книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

с учетом обозначений

варьируемый параметр v0 определен в формулах (2.86). Далее ре-

шения для эффективных модулей k12* , С1133* , …, *33 в (2.70) находим по формулам (2.71).

Для полидисперсной структуры (см. рис. 1.1, б) в решении

(2.71), (2.101)–(2.103) полагаем v0 → v1 (2.87), а для структуры на рис. 1.1, г, v0 →1 (2.88):

с учетом обозначения

a0 = k(1)12 + G12* .

Для случая полидисперсной структуры (см. рис. 1.1, г) с туннельными цилиндрическими порами решение для пирокоэффици-

ентов *3 , *3 совпадает с решением (2.72) с учетом

111

отметим, что расчет эффективного модуля сдвига G12* в плоскости изотропии r1r2 такой структуры представляет собой отдельную не

связанную задачу и проводится в рамках теории упругости без влияния пьезоактивности, например, как частный случай схемы самосогласования [33; 102].

Проведем численный расчет коэффициента электромагнитной связанности *33 (2.102)–(2.104) для полидисперсных моделей

на рис. 1.1, б–г, в сравнении с известными решениями: обобщенным сингулярным приближением по схеме самосогласования (со средой сравнения – эффективная среда) [39] и асимптотическим решением [11] для однонаправленного волокнистого композита с периодической структурой из пьезоэлектрических PVDF-волокон в пьезомагнитной ферритовой (2.11)–(2.13) матрице.

v1

Рис. 2.3. Коэффициент электромагнитной связи *33 композита

взависимости от объемной доли пьезоэлектрической фазы v1

ввиде волокон (□) или матрицы (Δ)

112

На рис. 2.3 представлены результаты расчета эффективного коэффициента электромагнитной связанности *33 волокнистого

пьезоэлектромагнетика в зависимости от содержания пьезоэлектрических PVDF-волокон v1 в ферритовой матрице для различных

полидисперсных структур: (□) – структура на рис. 1.1, б, и (○) – на рис. 1.1, г. Результаты (Δ) соответствуют случаю инверсии свойств 1-й и 2-й фаз полидисперсной модели (см. рис. 1.1, в), т.е. когда матрица – это пьезоэлектрик PVDF, а волокна – феррит; для наглядности сопоставления графиков здесь по-прежнему через v1

обозначено относительное объемное содержание PVDF в композите. Выявлена инвариантность решения (○) для полидисперсной структуры на рис. 1.1, г, к инверсии свойств фаз.

Решение *33 (□) для полидисперсной структуры на

рис. 1.1, б, в точности совпало с решением (2.85) асимптотического метода осреднения [11] для идеальной периодической волокнистой структуры и с решением для полидисперсной структуры на рис. 1.1, б, полученным без схемы самосогласования из решения осесимметричной задачи для одиночной ячейки – составного ци-

линдра «волокно в матрице» при отношении a / b = v1 внутренне-

го a и наружного b радиусов.

Результаты расчета на рис. 2.3 позволяют сделать вывод, что инверсия свойств волокон и матрицы композита может приводить к значительному увеличению абсолютного значения эффективного

коэффициента электромагнитной связанности *33 композита при

фиксированных величинах объемного содержания пьезоэлектрической v1 и пьезомагнитной 1− v1 фаз. В частности, при объемной

доле v1 0,2 для PVDF и 0,8 для феррита абсолютные значения*33 для композита с ферритовыми волокнами в PVDF-матрице более чем в два раза превышают *33 для композита с PVDF-во-

локнами в ферритовой матрице, т.е. PVDF предпочтительнее использовать в качестве матрицы композита.

113

Отметим, что пьезоактивность фаз не влияет на эффективные упругие модули k12* и G12* полидисперсных структур (см. рис. 1.1, б–г) и самосогласованные решения для этих модулей приведены в работах [25; 33]. Решение для k12* полидисперсной структуры

(см. рис. 1.1, б) совпадает не только с решением обобщенного сингулярного приближения [104] со средой сравнения – матрица или 2-я фаза композита, но и с «нижней» вариационной границей Ха-

шина – Розена для k12* однонаправленного волокнистого двухфаз-

ного композита. Из рассмотренной осесимметричной задачи были определены и проанализированы решения для эффективных кон-

стант k12* , C3333* , …, *33 (2.71), (2.102)–(2.104), а другие независи-

мые эффективные константы G12* , C1111* , C1313* , e113* , h113* , 11* , 11* ,11* , 11* могут быть найдены из рассмотрения других случаев

нагружения расчетной схемы самосогласования (см. рис. 2.2, б). Свойства этой группы эффективных констант, возможно, будут

отличаться от свойств k12* , C3333* , …, *33 ; например, можно показать, что расчет поперечного модуля сдвига G12* волокнистого ком-

позита в обобщенном сингулярном приближении [104] со средой сравнения – матрица или 2-я фаза композита – совпадает с «ниж-

ней» вариационной границей Хашина – Розена для G12* однонаправленного волокнистого двухфазного композита и различается с самосогласованным решением для G12* полидисперсной структуры на

рис. 1.1, б.

Таким образом, на основе принципа самосогласования получены новые аналитические решения (2.71), (2.102)–(2.104) для эф-

фективных констант: k12* , C3333* , C1133* , e333* , e311* , h311* , h333* , *33 ,

*33 , *33 , *33 однонаправленного волокнистого композита с поли-

дисперсной структурой из пьезоэлектрических и пьезомагнитных фаз. Доказано (см. (2.72)), что наличие пор у пьезоактивных материалов приводит к появлению у пьезоэлектрика эффекта пироэлек-

114

трической связанности, а у пьезомагнетика – эффекта пиромагнитной связанности, например, при отсутствии таких эффектов у материалов без пор. Проведен численный расчет и анализ влияния на эффективные константы композита с пьезоэлектрическими волокнами PVDF в ферритовой пьезомагнитной матрице величины объемного содержания волокон v1 и инверсии свойств фаз в сравнении с известным решением (2.85) [11] асимптотического метода осреднения

для *33 идеальной периодической структуры. Полученное аналитическое решение *33 для композита с полидисперсной структурой

(см. рис. 1.1, б) в точности совпало с решением асимптотического метода осреднения [11] для идеальной периодической волокнистой структуры из пьезоэлектрических волокон в ферритовой матрице.

2.5. Обобщенное сингулярное приближение для пьезоэлектомагнитной микронеоднородной среды*

Рассмотрим представительную область V композита из од-

2.5.1. Метод функций Грина

Для решения связанной краевой задачи (2.22)–(2.27) для микронеоднородной области V применим функции Грина

* Принимая во внимание данные исследования [39].

115

для однородной анизотропной пьезоэлектромагнитной среды – «среды сравнения» [104], где G = G(ρ) , ρ = r −r1 , в точке r1 дей-

ствует единичная объемная сила, или электрический, или магнитный источник. Свойства среды сравнения задаем через тензоры

упругих свойств C• , диэлектрической λ• и магнитной μ• прони-

функции G(ρ) (2.106) в (2.107) – (2.109) вместе со своими производными обращаются на бесконечности в ноль, (ρ) – обобщенная

дельта-функция Дирака.

На основе вспомогательных разложений

C(r) = C• + C/ (r) , e(r) = e• + e/ (r) ,

h(r) = h• + h/ (r) , λ(r) = λ• + λ/ (r) , μ(r) = μ• + μ/ (r) , (2.110)

116

краевая задача (2.27) для пульсаций полей перемещений u/ (r) электрического / (r) и магнитного / (r) потенциалов примет вид

u/ = 0 , / = 0 , / = 0 ,

где поля распределенных объемных сил gi = gij, j , электрических

В результате перейдем от решения краевой задачи (2.111) к решению системы интегродифференциальных уравнений

117

/ (r) = j (r − r1)g j (r1)dr1 +

V

+ (1) (r − r1)q(1) (r1)dr1 + (2) (r − r1)q(2) (r1)dr1

V V

2.5.2. Обобщенное сингулярное приближение для пьезоэлектромагнитной микронеоднородной среды с эллипсоидальными неоднородностями

После дифференцирования левых и правых частей уравнений (2.113) с учетом теоремы о свертках и «сингулярных составляющих» [104] вторых производных функций Грина

где – оператор дифференцирования по координатам вектора r, матрица

тензоров сингулярных составляющих вторых производных для функций Грина G (2.106) – получим систему алгебраических

уравнений относительно пульсаций деформаций ε/ (r), напряженностей электрического E/ (r) и магнитного H/ (r) полей. Далее на основе разложений

ij/ (r) = Aijmn/ (r) *mn + Bijn/ (r)En* + Dijn/ (r)Hn* +Tij/ (r) ,

Ei/ (r) = Fimn(1)/ (r) *mn + Hin(1)/ (r)En* + Min(1)/ (r)Hn* +Ti(1)/ (r) , (2.116)

Hi/ (r) = Fimn(2)/ (r) *mn + Hin(2)/ (r)En* + Min(2)/ (r)Hn* +Ti(2)/ (r)

перейдем к системе уравнений относительно полей A/ (r) , B/ (r) , …, T(2)/ (r) . Отметим, что отклонения (2.110) в (2.112) можно представить в виде

118

C/ (r) = C + C/ (r) , e/ (r) = e + e/ (r) ,…, μ/ (r) = μ + μ/ (r),

где

Для двухфазного ( F = 2 ) композита пульсации в (2.112), (2.116)

C/ (r) = Ci1/ (r) , e/ (r) = ei1/ (r) , …, μ/ (r) = μi1/ (r) ;

A/ (r) = Asi1/ (r) , B/ (r) = Bsi1/ (r) , …, T(2)/ (r) = T(2)si1/ (r)

соответствующих значений во включениях и матрице композита. В результате получим четыре системы уравнений для определения

искомых тензоров As , Bs , …, T(2)s (в формулах ниже верхний индекс у этих тензоров для краткости не написан)

119

где коэффициенты

120