникающие смещения. Таких случаев три (рис. 12); нормальный отрыв (класс I), приводящий к раскрытию трещины; поперечный сдвиг (класс II), приводящий к скольжению поверхностей трещины: