Главы 8-9

3. Комбинации первой и второй задачи.

Метод вспомогательных секущих плоскостей.

Вспомогательные секущие плоскости чаще всего выбирают параллельными одной из плоскостей проекций – плоскостями уровня или проецирующими.

Этот способ рекомендуется применять, если сечения заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями.

На рис.8.18 показаны сфера и конус. Для построения линии пересечения данных поверхностей необходимо:

1. Провести вспомогательную секущую плоскость так, чтобы плоскость пересекала обе поверхности вращения по графически простым линиям (прямым или окружностям). Плоскость – горизонтальная плоскость.

2.Построить линии сечения заданных поверхностей плоскостью . Линии сечения: сферы – окружность n радиусом r с центром в точке О', конуса – окружность m радиусом R с центром в точке О;

3.Определить точки пересечения линий сечения. Окружности m и n пересекаются в точках А и В. Данные точки принадлежат как поверхности сферы, так и поверхности конуса, следовательно, и линии их пересечения.

Рис.8.18. Метод вспомогательных секущих плоскостей: а – модель; б – эпюр

179

Проведение новых вспомогательных секущих плоскостей, аналогичных , позволяет построить необходимое количество точек линии пересечения поверхностей.

Метод вспомогательных секущих сфер.

Данный метод реализуется по аналогичному алгоритму. Различие состоит в том, что в качестве вспомогательной секущей поверхности используется сферическая поверхность.

Способ концентрических сфер применяется в тех случаях, когда:

•пересекаются поверхности вращения;

•оси вращения поверхностей пересекаются;

•пересекающиеся оси вращения образуют плоскость уровня, или проецирующую плоскость.

Способ концентрических сфер основан на свойстве соосных по-

верхностей вращения, которые всегда пересекаются по параллелям.

На рис. 8.19 показаны сфера и конус. Для построения линии пересечения данных поверхностей необходимо:

1.Провести вспомогательную секущую сферу. Оси поверхностей сферы и конуса параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точки S. Эта точка – центр всех вспомогательных концентрических сфер;

Рис.8.19. Метод вспомогательных секущих сфер: а – модель; б – эпюр

180

2.Построить линии сечения заданных поверхностей вспомогательной секущей сферой. Концентрическая сфера пересекает поверхности по окружностям – параллели m с центром в точке О и параллели n с центром в точке О', фронтальные проекции которых являются прямыми линиями (m2, n2);

3.Определить точки пересечения линий сечения. Окружности m и

n пересекаются в точках А и В. На плоскости П1 проекции точек А и В можно построить по параллели m радиусом R с центром в точке О. Данные точки принадлежат как поверхности сферы, так и поверхности конуса, следовательно, и линии их пересечения.

Меняя радиус сферы можно построить необходимое количество промежуточных точек линии пересечения поверхностей.

Максимальный радиус вспомогательной сферы соответствует прохождению фронтального контура сферы через самую удаленную от центра сфер фронтальную контурную точку – точку пересечения фронтальных контуров исходных поверхностей.

Минимальный радиус сферы соответствует сфере вписанной в одну из поверхностей, но пересекающую другую поверхность. В этом случае определяются экстремальные точки линии пересечения.

Контурные точки следует искать как пересечение контурных линий с поверхностью.

8.6.2. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой. В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой.

Рассмотрим некоторые теоремы и примеры, иллюстрирующие их применение.

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются.

Рассмотрим пересечение сферы и эллиптического цилиндра (рис. 8.20, а). Фронтальные проекции сферы и эллиптического цилиндра, имеют общую окружность m (m2) с центром О (О2).

Плоскость α, определяемая центром сферы С и осью i цилиндра, является плоскостью симметрии заданных поверхностей, и параллельна фронтальной плоскости проекций П2.

181

Общая окружность m – это одна из плоских кривых второго порядка линии пересечения. Плоскость второй кривой должна быть перпендикулярна плоскости симметрии α, а следовательно и П2. Вторая линия пересечения (окружность n) проецируется на П2 в виде отрезка прямой n2. Для ее построения следует использовать проекции А2 и В2 точек А и В, принадлежащие контурам заданных поверхностей.

Теорема 2 (о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий точки касания.

Сфера и эллиптический цилиндр пересекается по двум окружностям m и n (рис.8.20, б).

а – по двум плоским кривым; б – имеющих две точки касания

Точки А, В – точки касания. Окружности m и n, расположены во фронтально-проецирующих плоскостях.

Теорема 3 (теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым 2-го порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.

В соответствии с теоремой, линия пересечения конуса и цилиндра, описанных около сферы – плоские кривые 2 порядка – эллипсы, фронтальные проекции которых – отрезки А2В2 и С2 Д2 (рис.8.21).

Теорема Монжа находит эффективное применение при конструировании трубопроводов.

182

а) б)

Рис. 8.21. Пересечение конуса и цилиндра имеющих общую вписанную сферу: а – модель; б – эпюр

Теорема 4. Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка.

Плоскость симметрии определена осью симметрии цилиндра и центром сферы (рис.8.22). Плоскости принадлежат точки A, B, C линии пересечения. Проекция линии на фронтальную плоскость имеет форму параболы и аналитически описывается формулой параболы.

а) б)

Рис. 8.22. Пересечение конуса и сферы имеющих общую плоскость симметрии: а – модель; б – эпюр

183

Две поверхности могут соприкасаться одна с другой в точке (рис.8.23, а), по прямой (рис.8.23, б) или по кривой линии (рис.8.23 в). Соприкасание может быть внешнее (рис.8.23, a, б) или внутреннее

(рис.8.23, в).

Рис. 8.23. Поверхность касательная к поверхности: а – внешнее касание шара и конуса; б – касание цилиндра и конуса; в – внутреннее касание шара и конуса

Соприкасание поверхностей 2-го порядка можно рассматривать как частный случай их пересечения. При этом справедливо следующее положение: если биквадратная кривая линия пересечения двух поверхностей второго порядка распадается на пару совпавших кривых 2-го порядка или на четыре совпавшие прямые, то имеется касание поверхностей по линии 2-го или 1-го порядка соответственно.

Отметим следующие следствия частных случаев касания поверхностей второго порядка:

•если две поверхности 2-го порядка касаются друг друга по кривой линии, то эта линия является кривой 2-го порядка;

•если две поверхности 2-го порядка описаны около третьей поверхности 2-го порядка (или вписаны в неѐ), то они пересекаются по линии, распадающейся на две кривые 2-го порядка (теорема Монжа).

8.6.3. ОБЩИЙ ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

Рассмотрим этапы построения пересечения поверхностей враще-

ния.

1. Краткий анализ задачи:

•Определение общих плоскостей симметрии поверхностен вра-

щения;

•Выявление наличия частного случая пересечения и, следовательно, характера проекций линии пересечения;

184

•Выявление наличия на чертеже вырожденной проекции одной из поверхностей. Данная проекция обладает собирательным свойством, т.е. линия пересечения проецируется на вырожденную проекцию поверхности;

•Определение характера пересечения поверхностей вращения:

а) проницание; б) врубка;

в) с точками прикосновения.

В первом случае линия пересечения поверхностей вращения будет состоять из двух или более частей (рис. 3.24, а). Во втором случае линия пересечения – одна замкнутая кривая (рис. 3.24, б). В третьем случае – одна кривая с узловой точкой (рис. 3.24, в).

2. Построение точек первой группы. К точкам 1-й группы относятся точки пересечения контурных линий одной поверхности вращения с другой поверхностью. Они строятся посредством использования вспомогательных секущих.

г) д) е) Рис.8.24. Метод вспомогательных секущих сфер: а, б, в – модель; г, д, е – эпюр

185

Вслучаях, когда хотя бы одна из поверхностей имеет вырожденную проекцию, построение недостающих проекций точек выполняется по принадлежности к другой поверхности.

3. Построение точек второй группы.

К точкам 2-й группы относятся экстремальные и особые точки. Порядок построения точек второй группы:

– определение наличия данных точек среди точек первой группы;

– построение точек, находящихся в плоскостях симметрии обеих поверхностей вращения;

– построение особых точек кривых 2-го порядка (если они есть).

Вслучае отсутствия метода точного построения всех точек второй группы их определяют приближѐнно, посредством точек третьей группы.

4. Построение точек третьей группы.

К точкам 3-й группы относятся промежуточные точки. Количество точек 3-й группы должно быть достаточным для качественного построения проекций линии пересечения по лекалу. Необходимо показать подробное построение 1...2 промежуточных точек.

5. Построение проекций линии пересечения.

6. Обводка чертежа с учѐтом видимости. Рассмотрим пример пересечения конуса и цилиндра.

186

1. Краткий анализ задачи:

•Поверхности конуса и цилиндра имеют общую плоскость сим-

метрии α. Она параллельна плоскости проекций П2, следовательно, является фронтальной плоскостью (имеет вырожденные проекции (α1 и α3).

Заданные поверхности – поверхности второго порядка. Следовательно, можно сделать следующие выводы:

- проекции линии пересечения будут симметричны относительно вырожденных проекций плоскости симметрии α (горизонтальная проек-

ция линии пересечения - относительно α 1, профильная проекция – относительно α3;

- линия пересечения проецируется на фронтальную плоскость проекции П2 в виде кривой второго порядка (здесь – окружность).

•Характер пересечения поверхностей вращения – с точкой прикосновения, следовательно, линия пересечения – одна кривая с узловой точкой.

•Цилиндрическая поверхность имеет вырожденную проекцию на

плоскости П2. Она является фронтальной проекцией линии пересече-

ния. Следовательно, первыми фиксируются фронтальные проекции точек линии пересечения. Недостающие проекции точек линии пересечения строятся по принадлежности к поверхности конуса.

187

2. Построение точек первой группы.

Для отражения построения всех точек первой группы составляем и заполняем таблицу.

Этапы построения точек первой группы:

1) Рассмотрим последовательно контуры конической поверхности:

• фронтальный контур:

-фиксируем на фронтальной проекции линии пересечения фронтальные проекции контурных точек 12, 22, 32;

-определяем горизонтальные 11, 21, 31 и профильные 13, 23, 33 проекции этих точек по принадлежности к проекциям фронтального контура конуса;

• горизонтальный контур при данном расположении оси конуса отсутствует (ось конуса – горизонтально проецирующая прямая);

• профильный контур:

-фиксируем на фронтальной проекции линии пересечения фронтальные проекции контурных точек –42, 4'2, 52, 5'2;

-находим горизонтальные 51, 5'1 , 41, 4'1 и профильные 53, 5'3, 43, 4'3 проекции этих точек по принадлежности к профильному контуру конуса;

2) Рассмотрим последовательно контуры цилиндрической поверх-

ности:

188