книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

ских моделей структур, численными методами конечных элементов с использованием современных пакетов вычислительных программ [3; 7; 109; 136] и методами статистической механики композитов для случайных нерегулярных структур композитов [18; 34; 90; 102; 170].

Актуальным приложением для использования пьезоактивных элементов является диагностика, в частности, напряженного состояния, вибраций и дефектоскопии конструкций. Оптоволоконные датчики с пьезоэлементами эффективно используются для диагностики напряженного состояния и дефектоскопии на структурном уровне композитных элементов конструкций, в частности, полимерных волокнистых изделий авиационного назначения. Изготовление композитных конструкций происходит в несколько этапов, на каждом из которых возможно образование дефектов, характерных для данной технологической стадии, поэтому необходимо проводить контроль качества на всех этапах создания и далее эксплуатации композитной конструкции [6]. По своей природе композиционный материал является сложным объектом для диагностики и контроля механических свойств на структурном уровне, он обладает анизотропией, существенной зависимостью свойств от температуры и технологии изготовления, но в самом принципе создания композиционного материала и конструкции одновременно из ряда отдельных компонентов, в частности: волокон, ткани, связующего, фактически, создание материала-детали – можно найти решение проблемы обеспечения его надежности. Это – создание материала с возможностью диагностики и в будущем с возможностью управления своими характеристиками. Для этого в структуру материала необходимо добавить информационные или интеллектуальные компоненты, обеспечивающие регистрацию и передачу информации о состоянии материала [6; 27; 87; 88; 114], а при необходимости и физическое воздействие с целью изменения его характеристик.

В монографии представлены новые методы и решения стохастических связанных краевых задач электромагнитотермоупругости для нерегулярных композитных структур – методы корреляционных периодических или полидисперсных составляющих, которые объединили хорошо развитые методы решений для перио-

11

дических структур (асимптотические методы, методы периодических комплексных функций, решения на ячейках периодичности) и известные точные аналитические решения для полидисперсных структур со спецификой и принципиальными возможностями стохастических методов механики композитов с учетом реального вида многоточечных корреляционных функций структур. Полученные новые уточненные аналитические решения для тензоров эффективных анизотропных свойств пьезокомпозитов необходимы при решении задач механики композитных элементов конструкций с использованием хорошо разработанных известных методов и пакетов вычислительных программ электромагнитотермоупругости для однородных анизотропных тел. Рассмотрены приложения пьезоактивных элементов для использования в конструкциях пьезоэлектролюминесцентных оптоволоконных датчиков [77; 78] локации [68] неоднородных полей давления, объемного деформированного состояния внутри или на поверхности нагруженных композитных конструкций; диагностика основана на анализе результатов измерений интегральных интенсивностей световых сигналов на выходе из оптоволокна датчика с использованием различных локационных сканирующих электрических сигналов на управляющих электродах внедренного в объем или закрепленного на поверхности композитной конструкции датчика. Монография основана в том числе на публикациях автора [32–75; 77; 78; 140–155].

Представленные в монографии новые подходы и методы решения задач механики пьезокомпозитов с учетом «тонких» особенностей реальных структур могут быть использованы для оптимального решения задачи создания пьезоматериалов с заданным комплексом пироэлектромагнитных свойств, для прогнозирования и теоретического анализа новых физико-механических эффектов, что позволит намного сократить объем дорогостоящих экспериментальных исследований, обоснованно определить рациональную программу экспериментов с целью создания современных интеллектуальных элементов для различных приложений, в частности, мехатроники, фотоники и диагностики конструкций.

12

Глава 1. СТРУКТУРЫ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1.1.Модели случайных структур

1.1.1.Полидисперсные структуры

Интерес к исследованию полидисперсных моделей [8; 25; 33] обусловлен возможностью получения на их основе точных аналитических решений для структурных физико-механических полей и эффективных модулей композитов. На рис. 1.1 приведены фрагменты реальной (рис. 1.1, а) и полидисперсных однонаправленно волокнистых (рис. 1.1, б–ж) и гранулированных (рис. 1.1, з, и) двухфазных структур, черным цветом обозначена 1-я фаза, серым – 2-я фаза. Распределение «частиц» – поперечных сечений однофазных (см. рис. 1.1, г, з) и составных двухфазных (см. рис. 1.1, б, в, д, е) цилиндров (рис. 1.1, б–е) и сфер (рис. 1.1, ж, з) – по размерам достаточно широко, включая и бесконечно малые, что обусловливает возможность заполнения такими полидисперсными частицами всей представительной области V композита.

Рис. 1.1. Фрагменты реальной [31] (а) и моделей волокнистых (б–ж), гранулированных (з), (и) полидисперсных структур

13

Модель структуры на рис. 1.1, б, образована из составных частиц – это волокно из 1-й фазы, окруженное слоем 2-й фазы композита. Такая структура сохраняет свойство матричности 2-й фазы

где r , R – внутренний и наружный радиусы некоторой произ-

вольной составной частицы. Структура на рис. 1.1, в, образована инверсией свойств структуры на рис. 1.1, б, и здесь уже матричность 1-й фазы сохраняется при всех степенях наполнения

v1 =1− (r / R)2 . Структура на рис. 1.1, г, при «малых» степенях наполнения v1 близка к матричной по 2-й фазе структуре на рис. 1.1, б и при «больших» v1 – к матричной по 1-й фазе структуре

на рис. 1.1, в. Отметим, что структура на рис. 1.1, г, инвариантна к инверсии свойств 1-й и 2-й фаз при фиксированной объемной доле фаз.

Дополнительно, на рис. 1.1, д–ж, приведены фрагменты «разупорядоченных» полидисперсных структур с вероятностным нахождением волокна в ячейке (см. рис. 1.1, д), со случайным независимым смещением центров сечений волокон из цкетров ячеек (см. рис. 1.1, е) и со случайным радиусом поперечных сечений волокон (см. рис. 1.1, ж) с заданной величиной относительной минимальной гарантированной прослойки матрицы между волокнами, например 0,02 от радиуса r кругового сечения волокна.

Для цилиндрической ячейки с радиусом поперечного сечения R радиус поперечного сечения содержащегося в ней волокна для

полидисперсной структуры на рис. 1.1, б, r = R v1 и для структуры на рис. 1.1, д, r = R / (1+ ) , где заданная величина относительной толщины прослойки матрицы = (R − r ) / r . Вероятности наличия волокна в произвольной ячейке p0 =1 для структур на рис. 1.1, б, е, ж, p0 = v1 для структуры на рис. 1, г, и p0 (v1;1) для структу-

ры на рис. 1, д. Для структуры на рис. 1, д, величина относительной толщины прослойки матрицы может быть рассчитана по формуле

14

объемной доли волокон v1 (1; v1max ) . Максимальное значение объемной доли волокон в композите v1max = p0 , и для этого предельно-

го случая (см. рис. 1.1, г) прослойка = 0 (1.2).

Аналогичными свойствами обладают полидисперсные гранулированные структуры со сферическими включениями (см. рис. 1.1, з, и); например, модель структуры на рис. 1.1, з, состоит из однотипных составных полидисперсных частиц – сфер из 1-й фазы, окруженных сферическими слоями 2-й фазы композита, и объемная доля 1-й фазы в составной частице равна объемной до-

ле этой фазы в композите v1 = (r / R)3 , где – r внутренний и R –

наружный радиусы произвольной составной сферической частицы. Модель структуры на рис. 1.1, и, состоит из однородных полидисперсных частиц двух типов: сфер из 1-й и 2-й фаз композита; объ-

емные доли сфер из 1-й фазы v1 и из 2-й фазы v2 =1− v1 . Структу-

ра на рис. 1.1, и, инвариантна к инверсии свойств 1-й и 2-й фаз при фиксированной объемной доле фаз. Эти традиционные (см. рис. 1.1, з, и) полидисперсные двухфазные структуры со сферическими включениями можно дополнить моделями с инверсией свойств фаз и с внесением различных разупорядоченностей в составные сферические ячейки аналогично моделям на рис. 1.1, в, д–е, ж.

Возможно обобщение традиционных моделей полидисперсных структур с однонаправленными волокнами (см. рис. 1, б–г) или со сферическими включениями (см. рис. 1, з, и), например, на структуру с F-фазными многослойными эллипсоидальными одинаково ориентированными полидисперсными включениями. Такая структура представляется совокупностью составных эллипсоидальных полидисперсных ячеек, каждая из которых – это эллипсоид 1-й фазы, окруженный концентрическими эллипсоидальными оболочками из 2-й и последующих фаз, внешняя оболочка из фазы F + 1, что определяет свойство матричности композита по этой (F + 1)-й фазе. Размеры ячеек варьируются в широких пределах, включая и бесконечно малые, что обусловливает возможность за-

15

полнения ими всей представительной области V композита. Для каждой ячейки межфазные поверхности – это концентрические эллипсоиды

3

(ri / a( f )i )2 =1,

i=1

главные полуоси a( f )3 эллипсоидов с круговыми поперечными сечениями ориентированы вдоль координатной оси r3 , a( f )1 = a( f )2 ; параметр формы полидисперсных ячеек и F-фазных включений

где v f – относительное объемное содержание f-й фазы в произ-

вольной ячейке и в композите, таким образом, выполняется равенство

f =1

Композит с такой структурой сохраняет свойство матричности по (F +1) -й фазе в области V при всех возможных степенях

наполнения

составными F-фазными эллипсоидальными полидисперсными включениями.

16

1.1.2. Квазипериодические структуры

Модели квазипериодических структур (рис. 1.2) основаны на внесении в идеальную периодическую структуру композита той или иной разупорядоченности, например: случайные расположения включений в ячейках (см. рис. 1.2, б, в, д, е), случайные вариации формы, размеров и ориентации включений, возможное отсутствие включений в некоторых ячейках (см. рис. 1.2, г, ж). Считаем, что расположение периодической структуры относительно координат-

ных осей ri случайно, и ее независимые случайные смещения t с равномерными законами распределения его компонент ti на соответствующих отрезках [0;Ti ], где Ti – периоды структуры по осям ri ;

это позволяет предположить наличие свойств статистической однородности и эргодичности как у периодической, так и у соответствующей квазипериодической структур. Величины, относящиеся к периодическим структурам, обозначим верхним индексом « p ».

На рис. 1.2, б, в, изображены фрагменты реализаций в поперечной плоскости r1r2 моделей случайных волокнистых однона-

правленных по оси r3 структур. Центры круговых сечений волокон

имеют независимые для каждой тетрагональной (см. рис. 1.2, б) или гексагональной (см. рис. 1.2, в) ячеек случайные смещения a из центров своих ячеек в плоскости r1r2 ; волокна не выходят за преде-

лы ячеек. Случайные величины: ориентационный угол и модуль вектора отклонений a распределены по независимым, например равномерным, законам на отрезках [0; 2 ] и [0; ] соответственно, где

– степень разупорядоченности волокон,

– величина максимально допустимого смещения, R – радиус вписанной в ячейку окружности, r – радиус поперечных

сечений волокон. На рис. 1.2, д, показан фрагмент реализации модели случайной структуры со сферическими включениями, центры которых имеют независимые для каждой кубической ячейки случайные смещения a из центров своих ячеек; сферы не выходят за пределы ячеек. На рис. 1.2, е – фрагмент реализации модели слу-

17

чайной структуры с ориентированными пластинчатыми включени-

условия невыхода пластинки из ячейки, H и b – соответственно высота ячейки и толщина пластинки, v1 = b / H – величина относи-

тельного объемного содержания пластинок в композите.

Рис. 1.2. Фрагменты реальной (а) [10] и моделей квазипериодических волокнистых (б–г) и гранулированных сферическими (д), пластинчатыми (е), эллипсоидальными (ж) включениями структур

На рис. 1.2, г, ж – фрагменты реализаций моделей случайных структур с однонаправленными волокнами (см. рис. 1.2, г) и с ориентированными эллипсоидальными включениями (см. рис. 1.2, ж), вероятность присутствия в ячейке включения (волокна) равна po , в

предельном случае po =1 структуры вырождаются в периодиче-

18

ские. Наличие волокна или включения в ячейке не коррелирует с наличием или отсутствием таковых в соседних ячейках. В ячейках, в которых волокна или включения отсутствуют, весь объем ячейки занимает матрица, а во все оставшиеся ячейки вписаны с небольшими прослойками матрицы / 2 волокна (см. рис. 1.2, г) или эллипсоидальные включения i / 2 (см. рис. 1.2, ж), центры которых

совпадают с центрами ячеек, i =1,3 . Главные оси ai эллипсоидов (см. рис. 1.2, ж) ориентированы вдоль соответствующих ребер Ti

ваем po = v1 / vmax через заданное значение относительного объем-

ного содержания включений в композите v1, и различные вдоль каждой оси ri заданные минимальные гарантированные относи-

a1=a2, варьируем параметр формы включений q = a3/a1(2) и относительное объемное содержание включений v1. При q = 1 имеем шаровые включения, при q 1 – вытянутые или «игольчатые», при

q (0;1) – сплюснутые или «дисковые». Размеры aip включений в периодической структуре связаны aip = ai с размерами ai включений в соответствующей квазипериодической структуре через де-

из условия равенства относительного объемного содержания включений и размеров ячеек в обеих структурах, (0;1). В квазипери-

одической структуре размер включений несколько больше, а минимальные прослойки между включениями – меньше, чем в соответствующей периодической структуре, в которой включения есть в каждой ячейке.

19

1.2. Одноточечные статистические моменты

Рассматриваем случайные структуры, обладающие свойствами статистической однородности и эргодичности [10]. Для таких структур статистическое осреднение полей в точке r представительной области композита V совпадает с объемным осреднением

по представительной реализации поля; для периодических полей оператор ... обозначает осреднение по ячейке периодичности.

F

Взаимное расположение фаз в представительном объеме V = Vf

f =1

F-фазного композита задаем совокупностью индикаторных функций каждой из фаз

где область f-й фазы Vf, относительное объемное содержание f-й