Главы 8-9

Задача 6.

Построить трехкартинный чертеж линии пересечения двух кону-

сов.

Решение.

Этапы построения линии пересечения:

1) Построим недостающую проекцию на плоскости проекций П1. Заданные поверхности – поверхности второго порядка.

Обозначим плоскость общей симметрии α (фронтальная плоскость). Следовательно, можно сделать следующие выводы:

-проекции линии пересечения будут симметричны относительно вырожденных проекций плоскости симметрии α (горизонтальная проек-

ция линии пересечения - относительно α 1, профильная проекция – относительно α3;

-линия пересечения проецируется на фронтальную плоскость про-

екции П2 в виде кривой второго порядка (здесь – гипербола).

Характер пересечения двух конусов – проницание, следовательно, линия пересечения состоит из двух частей.

Вырожденную проекцию заданные поверхности не имеют. 2) Построение точек первой группы.

Рассмотрим последовательно контуры конуса К2 с горизонтально проецирующей осью вращения:

• фронтальный контур:

-проводим вспомогательную секущую плоскость так, чтобы она рассекала поверхность по исследуемому контуру – плоскость α (проек-

ции α1 и α3). В сечении поверхностей получаем графически простые линии: две пересекающиеся прямые (сечение конуса К2 с горизонтально проецирующей осью) и две пересекающиеся прямые (сечение конуса К1

спрофильно проецирующей осью);

-строим линии сечения заданных поверхностей плоскостью α на

П2. В данном случае линии уже построены – это фронтальные контуры поверхностей;

-определяем точки пересечения этих линий сечения:

209

▫фиксируем фронтальные проекции контурных точек 12, 22, 32, 42;

▫определяем горизонтальные 11, 21, 31, 41 и профильные 13, 23, 33, 43 проекции этих точек по принадлежности к фронтальному контуру конуса;

•горизонтальный контур при данном расположении оси конуса отсутствует (ось конуса – горизонтально проецирующая прямая);

•профильный контур:

-проводим вспомогательную секущую плоскость так, чтобы она рассекала поверхность по исследуемому контуру – плоскость (проек-

ции 2 и 1). В сечении поверхностей получаем графически простые линии: две пересекающиеся прямые (сечение конуса К2) и окружность (сечение конуса К1);

-строим линии сечения заданных поверхностей плоскостью на

плоскости П3: линия сечения конуса К2 уже построена – это профильный контур, сечение конуса К1 – окружность радиусом r;

-построенные линии сечений не пересекаются. Следовательно, профильный контур конуса не участвует в пересечении.

Рассмотрим последовательно контуры конуса К1 с профильно про-

ецирующей осью вращения:

• фронтальный контур:

-проводим вспомогательную секущую плоскость α (проекции α1 и α3) так, чтобы она рассекала поверхность по исследуемому контуру;

-плоскость α ранее применялась при исследовании фронтального контура конуса К2. Следовательно, искомые точки уже построены – это точки 1, 2, 3, 4;

• горизонтальный контур:

-проводим вспомогательную секущую плоскость так, чтобы она рассекала поверхность по исследуемому контуру – плоскость (проек-

ция 2). В сечении поверхностей получаем: две пересекающиеся прямые (сечение конуса К1) и окружность (сечение конуса К2);

-строим линии сечения заданных поверхностей плоскостью на

плоскости П1: линия сечения конуса К1 уже построена – это горизонтальный контур, сечение конуса К2 – окружность радиусом r';

-определяем точки пересечения этих линий сечения:

▫фиксируем горизонтальные проекции контурных точек 51,

5'1, 61, 6'1;

▫ определяем фронтальные 52, 5'2, 62, 6'2 и профильные 53, 5'3, 63, 6'3 проекции этих точек по принадлежности к горизонтальному контуру конуса;

• профильный контур при данном расположении оси конуса отсутствует (ось конуса – профильно проецирующая прямая);

210

3) Построение точек второй группы.

Точки линии пересечения, имеющие экстремальное значение:

-по высоте – точки 1, 2 (для одной части линии пересечения) и 3, 4 (для другой части линии пересечения)

-по широте – точки 7, 7' (для одной части линии пересечения) и 8, 8' (для другой части линии пересечения). Для построения этих точек необходимо построить сферу минимального радиуса – сферу вписанную

вконус К2 и пересекающую конус К1;

-по глубине – точное построение экстремальных точек невозможно. Примерное нахождение данных точек выполняется путем подробного построения точек третьей группы на определенном отрезке линии пересечения.

4) Построение точек третьей группы.

Рассмотрим построение промежуточных точек 9, 9':

-стоим вспомогательную секущую сферу ○R (в диапазоне между сферами ○Rmin и ○Rmax);

-проводим линии пересечения этой сферы с заданными поверхностями и фиксируем фронтальные проекции 92, 9'2 точек;

-горизонтальные 91, 9'1 и профильные 93, 9'3 проекции этих точек строятся по принадлежности к параллели любого конуса.

5) Построение проекций линии пересечения.

6) Обводка чертежа с учетом задания.

211

Задача 7.

Построить трехкартинный чертеж линии пересечения тора с цилиндром.

212

Решение.

Этапы построения линии пересечения:

1)Построим недостающую проекцию пересекающихся поверхно-

стей на плоскости проекций П3. Характер пересечения тора и цилиндра – врубка, следовательно, линия пересечения – одна кривая.

Обозначим плоскости общей симметрии α (горизонтальная плоскость) и (горизонтально проецирующая плоскость, проходящая через оси вращения поверхностей).

Цилиндрическая поверхность имеет вырожденную проекцию на

плоскости П1. Она является горизонтальной проекцией линии пересе-

чения. Следовательно, первыми фиксируются горизонтальные проекции точек линии пересечения. Недостающие проекции точек линии пересечения строятся по принадлежности к контурам или параллелям поверхности тора.

2)Построение точек первой группы.

Рассмотрим последовательно контуры поверхности тора:

• фронтальный контур:

-фиксируем горизонтальную проекцию 31 контурной точки 3;

-определяем фронтальную 32 и профильную 33 проекции этой точки по принадлежности к фронтальному контуру тора;

• горизонтальный контур:

-фиксируем на горизонтальной проекции линии пересечения горизонтальные проекции 21, 11 контурных точек 2 и 1;

-определяем фронтальные 22, 12 и профильные 23, 13 проекции этих точек по принадлежности к горизонтальному контуру конуса;

• профильный контур:

-фиксируем на горизонтальной проекции линии пересечения горизонтальную проекцию 41 контурной точки 4;

-определяем фронтальную 42 и профильную 43 проекции этой точки по принадлежности к параллели и профильному контуру тора;

Рассмотрим контуры цилиндрической поверхности:

• фронтальный контур:

-фиксируем на горизонтальной проекции линии пересечения горизонтальную проекцию 51 контурной точки 5;

-определяем фронтальную 52 и профильную 53 проекции этой точки по принадлежности к параллели тора;

• горизонтальный контур при данном расположении оси цилиндра отсутствует (ось цилиндра – горизонтально проецирующая прямая, на

плоскости П1 – вырожденная проекция цилиндра);

• профильный контур:

-фиксируем на горизонтальной проекции линии пересечения горизонтальную проекцию 61 контурной точки 6;

213

-определяем фронтальную 62 и профильную 63 проекции этой точки по принадлежности к параллели тора.

3) Построение точек второй группы.

Точки линии пересечения поверхностей, имеющие экстремальное значение:

-по высоте – точки 1, 2 (контурные точки) и 7 (точка в плоскости общей симметрии ),

-по широте – точки 1, 5 (контурные точки),

-по глубине – точки 2, 6 (контурные точки).

4) Построение точек третьей группы. Рассмотрим построение промежуточной точки 8:

-фиксируем на горизонтальной проекции линии пересечения горизонтальную проекцию 81 точки 8;

-определяем фронтальную 82 и профильную 83 проекции этой точки по принадлежности к параллели конуса.

5) Построение проекций линии пересечения.

6) Обводка чертежа.

214

ГЛАВА 9. КОМПЛЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ

Для решения комплексных задач необходимо использовать следующие алгоритмы:

-построение плоскости, перпендикулярной к прямой;

-построение прямой, перпендикулярной к плоскости;

-определение точки пересечения прямой и плоскости;

-метод прямоугольного треугольника.

Задача 1.

Построить ромб ABCD со стороной AB и диагональю BD на прямой l. Определить натуральную величину BD и угол наклона BD к П2 .

3. Провести диагональ через точки А и О: |АО|=|ОС|.

4.Достроить вторую диагональ

|ВО|=|ОD|.

5. Определить натуральную величину BD и угол наклона BD к П2 методом прямоугольного треугольника:

- на П1 отметить разность уровней по Y;

- на П2 построить прямоугольный треугольник; - обозначить н.в. и угол.

Задача 2.

Через точку A провести прямую p, перпендикулярную к прямой k и пересекающуюся с прямой l в точке B. Определить натуральную величину AB и угол наклона AB к П2 .

216

3. Провести прямую р через точки А и В.

4. Определить натуральную величину АВ и угол наклона АВ к П2 методом прямоугольного треугольника:

- на П1 отметить разность уровней по Y;

- на П2 построить прямоугольный треугольник; - обозначить н.в. и угол.

Задача 3.

Построить равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и вершиной B на прямой l. Определить натуральную величину AC и угол наклона AC к П2 .

217

218