книги / Механика разрушения вязко-упругих тел
..pdfа функция 6о(0 запишется так [105]:
____
80(t) = a j ]/а 2 — г2sin2a da (r^.R). |
(14.2) |
Здесь
R = a -f- d.
Условие конечности напряжений имеет вид |
|
pR — a ]//? 2— а2= 0. |
(14.3) |
Раскрытие берегов трещины при г = а определится из соотноше
ния
(14.4)
Для макроскопических трещин (d<Ca) в рассматриваемом случае справедливы уравнения роста трещин (12,4) — (12.7), ес ли в них вместо Ki подставить его значение согласно формуле
(4.13).
Исследуем развитие макроскопической дискообразной тре щины, описываемой уравнением (12.5) (концепция d= con st), и определим долговечность вязко-упругого массива с трещиной при длительном действии постоянной нагрузки р.
Поскольку для рассматриваемого случая коэффициент интен сивности напряжений также описывается формулой (13.1), ес-
ли в ней положить 1=а и я = - , то развитие трещины также
определяется соотношениями (13.4) — (13.5), если в них заме нить l(t) на a(t). Соответственно формулы (13.9) — (13.11) опи
сывают развитие дискообразной трещины в среде Максвелла. Как видим, пространственный случай отличается от плоско
го напряженного состояния тем, что вместо одного оператора имеется функция от интегральных операторов (14.1).
Если материал несжимаем, следовательно, v*=>v=0,5, зада ча упрощается, и мы имеем полную аналогию со случаем плос кого напряженного состояния, поскольку
Такую же аналогию будем иметь, если выполняется предпо ложение, что v* = v = const.
§ 15. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ РОСТА ТРЕЩИНЫ В ВЯЗКО-УПРУГОМ ТЕЛЕ
Как следует из предыдущего параграфа, в некоторых частных случаях решение уравнения роста трещины в вязкоупругом теле можно записать в квадратурах. Однако в более сложных ситуациях — для общих случаев нагружения и облас тей произвольной конфигурации, когда Ki имеет сложную струк
туру, нахождение решений уравнений (12.4) — (12.7) представля ет значительные трудности.
В связи с этим в работах [125, 199] практически одновре менно для приближенного решения уравнений движения трещин в вязко-упругих средах была предложена следующая аппрокси мация интегрального оператора наследственной упругости:
T*y(t)~(T*-l)y(t). (15.1)
Ниже исследуем область применимости аппроксимации {15.1) для операторов наследственной упругости с ядром Абеля, экспоненциальным и дробно-экспоненциальным ядром, а также проведем уточнение этой аппроксимации для большого диапа зона параметров указанных ядер.
Если применить аппроксимацию (15.1) к общему уравнению роста трещины (10.5), то получим следующее приближенное уравнение:
|
j j j L — l + ? * ( . ) * , |
(15.2) |
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
где q определяется из соотношения |
|
|
|
||||
|
d_ |
концепция |
d = |
const, |
|
||
|
. |
» |
|
||||
Я = |
I |
|
|
|
|
(15.3) |
|
пК\ |
концепция |
о = |
const. |
||||
|
|
||||||
|
81а2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
При d<g / это уравнение |
преобразуется |
соответственно |
к виду |
||||
|
( ^ |
) " |
- 1 + ^ « |
(* )Л . |
(15.4) |
||
где |
|
|
о |
|
|
|
|
|
f 1, |
концепция |
d = const, |
|
|||
|
т = |
|
|||||
|
{ |
концепция |
а = |
const. |
|
||
|
|
12, |
|
Сравнивая уравнения (12.5), (12.7) и (15.4), видим, что они отличаются только структурой подынтегральных выражений. Представим эти уравнения в следующей форме:
( т У = 1 + ЯО-i (я) (i = 1, 2), |
(15.5) |
1
где Q1(q)= ^R(qs)F(s)ds соответствует уравнению (12.5), Q2(<7) =
16
=\ R (ЯБ) ds — уравнению (15.4).
6
Сравнивая значения Qi(q) и Qz(q), оценим погрешность ап
проксимации (15.1) для некоторых типов операторов наследст венной теории упругости.
1. Ядро Абеля. Пусть R(t—т) имеет форму (2.27). Вычисляя для этого случая интегралы Qi(q), получим
Здесь |
|
qQt (q) = Atql |
|
|
|
|
(15.6) |
|||
|
( |
|
ьУ* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ = |
1, |
|
|
|
|
||
|
|
\t = 12 (2 — а) Г (2,5 —а)’ |
|
|
|
|
||||
|
|
I А,[Г(2—а)]-1, |
i = |
2. |
|
|
|
|
||
Отметим, что вязко-упругое раскрытие трещины в вершине |
||||||||||
при x —l(t) определяется выражением |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Т а б л и ц а 6 |
|
fi(0 = S[/(*)].[l +qQi m |
(15.7) |
||||||
а |
Ал |
|
и, |
следовательно, |
при |
малых |
q |
два |
||
|
способа вычисления |
величин |
Qi(q\ |
|||||||
|
|
|
приводят к близким результатам при |
|||||||
|
1 |
|
любых значениях Л*. Однако для оп |
|||||||
0 |
3 |
1 |
ределения долговечности |
пластины с |
||||||
0,3 |
0,4791 |
1,1005 |
трещиной важно знать точность вычи |
|||||||
0,5 |
0,5908 |
1,1284 |
сления самих величин Л*. |
|
Л* |
|||||
0,7 |
0,6732 |
1,1142 |
В табл. 6 приведены |
значения |
||||||
0 ,9 |
0,9016 |
1,0511 |
для |
различных |
а. |
Как |
следует |
из |
||
0,95 |
0,9495 |
1,0272 |
||||||||
|
|
|
приведенных данных, |
аппроксимация |
||||||
|
|
|
(15.1) дает хорошую точность только |
|||||||
для а, не сильно отклоняющихся от единицы. |
|
|
|
|
||||||
Характер зависимости (15.6) дает возможность уточнить ап |
||||||||||
проксимацию (15.1). Действительно, если ввести |
корректирую |
|||||||||
щий множитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k(a) — |
|
^яГ(2- а ) |
|
|
|
|
(15.8) |
|
|
|
л W |
2(2 — а)Г (2,5 — а) ’ |
|
|
|
|
|
то аппроксимация |
|
|
|
|
|
П*г/(г) s 6 (a) (П*-1) у (f), |
(15.9) |
||
|
t |
|
|
|
(где П*y(t) = j R(t — x) у (т) dx) приведет к |
тому же |
результату, |
||
|
О |
|
В данном случае этот |
|
что и точное вычисление величины Qi(q). |
||||
вывод |
очевиден, однако аппроксимация в форме (15.9) может су |
|||
щественно улучшить точность решения для |
других операторов со |
|||
слабосингулярными ядрами. |
—х) |
в виде дробно-экспо |
||
2. |
Эа*-операторы. Представим |
ненциальной функции (2.28). В рассматриваемом случае соглас но ( 12.11) имеем
\ У л
VQi (Ф
п=0 1(я + 1)(1- а ) + 1]Г [т+ (п + 1)(1 - а ) ]
(15.10)
После интегрирования и соответствующих преобразований ана логично предыдущему получим
|
|
|
( _ p f 9("+i)(i-»> |
(15.11) |
||
я |
|
= |
^Г[(„+ 1)(1 |
_ а ) + 1] |
||
|
|
|||||
|
|
п=0 |
|
|
|
|
Преобразуем выражения (15.10) и (15.11) к виду |
|
|||||
Уп |
[ |
|
1 |
|
W |
|
” 2“ |
(2 - а) Г (2,5 — а) |
|
(3 — 2а) Г (3,5 — 2а) - + |
|||
|
|
|
W2 |
|
|
(15.12) |
|
|
|
+ |
0(IF)]; |
|
|
|
|
(4 — За) Г(4,5 — За) |
|
|||
я0.ъ(я) — Л £ Г (2 _ а) |
г (3 — 2а) |
+ |
Г (4— За) ^ ( ^ 3)]» |
|||
где Л = Xql~~a, |
W = |
рql~a — безразмерные параметры. |
|
Поскольку для малых концевых областей величина я очень
мала, а для большинства реальных вязко-упругих материалов X и р также малые величины, то в этом случае W<^ \ и Л<С1.
Если пренебречь малыми членами порядка WA и в уравнениях. |
|
(15.12), то они с точностью до постоянного множителя |
совпадут |
с соотношениями (15.6), полученными для ядра Абеля. |
Это обес |
печивает применимость аппроксимации (15.9) для операторов с дроб но-экспоненциальными ядрами. При этом точность аппроксимации увеличивается с уменьшением W> что следует также из характера
Q1
а
|
ш=Ю“~5 |
ш=10~3 |
ш=10~1 |
а/=10~5 |
0 ,3 |
0,473151 |
0,473351 |
0,494153 |
1,100604 |
0 ,5 |
0,590833 |
0,591164 |
0,626030 |
1,128479 |
0 ,7 |
0,731966 |
0,732491 |
0,788925 |
1,114426 |
0 ,9 |
0,901737 |
0,902543 |
0,991054 |
1,051492 |
изменения |
величин |
Qx = |
q |
, Q2= |
- - ^ ^ |
, k (ос) Q2= |
|||
— |
|
qaQ2(q), вычисленных по формулам |
(15.10), |
(15.11) (табл. |
|||||
7) |
при |
№ = |
10“ \ |
10“ 3, 10-5 для |
различных значений парамет |
||||
ра |
ос. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Немалые концевые зоны. Остановимся теперь на примене |
|||||||
нии аппроксимации |
(15.9) |
к исследованию роста трещин с не |
|||||||
малыми концевыми областями. В этом случае интегральный член |
|||||||||
уравнения |
(11.1) |
преобразуется согласно |
(11.3) |
в интеграл ви |
|||||
да |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j/?(Qs)<p(s)ds, |
|
(15.13) |
/
В табл. 8 приведены значения интеграла (15.13) с ядром
R (Qs) = s~a> |
(15.14) |
которые были получены численным интегрированием с помощью таблиц [77].
В табл. 9 приведены значения приближенного вычисления интеграла (15.13) с помощью аппроксимации (15.9), которая в данном случае представима в форме
1
J ^ k ( a) j*s~~ads = |
(15.15) |
о |
|
Сравнивая результаты, приведенные в обеих таблицах, мож но прийти к выводу, что для ядер Абеля аппроксимация (15.9) и ъ случае немалых концевых областей для многих значений у да-
|
Qt |
IT 3 |
to 1 |
|
о |
1 ,1 0 |
1 4 0 1 |
0 ,5 9 1 1 6 4
0 ,7 3 2 4 9 1
0 ,9 0 2 5 4 3
|
|
Ha)Q, |
|
|
a/—10“ 1 |
tti= l 0—5 |
ш = 1 0 ~ 3 |
ш = 1 0 — 1 |
|
|
||||
1 ,1 8 5 8 7 3 |
0 . 4 7 3 1 3 2 |
0 ,4 7 3 4 7 4 |
0 , 5 0 9 7 8 7 |
|
1 ,2 3 6 5 2 5 |
||||
0 ,5 9 0 8 5 5 |
0 ,5 9 1 3 7 2 |
0 ,6 4 7 4 2 4 |
||
1 ,2 3 7 7 2 5 |
||||
0 ,7 3 2 0 6 8 |
0 ,7 3 2 0 6 8 |
0 ,8 1 3 0 6 4 |
||
1 ,1 7 2 8 1 5 |
||||
0 , 9 0 2 0 4 3 |
0 ,9 0 2 9 7 0 |
1 ,0 0 6 1 2 2 |
||
|
|
|
Зн ачен и я |
и н тегр а л а |
a |
Y=0,0I |
7=0,1 |
Y=0,3 |
|
|||
0 |
0 ,3 3 3 3 |
0 ,3 3 4 3 |
0 ,3 4 2 5 |
0 , 5 |
1 ,0 4 6 9 |
1 ,0 4 9 8 |
1 ,0 7 4 0 |
0 , 7 |
2 ,1 8 8 5 |
2 ,1 9 4 4 |
2 ,2 4 3 1 |
0 , 9 |
8 ,5 7 2 3 |
8 ,5 9 4 3 |
8 ,7 7 5 8 |
Т а б л и ц а 8
O' |
|
7=0.5 |
7=0,7 |
0 ,3 6 0 1 |
0 , 3 8 9 8 |
1 ,1 2 5 7 |
1 ,2 1 2 7 |
2 ,3 4 7 0 |
2 ,5 2 1 8 |
9 ,1 2 1 9 |
9 , 8 1 2 4 |
ет приемлемую для практики точность.
Если параметры Л и Wy введенные в соотношениях (15.12)»
малы, то
(15лб)
следовательно, в этом случае также можно применять аппрок симацию (15.9) при исследовании роста трещин с немалыми кон
цевыми областями.
Применяя аппроксимацию (15.9) к уравнению (10.5), по лучаем приближенное уточненное (относительно уравнения (15. 2)) уравнение роста трещины в вязко-упругой среде в форме
я
_ Л _ |
= 1 + k (a) \ R (г) dr. |
(15.17) |
в [/(01 |
с/ |
|
Для макроскопических трещин это уравнение примет форму, концепция d=const
_5L = 1 + k (a) f R (r) dr, q = |
- f , |
(15.18) |
о |
1 |
|
концепция а = const
|
^ |
nK? |
(15.19) |
|
|
= l+ A ( a ) J * ( x ) A , q- |
|||
|
|
|
81 a* |
|
Отметим некоторые основные области применения аппрок |
||||
симации |
(15.9) |
|
|
|
Во-первых, ее желательно применять в том случае, если K i= |
||||
=Ki(l) |
имеет |
сложную структуру и затруднительно |
получить |
|
Т а б л и ц а |
9 |
решение уравнений (12.4) — (12.7) |
в квад |
|
ратурах. Исследование задач такого типа, |
||||
|
|
|
проведено в последующих параграфах. |
аЗначения Во-вторых, ее применение эффективно-
|
|
при исследовании роста трещин с немалы |
0 |
1/3 |
ми концевыми областями, когда наследст |
венные свойства среды описываются инте |
||
0,5 |
1,0472 |
гральными операторами с ядрами сложной |
0,7 |
2,1896 |
|
0,9 |
8,5780 |
структуры. |
В-третьих, она позволяет получить ре шение задач о росте трещин в анизотроп ных вязко-упругих телах. В третьей главе дается обоснование
применения аппроксимации (15.9) к иррациональной функции от интегральных операторов. И, наконец, аппроксимация (15.9) существенно упрощает решение задач о движении трещин под действием нагрузок, изменяющихся во времени. Некоторые из этих задач рассмотрены в следующих параграфах.
§ 16. ИССЛЕДОВАНИЕ РОСТА ТРЕЩИН НОРМАЛЬНОГО РАЗРЫВА ПОД ДЕЙСТВИЕМ НАГРУЗОК, ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ
Рассмотрим развитие макроскопических трещин нор мального разрыва под действием внешних нагрузок, которые медленно и монотонно растут со временем. В этом случае решение уравнений (12.4) и (12.7) нельзя даже для простых случаев записать в квадратурах и для упрощения этих уравне ний будем применять аппроксимацию (15.9).
Остановимся на исследовании роста трещин в рамках кон цепции d=const. Уравнение (12.4), преобразованное на основе аппроксимации (15.9), имеет вид (15.18). Возьмем для опреде ленности экспоненциальное ядро в форме (2.21). В этом случае
k(a) = j и уравнение (15.18) можно разрешить относительно q:
ч ------ |
(16' 1) |
Преобразовывая это уравнение и вводя безразмерные параметры
х — -\~, к = |
-у-, 0= |
—- = , окончательно получим |
|
*о |
*о |
тге1 |
|
|
dx |
X |
(16.2) |
|
|
|
In
(дг.е)
Поскольку в рассматриваемом случае переходной период пре небрежительно мал, то начальное условие запишется так:
х = 1 при 0= 0. |
(16.3) |
В качестве примеров найдем решение уравнения (16.2) для вязко-упругого аналога задачи Гриффитса, когда
/ t i= p ( 0 ) J/ S 7 , |
(16.4) |
и случая устойчивого развития трещины под действием двух, сим метрично расположенных растягивающих сосредоточенных сил одинаковой величины (см. рис. 15), когда Ki имеет вид
Ki = £ = , |
(16.5) |
Ул/ |
|
Представим внешнюю нагрузку в форме
р(0) = р * 1> + ь/(е)]-
Уравнение (16.2) для указанных двух случаев соответственно запишется так:
dx_ |
____________ х____________ |
(16.6) |
||
dQ |
lnI1“ з"[т+ b f W T T ~ *)] |
|||
|
||||
|
|
|||
.(/Ci определяется соотношением (16.4)), |
|
|
||
dx |
x |
|
(16.7) |
|
dd |
- j J — |
- i ) l |
||
|
||||
|
a + 6/(0) |
!\ |
|
(Ki определяется соотношением (16.5)).
Решение уравнений (16.6) и (16.7) проводилось на ЭВМ БЭСМ-4 численным методом Рунге — Кутта [35].
На рис. 38 представлены результаты этого решения зависн- -мостыо безразмерных длин трещин х (0) от параметра 0 для слу
чая, когда внешняя нагрузка растет со временем по линейному
закону
Р №) = />*(0,5 + 0,01 0) |
(16.8) |
При х = 10 2, -jp = 9.
Как следует из характера этих зависимостей, неустойчивая трещина (аналог задачи Гриффитса) растет более интенсивно, чем устойчивая и со временем достигает критической длины 1=
= /*, когда начинается ее ди намическое развитие.
Устойчивая трещина разви вается равномерно по мере увеличения внешней нагрузки
и не имеет периода динамического развития. Если развитие устойчивой трещины происходит при постоянной нагрузке, то ее рост быстро затухает и трещина через некоторое время оста навливается. Это видно из зависимости, приведенной на рис. 39, которая представляет собой решение уравнения (16.7) при
р = const, к о г д а =3, -^=9 и |
10~2. |
|
Р* |
Р |
|
§ 17. ДОЛГОВЕЧНОСТЬ ВЯЗКО-УПРУГИХ ПЛАСТИН С МАКРОСКОПИЧЕСКИМИ ТРЕЩИНАМИ
Исследуем долговечность тонких вязко-упругих плас тин различной геометрии с прямолинейными макроскопическими трещинами нормального разрыва, находящихся при длитель ном воздействии постоянных нагрузок. Будем полагать, что де формирование материала пластин описывается интегральными операторами Абеля и Эа*-операторами [112]. Согласно резуль татам, полученным в предыдущих параграфах, длительность ин кубационного и переходного периодов для макроскопических;
трещин (d<C/) пренебрежимо мала по сравнению с основным периодом медленного роста трещины, который описывается урав нениями (12.5) и (12.7). В этом случае можно полагать
(17.1)
Ниже, исходя из (17.1), определим долговечность вязко-упругих пластин с макроскопическими трещинами при длительном дей ствии постоянных нагрузок на основе уравнений (12.5) и (12.7).
1. Оператор Абеля. Исследуем долговечность вязко-упругой пластины с трещиной нормального разрыва, характеризуемой произвольным коэффициентом интенсивности напряжений Къ в
рамках концепции rf=const. Если ядро интегрального операто ра в уравнении (12.5) имеет форму (2.27), то уравнение (12.5) преобразуется к виду (12.9), решение которого легко записать в квадратурах.
После разделения переменных и интегрирования решение уравнения (12.9) запишется в виде
(17.2)
где
Если развитие аналогичной трещины в упругой пластине неус тойчиво и существует критическая длина /= /* , то долговечность вязко-упругой пластины с трещиной определится из (17.2) в форме
dy, |
(17.3) |
1
В качестве примера исследуем случай, когда Ki имеет фор
му (13.1), что соответствует геометрии областей, изображенных на рис. 14, 16—18.
Подставляя (13.1) в уравнение (17.3), получим
Т * = 4 Л"” ' j - l ) ‘" “ *У ’ 0 7 .4 )
/* где х * = ~•о.