книги / Методы и устройства обработки сигналов в радиотехнических системах
..pdf
|
|
|
|
|
- |
20 |
- |
|
|
|
|
S„ (0,B) = S (0,8)/s’ =* |
|
|
|
|
|
||||
|
G /(0 ) |
(1- 4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? .n y |
(*+ |
t ic |
j V _ j W |
f |
|
|
|
(6) |
|
|
t ic , |
G f |
(o )1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
OCP |
когда можно принять В -О |
. и з |
|||||
i'lpn малых ошибках рассогласования, |
||||||||||
(6) |
вытекает |
|
Gj (о) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn (0 ,8 ) |
U /В |
+ |
фр ер) |
|
.(7) |
||||
|
s^n |
|
|
*0 |
ер |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
Q = I формулы (6 ), |
(7) |
перзходят |
в соотношения, справедливые |
||||||
для |
непрерывного |
сигнала. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Как следует |
из |
(6 ), |
(7 ), при |
больших отношениях сигиал/шум |
|||||
^Яоер^ * ) спектральная плотность |
Sn (0^&) при переходе |
к |
преры |
|||||||
вистому сигналу |
остается |
практически |
неизменной. При малых |
отноше |
||||||
ниях сигкал/шум положение иное. В этой области спектральная плотность
5 ,} (й ,& ) |
уменьшается |
с ростом скважности сигнала Q |
Физи |
чески это |
объясняется тем, |
что при переходе к прерывистому сигналу |
|
составляющая флюктуационного напряжения дискриминатора, обусловлен ная биениями сигнал/шушг, сохраняется неизменной, а составляющая, вызванная биениями шум/шум, уменьшается в Q роз. При малых отно шениях сигнал/шум доля этой составляющей велика и полная спектраль
ная плотность |
снижается. |
При этом появляется возможность, |
переходя |
|||||||||
к прерывистому сигналу, |
сохранить |
неизменной приведенную спектраль |
||||||||||
ною плотность |
шумов и, следовательно, дисперсию ошибки слежения |
и |
||||||||||
уменьшить одновременно среднюю мощность сигнала. |
|
|
||||||||||
|
Для того |
чтобы оценить величину выигрыша в требуемой мощности |
||||||||||
сигнала, приравняем |
величины приведенной |
спектральной плотности |
при |
|||||||||
в |
= 0 |
для |
непрерывного |
и прерывистого |
сигналов |
|
|
|||||
|
( * /Q+ |
%cf )/% 0cf |
= |
( i + q lc tV U e * |
|
(8 ) |
||||||
где |
с£ис% - |
отношение сигнал/шум г/о мощности при непрерывном |
сиг |
|||||||||
нал *. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
(8) |
слодует, |
что |
выигрыш в средней мощности сигнала |
|
|
|||||
|
в = лг |
L |
* |
____ У .1?. */*’™ !________ |
|
(9 ) |
||||||
Пи рис. |
|
|
|
|
|
|
|
й „ |
|
|
||
2 представлена сплошными линиями-рассчитанная по (9) эависи- |
||||||||||||
|
ачигрыиа от |
скиалюсти |
Q |
при нескольких значениях |
g исх |
|||||||
|
|
|
- |
Zl - |
|
|
|
|
|
При Яисх |
“ I выигрьи! в требуемой |
мощности сигнала |
невелик, |
12сл и |
|||||
система с непрерывны?** сигнет ом может работать в области малых |
от |
||||||||
ношений сигнал/шум {Цисж « |
* |
) . то |
при переходе |
к |
прерывистому |
||||
сигналу .выигрыш в требуемой средней мощности сигнала получается |
|||||||||
значительным. При выполнении |
условия |
Q q ,tc *« 1 |
выигрыш, |
как |
сд^- |
||||
дует из |
( 9 ) , равен |
. Из (9) |
вытекает также, |
что при Q-*>**> |
|||||
выигрыш |
8 - ♦ Ьпред'-*0+я1с,)/я?,с* • Продельный выигрыш |
В„ред |
том о. |
||||||
льше, чем меньше величина Ч-t» * Практической реализации предольного выигрыша препятствует выход за пределы допустимого диапазо на скважностей сигнала, определяемого выполнением неравенств (3 ), (4 ) :
При наличии рассогласования 9 возрастает вклад э спектраль ную плотность Sn (0 \9) бис ний типа сигнал/шум, незави сящих от скважности сигнала. Быигрьш в требуемой средней мощности прерывистого сигнала при этом несколько уменьшает ся . Выкладки, аналогичные приведенным, показывают, что при фиксированном рассогласо вании 9 выигрыш
|
о / о ) _ |
|
М * * /* < & * ,) |
|
|
|
|
|
( 10) |
г^е |
П- ? |
И Л ? 9 9/ $ ( Ф - |
||
|
На рис. |
2 штриховыми линиями показаны зависимости выигрыша |
||
прр рассогласовании |
9 |
, соответствующем максимуму дискриминацион |
||
ной характеристику. |
% |
рисунка ридно, что снижение выигрьш1а при ра |
||
ссогласовании полу^ре/рсу относительно небольшим. В области малых
отношений (fuex |
выигрыш в требуемой средней мощности сигнала |
сох |
||
раняется |
значительным. Величина <fuCx |
зависит от соотношения |
по |
|
лос П , |
4 4 » |
интенсивности динамического воздействия и определя |
||
ется в результате анализа системы углового сопровождения с непреры вным сигналом.
- 22 -
I . |
Порвачев С .В ., |
Валуев А.А ., Чиликян В.М. Статистическая ди |
намика радиотехнических следящих систем. - И,: Сов. радио, 1973. |
||
УДК 6 8 I .5 I I .4 |
|
|
|
|
Ю.А.Ёвсиков |
|
ЗНАКОЗЫЕ ВЗАИМНЫЕ |
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ |
|
НЕГАУССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ |
|
Для оценки взаимного коэффициента корреляции случайных процес
сов во многих случаях целесообразно использовать знаковые корреля
торы, |
а |
которых входные процессы U1(t) и Uz ( i ) |
подвергаются же |
|||
сткому |
ограничению |
[ I ] |
Взаимная корреляционная функция ^12 ^ |
|||
ограниченных колебаний, называемая также знаковой, однозначно |
опре |
|||||
деляется |
взаимным коэффициентом корреляции |
процессов |
U1(t) |
|||
.и U3(t) |
. Представляет интерес оценить влияние распределений |
вход |
||||
ных процессов на функцию |
|
|
|
|||
В общем случае |
^12 ftf, ti) может быть представлена в виде |
|
||||
*« # **« )■ |
О |
|
(I) |
гд': р (ttl tz) - вероятность |
совпадения |
знаков |
значений U i(t) и Ua(t). |
Поэтому достаточно оценить |
влияние распределений на функцию p (tit |
||
Рассмотрим случай, когда процессы |
U4(t) |
и U ^(i) *стационар- |
|
."ыл и стационарно связанные. Их средние значения полагаем нулевыми.
Д»»л |
гауссовых процессов |
U4(i) |
и |
U^(i) |
имеет место |
формула |
|||||||
L |
|
|
p t tiA |
+ ъ ) |
= |
р (Т) = |
i-arceosf>(T)/jc. |
(2 ) |
|||||
Перейдем |
к расчету вероятности |
р (Т ) |
для негауссозых |
процессов. |
|||||||||
Пу‘-ть |
U<(t) |
и |
ий(±) |
получены из |
двух независимых |
процессов |
|||||||
£ f (t) |
и |
£ ^ ( t ) |
с равномерными в интервале |
1/2 |
) распределе |
||||||||
ниями и |
одинаковыми дисперсиями: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
u 4( |
t |
) |
- |
U |
> |
o |
, |
|
|
илЮ - *»(*)• |
( 3 ) |
- |
23 - |
Очевидно, что колебания |
Uf (t) и U2 (t) статистически с г.я |
замы и их взаимный коэффициент корреляции определяется коэЗДадцион-
том |
оС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
р^С?) |
коэффициент корреляции процесса |
( t ) . |
|
|
||||||
|
Найдем |
вероятность совпадения |
знаков |
значений |
U^ft) |
и Ll^Ct^z) |
|||||
процессов ( 3 ) . Используя |
формулы для |
закона распределения |
функци |
|
|||||||
нально преобразованных колебаний |
[2] |
, приходим к сл«эду«л|-*му |
|
||||||||
ражению для двумерной плотности вероятности значений |
U^(t) |
и |
|||||||||
UQ( t +т) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К ( Ч Л ) V * |
|
|
|
, |
|
(5) |
|||
в котором функция |
J J . (х ) |
равна разности |
двух |
единичных функций |
|
||||||
|
|
/ * ( * ) - U x * l / 3 ) ~ 4 ( x ~ i / 2 ) . |
|
|
|
|
|||||
|
Фикция (5) равна I во всей области |
значений |
|
внут |
|||||||
ри |
параллелограмма |
(рис. 1),и нулю - |
вне |
его. |
|
|
|
|
|||
Вероятность р(т ) совпадения знаков значений U4(t) и (/*(***) определяется выражением
24 -
Т Г |
|
+ |
0 0 |
|
|
РЮШ] |
|
11ц(Ц,иг)</и<сШг. |
(6) |
||
о о |
|
|
- J J L |
|
|
Вычисление интегралов в (6 ) |
с |
учетом значений функции (5) |
да |
||
ет следующий результат: |
|
|
|
|
|
f p t M + |
ф |
|
04°*Р &(Т) ** i . |
|
|
р<<г) = |
I |
|
|
|
(7). |
/■ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
■*<*/>£ (Г)
Выражая значения <^р^(т) через взаимный коэффициент корреляции негауссовых колебаний (3 ) , из (4 ) имеем
* 9& & |
*9Н (г )/ / < - ? * ( г ) . |
||
Подставляя (8) в |
выражение (7 ), окончательно получаем |
||
1 |
+ |
Р н М |
?H(T )n /V a , |
г |
4\ff~pS(r) |
||
|
|
’ |
|
р(т) = <
/ Г - ( Т )
\ ( Т )
9»(x)z *№
( 8)
(9 )
Сравнение (9) с (2 ), на первый взгляд, показывает, что и з-за
существенного отличия распределения входных колебаний от гауссового
вероятности |
р (ъ ) |
* |
а следовательно, |
согласно ( I ) , и корреляци |
онные функции получаются разными, Однако количественный расчет |
||||
по формулам |
(9) и |
(2) |
при Р (Т )=рм(т) |
дает практически одинако |
вые результаты. Полученное выражение (9 ) является хорошей аппрок
симацией функции (2 ) , погрешность которой не превышает 3 ,5 %• |
За |
|
висимость относительной погрешности от значения |
р(т) » р (т) |
при |
ведена на рис. 2 . |
н |
|
Таким образом, при существенном отличии распределений входных процессов от нормальных знаковая корреляцконная функция R13(T ) ока
залась практически совпадающей с той, которая соответствует |
гаус |
||
сову распределению U^t) |
и U2(t) |
Поскольку проведенный |
анали |
тический расчет является |
точным, можно утверждать, что для |
целого |
|
класса негауссовых распределений входных процессов знаковые корре
ляционные функции практически инвариантны к их закону распределе |
|
ния. Отсюда вытекает, что хотя высказанное в [ 3 J утверждение |
о |
- 25 -
применимости соотношения (2 ) к процессам с произвольными симметрич
ными законами распределения |
вероятностей, |
как отмечено в |
[ i j , |
не- |
||||||||
правомерно, возможность расширения |
области применимости метода зна |
|||||||||||
ковой корреляции |
существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
В заключение приведем явные выражения для знаковых взаимных |
|||||||||||
корреляционных функций процессов |
U4(t) |
и |
Иг (t) |
. При нормаль |
||||||||
ном распределении из |
( I ) |
и (2 ) |
получаем известное выражение |
|
||||||||
|
|
|
^ “ |
sf a r c $ln p fc ) • |
|
|
|
(10) |
||||
|
Для негауссовых |
случайных |
процессов |
(3) |
из соотношений (9 ) |
и |
||||||
( I ) |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р „ (т) |
|
|
|
рн (т) < |
1//ЗГ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( I I ) |
|
|
|
|
2рн (т) |
|
|
?н(г) > 4//г |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Зависимости |
Р(а (т) |
от |
значений |
р (т) =•рн (т) , |
рассчитан- |
||||||
ные |
по формулам |
(1 0 ) |
и ( I I ) , |
практически |
совпадают |
и приведены |
на |
|||||
рис. |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0: |
0,1 0,4 0,6 |
0,В p it) |
|
|
Рис.З |
|
|
БИЛИОГРЛФИЧЁСКИЙ СПИСОК |
||
I . |
Мирский Г .Я . Характеристики |
стохастической взаимосвязи и их |
|
измерение! |
- М.: Энергоиэдат, 1982. |
|
|
|
- 26 |
- |
2. |
Левин Б .Р . Теоретические |
основы статистической радиотехни |
ки. -М .: Сов. радио, i960 . |
|
|
3. |
Егоров К.И. Расширение области прямого применения метода |
|
полярной корреляции // Автоматика и вычислительная техника. - 1968, |
|
- № |
2. |
УДК 621.397
С.А.Суслонов, С.И.Прусовский
ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИИ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА
В радиотехнике, телевидении, связи, в системах передачи дан
ных ставится задача по интерполяции отсчетов случайного сигнала, например при сжатии спектра видеосигнала и при сжатии данных. Эту задачу можно сформулировать следующим образом. Имеется сингулярный случайный процесс. Необходимо методом интерполяции сформировать подобный случайный процесс, отсчеты которого будут совпадать с от счетами исходного процесса с погрешностью, определяемой по критерию
среднего квадрата ошибки.
Исследуем задачу. В качестве исходного случайного процесса с ограниченным спектром используем квазибелый шум, преобразованный с целью увеличения интервала корреляции с помощью фильтра корреляции.
Фильтр корреляции создаем на основе фильтра весовой обработки (фи
льтра с характеристикой Хемминга), широко распространенного в ра диолокации для уменьшения боковых лепестков сжатого сигнала ЛЧМ при наименьшем расширении главного максимума. Модуль передаточной функции фильтра корреляции равен [ I ] :
|
К(ы)= [0.08*0,92cos3jg g] • |
( I ) |
Здесь |
т - ширина полосы частот фильтра, определяющего ширину |
|
спектра |
случайного сигнала. |
АЯ имеет равно- |
Кабельный шум в ограниченной полосе частот |
||
н/ю |
спектральную плотность мощности G (o f) |
, равную: |
|
Icjj £ АЯ у |
( 2) |
|
G(U))* |
|
М > А Я .
- 27 -
Спектральная плотность мощности коррелированного шума на основе ( I ) и (2) имеет вид:
|
|
|
= bo \ ° .0 * + 0 ,9 2 c o i? ™ ± f |
|
( з ; |
||
|
Корреляционная функция шума |
В(т) согласно теореме Винера- |
|||||
Хинчина |
[2 J |
определяется выражением: |
|
|
|||
|
|
3(F) = -§*- Jtd 0 8 + a 9 S c o 6 * £ g )* c o s e n r d a . |
(4) |
||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
Рассмотрим интерполяционное восстановление исходного отсчета |
||||||
случайного процесса с корреляционной функцией |
(4 ) . Известно |
[3 ] |
|||||
что для |
функции |
непрерывной и имеющей все производные, |
|||||
если |
задано ее |
значение |
в некоторый момент времени tp= pAt , |
можно |
|||
найти |
значение |
в момент |
времени |
= (р+<) At |
(при малом |
At ), |
|
используя ряд Тейлора: |
|
|
|
|
|||
( Ь)
Здесь 0(А1) - члены более высокого порядка малости, включая ос таточный член. Выражение (5) можно также записать с помощью отсче тов функции П<2)(i) и ее производных. Опуская остаточный члс*н, имеем общее выражение для детерминированных и случайных функций:
п, |
m 3n : , |
р*< |
Л * $ яг*'-я |
(М Г |
(«) |
16) |
|
п! |
И р |
||
|
Оценим погрешность восстановления отсчетов у коррелированного случайного процесса, с нулевым средним, имеющего финитный спектр, с помощью метода интерполяции, основанного на использовании ряда Тей лора. Оценку будем производить по критерию среднего квадрата ошиб-
ки |
ш |
д |
И [я.Р*1 |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ П рл г |
|
|
|
|
С ? ) |
|||
|
|
р е . |
|
|
|
|
||||
Здесь М - |
знак |
статистического усреднения; |
Пр44 |
- |
действитель |
|||||
ное |
значение |
Случайного процесса; |
- восстановленное |
значение |
||||||
случайного* процесса с |
помощью интерполяции. |
|
|
|
|
|||||
|
Основываясь |
на ряде Тейлора и используя |
выражение |
(6 ) , |
можно |
|||||
написать значение |
восстанавливаемого |
отсчета |
Пр4^ |
* |
ограничиваясь |
|||||
конечным числом членов |
ряда |
Тейлора: |
|
|
|
|
||||
|
П,„ ' |
V |
* |
* Л ' ' |
Кшяг * |
лг" |
|
|
(о) |
|
|
|
|
|
|||||||
- 28 -
Здесь / Г , Л Л Л - интерполяционные коэффициенты» которые подлежат определению. Учитывая (8 ) , для дисперсии погрешности (7 ) напишем выражение
После перемножения и статистического усреднения в ( 9 ) , используя формулы для наховдения корреляционных функций производных диффе ренцируемого случайного процесса и взаимокорреляционных функций между процессом и его производными, данными в [2 ,4 ] , выражение для дисперсии погрешности приводим к виду:
* (к ‘*2К-2К4^ )В М(0)+ |
(1 0 ) |
Здесь 8(т ) определяется выражением (4 ) , В*(т), |
- произ |
водные корреляционной функции (4 ) . |
|
Находим интерполяционные коэффициенты |
» при ко |
торых средний квадрат ошибки будет наименьшим. Система значений (10) должна удовлетворять четырем уравнениям, что является необ
ходимым условием для нахождения минимума |
|
[ 3 ] |
||
дТ)£ |
|
|
(И ) |
|
dfCi = 0 , |
|
|
||
|
|
|
||
После |
преобразований получаем: |
|
|
|
к = &“'к)В1*’®-ь'(т)г>а(0) |
t |
|
(12) |
|
1 |
B“(O)B W(O) - в м(о) в "’(а) * |
|
|
|
У _ |
№ м - 4 » т в * Ю - № м - л Ш м(<1) |
|
|
|
г ~ |
В(% ) в (Щ - В т (0 )В а)(0) |
' |
(13) |
|
Л-.-- |
В (л)(г )& " {0) - В ' М Б ^ Ш |
t |
|
|
|
вм(0) Ь(%)-Вм(0) в"(О) |
’ |
|
<14) |
Kf №9)М-в‘*}/о)1в(*Ш-[вЪ)-в/(0)]в(%) <
в '”(о) В ‘"’(О) - В и>(0) в |
№,(о) |
( 15) |
|
НпИдонние по выражениям (1 |
2 ), |
(1 3 ), |
(1 4 ), (1 5 ) интерполяци- |
OHHIK кооф?,Ициенты представлены |
в |
таблице. Там же даны средние |
|
- 29 -
квадраты ошибки и их относительны? значения при восстановлении по следующего отсчета коррелированного случайного процесса по преды
дущему значению и его производным при |
интервале между отсчетами |
|||||||
fm jit |
и |
Т ш 1 ,5 4 1 |
Здесь выбрано |
ASi = I , |
поэтому |
|
||
т |
к , |
|
к 3 |
К , |
В (0)я - |
|
% / В(0) |
|
At |
2 ,9 5 |
4 ,0 1 |
3 ,5 3 |
1 ,1 3 |
0,3374 |
0.003У1 |
0,00985 |
|
tfA i |
3 ,6 6 |
6 ,8 3 |
7 ,3 7 |
3 ,70 |
0,3974 |
0,0412 |
0,1036 |
|
Расчеты показывают, |
что относительная дисперсия погрешности |
||||||
при восстановлении последующего отсчета случайного коррелирован |
|||||||
ного процесса по предыдущему отсчету и его производным при времен |
|||||||
ном интервале мещду отсчетами |
T * A t |
|
равна I |
%. Если при инте |
|||
рполяции |
воспользоваться |
в (6 ) |
коэффициентами ряда Тейлора, |
рав |
|||
ными 41 |
, 4 12/2 , |
A t4/ s |
при |
й |
, |
погрешность интер |
|
поляций, |
определённая относительной дисперсией, |
била бы больше б |
|||||
7 ,9 5 раза. |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,разработанный способ нахождения интерполяцион ных коэффициентов в ограниченном ряде Тейлора дает значительно ме ньшие погрешности.
|
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК |
|
I . |
Тихонов С.И. Статистическая радиотехника. - М.: Сов.радио, |
1966, |
-1678 с . |
|
,г |
2 . * Тихонов С.Й. Статистическая радиотехника. - М.: Радио н |
|
свя зь, |
1982. - С. 624. |
|
|
3 . |
Смирнов В.И. Курс высшей математики. - М.: Наука, 19с7. |
Т. I . - С. 479.
14 . Левин Б .Р . Теоретические основы статистической радиотех ники. - М. : Сов1 радио, 1966; - Кн.' I . - С. 728.