книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

Корреляционные полидисперсные приближения. В корре-

ляционном приближении искомый тензор эффективной электромагнитной связанности κ* квазипериодического композита рассчитывается по формулам (2.218), (2.220)

κ* = Φ1 [k11]

через линейный интегродифференциальный оператор Φ1 [...] (2.222), нормированная корреляционная функция k11(ρ) учитывает

особенности случайной квазипериодической структуры. Для двухфазных структур, которые различаются лишь функцией k11(ρ) , в

рассматриваемом случае с различным взаимным расположением и вариациями размеров сечений однонаправленных волокон в плос-

кости изотропии, вид оператора Φ1 [...] одинаков.

В результате подстановки различных аппроксимаций (1.98) – (1.103) нормированной корреляционной функции k11(ρ) реальной

структуры (см. рис. 1.16, з) в оператор Φ1 [...] получим соответ-

ствующие приближенные решения для тензора электромагнитной связанности композита с реальной структурой (см. рис. 1.16, з)

Аналогичные κ* (2.233) приближения можно записать для других тензоров {C*,..., *} (2.218) эффективных пьезоэлектромаг-

нитных свойств волокнистого композита. Решения для эффективных пьезоэлектромагнитных свойств полидисперсных структур

(см. рис. 1.16, а–г): κI* , κII* , κIII* , κIV* (2.233) в общем могут быть

получены на основе расчетной схемы самосогласования «одиночная ячейка в эффективной среде» [25; 34; 149].

Отметим, что в качестве базовой структуры вместо традиционной полидисперсной структуры (см. рис. 1.16, а) могут быть использованы другие полидисперсные структуры (см. рис. 1.16, в, г), относительно которых рассчитывается коэффициент корреляции p

(1.18) или приведенный коэффициент корреляции p• [148]. В частности, имеем значение p• 1 для корреляций реальной (см.

191

рис. 1.16, з) и модельной слоистой полидисперсной (см. рис. 1.16, г) структур, что приводит к равенству A* AIV* эффективных

свойств этих двух структур в рамках метода корреляционных составляющих (см. раздел 2.6) [148].

Осесимметричное решение для многослойной ячейки по-

лидисперсной структуры. Рассмотрим случай осесимметричного нагружения трансверсально изотропного однонаправлено волокнистого пьезокомпозита, когда на макроуровне заданы в общем от-

личные от нуля значения напряженностей электрического Ez* и магнитного H z* полей по оси симметрии z , осевой деформации *zz и относительного изменения объема * *xx + *yy при плоской де-

формации; остальные компоненты векторов напряженностей электрического E* и магнитного H* полей и тензора деформаций ε*

равны нулю. Для такого случая нагружения определяющие соотношения на макроуровне композита

* = k12* * + C1133* *zz − e311* Ez* − h311* Hz* ,

*zz = C1133* * + C3333* *zz − e333* Ez* − h333* Hz* ,

Dz* = e311* * + e333* *zz + *33Ez* + *33Hz* ,

Bz* = h311* * + h333* *zz + *33Hz* + *33Ez*.

Решения для тензоров эффективных свойств традиционных полидисперсных структур рассмотрены ранее в исследованиях [25; 34; 144; 149], поэтому здесь рассмотрим решение для новой слоистой однонаправленной волокнистой полидисперсной структуры, представленной на рис. 1.16, г. Для такой полидисперсной структуры (см. рис. 1.16, г) искомые эффективные объемный мо-

дуль плоской деформации k12* , упругие С1133* , С3333* , пьезоэлектрические e311* , e333* , пьезомагнитные h311* , h333* константы, диэлектрическую *33 и магнитную *33 проницаемости трансверсально-

изотропного композита с составными полидисперсными ячейками: F-слойными двухфазными волокнами с дополнительным внешним (F +1) слоем 2-й фазы (матрицы) и ориентированными по оси r3 –

192

можно точно определить традиционным подходом [25; 144] из решения осесимметричной связанной задачи электромагнитоупругости для одиночной слоистой ячейки или методом последовательной гомогенизации [150].

Для рассматриваемой слоистой ячейки схему последователь-

Искомые эффективные модули однонаправленно волокнистого композита

194

равны последним членам соответствующих последовательностей

(2.234).

Проведем численный расчет коэффициента электромагнитной связанности *33 (2.233) для полидисперсных моделей на

рис. 1.16, а–г, в сравнении с известным асимптотическим решением [11] для однонаправленного волокнистого композита с периодической структурой из пьезоэлектрических волокон PVDF в ферритовой (2.11) – (2.13) матрице.

На рис. 2.23 представлены результаты расчета (2.233) эффективного коэффициента электромагнитной связанности *33 волокнистого пьезоэлектромагнетика в зависимости от объемной доли v1 пьезоэлектрической фазы PVDF в виде волокон (I) или матрицы

(II) по известным решениям: κ*(1)33 (□), κ*(2)33 (Δ) для традиционных полидисперсных структур (см. рис. 1.16, а, б) с v1 (0;1), и новым решениям: κ*(3)33 (), κ*(4)33 (), κ*(5)33 ( • ) с объемными долями волокон v1 0,65 (I) и v1 0,35 при инверсии фаз (II). Решение κ*(2)33 (Δ) для полидисперсной структуры на рис. 1.16, б, инвари-

антно к инверсии свойств фаз. Решение κ*(1)33 (□) для полидисперсной структуры на рис. 1.16, а,

для случая (I) композита с пьезоэлектрическими волокнами в ферритовой матрице в точности совпало с решением асимптотического метода осреднения (2.85) [11] для идеальной периодической волокнистой структуры феррит/пьезоэлектрик, где разности объем-

195

ных модулей плоской деформации k12 = k(1)12 − k(2)12 , компонент тензоров электроупругих e311 = e(1)311 − e(2)311 и магнитоупругих

h311 = h(1)311 − h(2)311 свойств фаз, модуль сдвига G(2)12 2-й фазы (матрицы) в плоскости изотропии r1r2 .

v1

v

I

II

*33 , нс/м

Рис. 2.23. Коэффициент электромагнитной связанности *33 композита в зависимости от объемной доли пьезоэлектрической фазы v1 в виде волокон (I) или матрицы (II)

Таким образом, на основе проведенного анализа (см. раздел 1.3) и возможности аппроксимаций (1.98) – (1.103) корреляционных функций реальной [10] функциями модельных полидисперсных структур искомые решения для тензоров эффективных пьезоэлектромагнитоупругих свойств волокнистых композитов выражены через точные аналитические решения для традиционных и предложенных новых многослойных (см. рис. 1.16, г) полидисперсных структур. Для осесимметричного электромагнитоупругого нагружения волокнистого двухфазного композита задача расчета эффективных свойств композита сведена к решению осесимметричной задачи для одиночной многослойной двухфазной цилиндрической ячейки и, далее, к рекуррентной последовательности более простых задач на одиночных двухслойных ячейках. В расчетной схеме «одиночная многослойная двухфазная ячейка в эффективной среде» толщины и радиусы чередующихся слоев из обеих фаз вокруг

196

центрального волокна из первой фазы учитывают особенности взаимного расположения соседних волокон в реальной структуре композита. Можно провести аналогию с расчетной схемой обобщенного метода самосогласования [34] «одиночное включение (волокно) с непрерывно неоднородным переходным слоем в эффективной среде», где переходный слой также учитывает особенности взаимного расположения элементов структуры в композите. Отличие этих двух подходов состоит в том, что в обобщенном методе самосогласования непрерывно неоднородные свойства переходного слоя вычисляются через свойства, специальные локально осредненные индикаторные функции фаз и искомые эффективные свойства композита, а в полидисперсной структуре из однотипных слоистых двухфазных ячеек толщины и радиусы чередующихся однородных слоев вокруг центрального волокна из первой фазы являются параметрами аппроксимации и вычисляются из условия наилучшего совпадения корреляционных функций модельной полидисперсной и данной реальной структур.

2.7.2.2. Бинарное уточнение решения для разупорядоченных полидисперсных структур*

Фрагменты разупорядоченных полидисперсных однонаправленных волокнистых структур изображены на рис. 1.1, д–ж, рассмотрим одну из них – III (см. рис. 1.18, а), коррелированную со вспомогательной структурой I’ (см. рис. 1.18, б). На рис. 2.24, а, представлены результаты расчета нормированных корреляционных

(Δ), () для структуры II на рис. 2.24, б,’ и разности (штриховые линии) (), (□)

* Принимая во внимание исследование [55].

197

дисперсия D11 (1.15). На рис. 2.24, б, приведены результаты расчета функции k11(ρ) (●) (2.250) и ее аппроксимации (Δ), (○) в первом (Δ)

и во втором (○)

приближениях, где поправка (2.237) (□)

рассчитывается через разность () (рис. 2.24, а)

и поправочный коэффициент p (◊) (рис. 2.24, в), найденный из

условия наилучшей аппроксимации k11(2) (ρ) (□) действительных значений функции отклонений

198

На рис. 2.24, в, приведены рассчитанные значения приведенного коэффициента корреляции (○)

и его составляющих: начального p (Δ) (1.105) и поправочного p

(◊) коэффициентов для разупорядоченной полидисперсной структуры, приведенной на рис. 2.24, в,’ в зависимости от объемной доли волокон v1 .

Метод корреляционных составляющих. Тензоры эффек-

тивных пьезоэлектромагнитных и термоупругих свойств композита с полидисперсной структурой III (см. рис. 1.18, а, рис. 2.24, в’) определим на примере нахождения решения для тензора эффек-

тивных упругих свойств СIII* , решения для остальных тензоров

λIII* , μIII* , eIII* , hIII* , χIII* , κIII* , βIII* , πIII* , III* (2.17) находим

аналогично.

Запишем формулы для расчета тензоров эффективных упругих свойств композита с разупорядоченной полидисперсной структурой на рис. 2.24, в’:

структурой на рис. 2.24, а’:

и структурой на рис. 2.24, б’:

ijmnII (r) = CijdbadmnII ,b (r) − epij fmn(1)I, p (r) − hpij fmn(2)II, p (r);

а'

k11 k11(1)

б'

k11(2)

в'

k11

k11 /r

p p•

p

v1

в

Рис. 2.24. Нормированные корреляционные функции: k11III (○),

k11I (◊), k11II (Δ) (а), k11 (б), разности k11 (а), k11(2) (б), приведенный коэффициент корреляции p• и его составляющие: p , p

(в) полидисперсных структур (а’) – (в’)

точка r случайным образом лежит внутри некоторой фиксированной цилиндрической ячейки с радиусом поперечного сечения R , так как для рассматриваемых (см. рис. 2.24, а’ – в’) полидисперсных

200