книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

структур все ячейки и возникающие в них деформационные, электромагнитные поля статистически единообразны в различных ячейках в соответствующих масштабных единицах. Формулы

(2.243) – (2.245) получены на основе (2.262) для С* с учетом, что для рассматриваемых двухфазных композитов справедливы разло-

e = e1 −e2 , h = h1 − h2 , … . В уравнениях (2.246) вычтем из первого второе, получив для компонент отклонений Λ (r) = ΛIII (r) − ΛI (r) выражение

ijmn (r) = Cijdbadmn,b (r) − epij fmn(1), p (r) − hpij fmn(2), p (r) .

Домножим левую и правую части последнего равенства на пульсацию i1III/ (r) и осредним

i1III/ ijmn = Cijdb i1III/ admn,b − epij i1III/ fmn(1), p − hpij i1III/ fmn(2), p ,

где

201

Далее с учетом возможной аппроксимации (см. рис. 2.24, в) (2.255) – (2.256) корреляционной функции

численное значение коэффициента p находим из аппроксимации (см. рис. 2.24, б) (2.237). В полученном разложении

выражение i1III/ Λ в левой части (2.248) запишем в виде

где

с учетом (2.243) – (2.245). После преобразования (2.249) с учетом

(2.250) имеем

и дополнительно из (2.247) следует равенство

Приравнивая правые части выражений (2.251) и (2.252), получим искомое решение

202

дели» – волокно с прослойкой матрицы в эффективной среде. Отметим, что в волокнистых двухфазных системах пьезоэлектрик PVDF/феррит предпочтительнее использовать PVDF в качестве матрицы композита [11], так как абсолютные значения эффектив-

ного коэффициента электромагнитной связанности *33 для компо-

зита с ферритовыми волокнами в PVDF-матрице более чем в два раза могут превышать значения этого коэффициента для композита с PVDF-волокнами в ферритовой матрице при сохранении объемных долей фаз.

На рис. 2.25 представлены результаты расчета эффективного модуля сдвига G12* в плоскости изотропии r1r2 и коэффициентов

электромагнитной связанности 11* , *33 волокнистого композита

PVDF/феррит с разупорядоченной полидисперсной структурой (см. рис. 2.24, в’) (○) по формуле (2.254) с использованием приведенного коэффициента корреляции p• в зависимости от относи-

тельного объемного содержания v1 ферритовых волокон в пьезо-

электрической PVDF матрице в сравнении с точным решением ( • ) по «трехфазной модели» [25, 47]: волокно с прослойкой матрицы в эффективной среде для заданного численного значения параметра

p0 = 0,8 и объемной доли v1 (0; p0 ) (1.2).

Дополнительно на рис. 2.25 приведены результаты расчета (Δ) с использованием начального коэффициента корреляции (1.18),

(1.105) p = ( p0 − v1) / (1− v1) вместо приведенного p• в формуле

(2.254) и для базовых полидисперсных структур на рис. 2.24, а’ (□) и б’ (◊). При инверсии свойств фаз в полидисперсной структуре на рис. 2.24, а’, для композита с пьезоэлектрическими PVDF-

волокнами в ферритовой матрице [144] решение 33I* в точности

совпадает с аналитическим решением асимптотического метода осреднения [11] для идеальной периодической волокнистой структуры. Отметим, что для некоторых частных случаев, например, когда корреляционные функции k11( ) для структур на рис. 1.1, е, ж,

«близки» (рис. 1.17) к функции k11I ( ) (см. рис. 1.1, б, рис. 2.24, а’),

тогда можно, не проводя изложенных уточняющих расчетов и считая p• 1 в (2.254), предположить близость и соответствующих

204

эффективных модулей ((□), рис. 2.25) для таких структур

(см. рис. 1.1, б, е, ж).

v1

G12* / G(2)12

11* ,нс/м

v1

v1

*33 ,нс/м

в

Рис. 2.25. Эффективные модуль сдвига G12* (а) и коэффициенты электромагнитной связанности 11* (б), *33 (в) композита

с разупорядоченной полидисперсной структурой

205

Таким образом, проведен численный расчет и анализ (см. рис. 1.17, рис. 2.24) двухточечных корреляционных функций традиционных (см. рис. 2.24, а’, б’) и разупорядоченных (см. рис. 1.1, д–ж) полидисперсных однонаправленных волокнистых структур композитов. Получено уточненное аналитическое решение (2.254) для прогнозирования влияния разупорядоченности элементов структуры (см. рис. 2.24, в’) на тензоры эффективных пьезоэлектромагнитных и термоупругих свойств пьезоактивных композитов. Уточнение в (2.254) состоит в использовании приведенного коэффициента корреляции p• (2.256), учитывающего ре-

альный вид двухточечных корреляционных функций случайной структуры через поправку p к ранее известному (1.18) одноточечному коэффициенту корреляции p . Формула (2.254) может

быть обобщена на случай квазипериодических структур для уточненного анализа влияния на эффективные свойства композитов технологических вариаций во взаимном расположении, геометрической форме и размерах пьезоактивных элементов структуры с учетом реального вида корреляционных функций.

2.7.2.3. Бинарное уточнение решения для квазипериодических монодисперсных структур

Фрагменты квазипериодических однонаправленных волокнистых структур изображены на рис. 1.2, б–г, рассмотрим одну из них (см. рис. 1.2, г). Для такой квазипериодической структуры на рис. 1.5, в, и в табл. 1.1 приведены результаты расчета коэффициента периодичности p для различных степеней разупорядоченно-

сти волокон, в разделе 1.3.4 на рис. 1.12, рис. 1.15 построены двухточечные корреляционные функции в трансверсальной плоскости. Дополнительно в разделе 1.4.3 на рис. 1.18, в, г, приведены фрагменты реализаций квазипериодических монодисперсной (см. рис. 1.18, в) и коррелированной с ней полидисперсной (см. рис. 1.18, г) структур, получены решения (1.105) для коэффи-

206

циентов корреляции квазипериодических монодисперсной и полидисперсной структур и построены нормированные корреляционные функции традиционных полидисперсных (см. рис. 1.19, а), квазипериодических полидисперсных (см. рис. 1.19, б), квазипериодических и периодической (см. рис. 1.19, в) структур.

Рассмотрим обобщение метода корреляционных составляющих, эффективность и точность которого подтверждены ранее в разделе 2.7.2.2 для разупорядоченных полидисперсных структур, на новый класс монодисперсных квазипериодических структур (рис. 2.26, а’) с использованием новых вспомогательных коррелированных квазипериодических полидисперсных структур (см. рис. 1.18, г, рис. 2.26, б’) на примере анализа пироэлектромагнитных связанностей пьезокомпозита для случая, когда этими эффектами не обладают входящие в него фазы.

Для коррелированных квазипериодических монодисперсной (рис. 2.26, а’) и полидисперсной (рис. 2.26, б’) структур на

рис. 2.26, а, приведены результаты расчета функции k11(ρ) ( • ) (2.236) и ее аппроксимации в первом (○) k11(1) (ρ) (2.237) и во втором k11(2) (ρ) (2.238) приближениях, где поправка k11(2) (ρ) (2.239) рассчитывается через разность k11(ρ) (2.240) и поправочный коэффициент p (Δ) (рис. 2.26, в), найденный из условия наилучшей

рассчитываем через начальный p (○) (1.105) и поправочный p

(Δ) (2.239) коэффициенты корреляции (рис. 2.26, в).

207

Рис. 2.26. Аппроксимации (○) действительных значений ( • ) для первого (а) и второго (б) приближений, начальный p , поправочный p

и приведенный p '• коэффициенты корреляции (в) структур (а’), (б’)

Метод корреляционных квазипериодических полидис-

персных составляющих. Для заданной (см. рис. 2.26, а’) монодисперсной квазипериодической структуры в корреляционном при-

ближении [10; 102; 104; 148] имеем (2.219)

тельной области V композита. Аналогичные формуле (2.256) решения могут быть записаны для тензоров эффективных свойств

208

вспомогательных структур: коррелированной квазипериодической полидисперсной структуры (см. рис. 2.26, б’)

и полидисперсной структуры (см. рис. 1.1, г)

В исследовании [148] получена формула

связывающая в рассматриваемом случае (см. рис. 2.26, а’, б’) смешанную нормированную корреляционную функцию 1-й фазы

k11(ρ) (2.250) с тензорами эффективных свойств заданной моно-

дисперсной A* (см. рис. 2.26, а’) и вспомогательной полидисперсной AI'* (см. рис. 2.26, б’) коррелированных квазипериодических структур. На основе разложений функции k11(ρ) в первом (2.251) или втором (2.252) приближениях и линейности оператора Φ1A[...]

(2.222), (2.256) левую часть равенства (2.259) представим, например, во втором приближении

с учетом (2.257), (2.258) и далее, приравнивая правые части выражений (2.259), (2.261), получим искомое решение

209

с учетом равенства AI'* = AI* эффективных свойств для полидисперсных структур (см. рис. 1.18, б и рис. 1.1, б). Решения AI* , AII*

для базовых полидисперсных структур получены в разделе 2.4: AI*

(2.71), (2.80), (2.82), (2.84) на «составной ячейке» в разделе 2.4.1,

AII* (2.71), (2.104) на «одиночном волокне в эффективной среде» в разделе 2.4.2.

Пироэффект у композита PVDF/феррит. Проведем числен-

ный расчет эффективных пироэлектрического *3 и пиромагнитного *3 коэффициентов композита PVDF/феррит для различных по-

лидисперсных (см рис. 1.1, б-г, рис. 2.26, б’) и монодисперсной (см. рис. 2.26, а’) волокнистых структур; пироэлектромагнитные

коэффициенты фаз ( f )3 = ( f )3 = 0 ( f =1,2 ), температурные коэффициенты феррита (1)11 = 4,4 МПа (2.11) – (2.13), пьезоэлектрика

PVDF (2)11 = 2,386 МПа.

На рис. 2.27 представлены решения для пирокоэффициентов*3 (рис. 2.27, а) и *3 (рис. 2.27, б): монодисперсной квазипериоди-

ческой структуры (см. рис. 2.26, а’) в первом (○) и втором ( • ) приближениях (2.255)–(2.260), (2.262) базовых полидисперсных струк-

тур на рис. 2.26, б’ (см. рис. 1.1, б, в) (□) (2.66), (2.71), (2.72) и на рис. 1.1, г (◊) (2.71), (2.104) композита PVDF/феррит и феррит/PVDF (инверсия фаз) структур в зависимости от объемной доли феррита v1 . Наибольшие значения абсолютных значений эф-

фективных коэффициентов *3 , *3 выявлены у композита

PVDF/феррит: ферритовые волокна в полимерной пьезоэлектрической матрице PVDF при объемных долях волокон v1 (0,6;0,8) .

Инверсия свойств фаз: матрицы и волокон композита – приводит к значительному, примерно в два раза, снижению абсолютных значений эффективных коэффициентов, например, (□); решение (◊) для полидисперсной структуры (см. рис. 1.1, г) инвариантно к инверсии свойств фаз композита.

210