1.9.3. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно

Р асчёт линейных электрических цепей можно значительно упростить, если заменить в какой-нибудь части их соединения некоторых

элементов треугольником эквивалентной звездой или наоборот.

На рис. 1.16 приведена схема одинарного моста постоянного тока, предназначенного для

измерения сопротивлений.

На этой схеме сопротивления R₁₂, R₂₃ , R₂₄ соединены звездой;

Рис. 1.16 сопротивления R₃₁, R₂₃, R₃₄ также

соединены звездой. Таким образом, соединения звездой образуют три сопротивления (или три ветви, исходящие из одного узла).

Сопротивления R₁₂, R₂₃, R₃₁ образуют соединение треуголь-

ником; сопротивления R₂₃, R₂₄, R₃₄ также соединены в треугольник.

Следовательно, три сопротивления (три ветви), расположенные между тремя узлами, образующими замкнутый контур, называются соединением треугольником.

В схеме (рис. 1.16) нет простейших видов соединений (последовательного или параллельного).

Поэтому эквивалентные преобразования этой схемы без замены треугольника сопротивлений эквивалентной звездой или обратного преобразования (звезды в треугольник) невозможны.

З аменим треугольник сопротивлений R₁₂, R₂₃, R₃₁ эквивалентной звездой R₁, R₂, R₃.

В результате такого преобразования получим эквивалентную схему, представленную на рис. 1.17.

На этой схеме имеет место

последовательное и параллель-

Рис. 1.17 ное соединение сопротивлений.

Поэтому дальнейшие прео-

б разования этой схемы по нахождению эквивалентного сопротивления R_эк весьма просты.

а) б)

Рис. 1.18

Для эквивалентности треугольника сопротивлений R₁₂, R₂₃, R₃₁ (рис. 1.18, а) и звезды сопротивлений R₁, R₂, R₃ (рис. 1.18, б) необходимо и достаточно, чтобы при замене треугольника звездой и обратно токи, а, следовательно, и напряжения в остальной части цепи не изменились, т. е. чтобы результирующее сопротивление между каждой парой точек у обеих схем было одинаковым. Запишем результирующие сопротивления для каждой пары точек треугольника и звезды.

Сопротивление между точками 1-2 треугольника (рис. 1.18, а) R₂₃ и R₃₁ соединены последовательно, а по отношению к R₁₂ эта ветвь включена параллельно, поэтому результирующее (эквивалентное) сопротивление между точками 1-2 треугольника будет иметь вид:

(1.24)

Сопротивление между точками 1-2 звезды (рис. 1.18, б): R₁ и R₂ соединены последовательно, поэтому эквивалентное сопротивление между точками 1-2 звезды будет равно сумме этих сопротивлений

R₁ +R₂. (1.25)

Исходя из условия эквивалентности треугольника и звезды, приравняем выражения (1.24) и (1.25):

= R₁ +R₂. (1.26)

Аналогичные уравнения запишем для точек 2-3 и 3-1:

= R₂ +R₃. (1.27)

= R₁ +R₃. (1.28)

Складывая уравнения (1.26) и (1.28) и затем, вычитая (1.27), получим переходную формулу от треугольника к звезде:

R₁= . (1.29)

Аналогично получаем выражение для R₂ и R₃:

R₂= ; (1.30)

R₃= . (1.31)

Таким образом, сопротивление каждого луча эквивалентной звезды равно произведению сопротивлений двух ветвей треугольника, примыкающих к соответствующему лучу, делённому на сумму сопротивлений всех ветвей треугольника.

Если из формул (1.29) – (1.31) выразить сопротивления R₁₂, R₂₃, R₃₁ через сопротивления R₁, R₂, R₃, то получим формулы преобразования трёхлучевой звезды в эквивалентный треугольник:

;

; (1.32)

;

Далее рассмотрим некоторые примеры по расчёту линейных электрических цепей с одним источником ЭДС методом эквивалентных преобразований.

Пример 1.1. Две электрические лампы номинальным напряжением U_ном= 220 В и мощностями Р_1ном= 40 Вт и Р_2ном= 60 Вт включены последовательно в электрическую цепь, к которой подведено напряжение U = 220 В. Определить потребляемые мощности каждой лампы Р₁ , Р₂ и напряжения на них U₁ , U₂. Лампы условно считать линейными элементами.

Р е ш е н и е. 1. Определим сопротивление каждой лампы при номинальном напряжении, предварительно записав формулу мощности через напряжение и сопротивление:

, откуда .

Ом;

Ом.

Изобразим схему включения сопротивлений R₁ и R₂ (рис. 1.19).

R_эк= R₁ + R₂= 1210+806,7 = 2016,7 Ом.

А;

U₁= IR₁ = 0,10911210 = 132 В;

U₂ = IR₂= 0,1091806,7 = 88 В.

П роверка по второму закону Кирхгофа:

U = U₁ + U₂ = 132 + 88 = 220 В.

Из расчёта следует, что при последовательном соединении электроламп, напряжение на

Рис. 1.19 каждой из них меньше

номинального напряжения;

причём, чем больше номинальная мощность лампы, тем меньше будет на ней напряжение; обе лампы будут иметь неполный накал.

Мощность, потребляемая лампами:

P₁= U₁I = 1320,1091 = 14,4 Вт;

P₂= U₂I = 880,1091= 9,6 Вт.

Мощность источника электроэнергии:

P_и= UI = 2200,1091 = 24 Вт.

Баланс мощностей:

P_и= P₁+ P₂ =14,4 + 9,6 = 24 Вт.

Наличие баланса мощностей подтверждает правильность решения задачи.

Пример 1.2. Определить в схеме (рис. 1.20) напряжение U_аb, если R₁= 20 Ом, R₂= 24 Ом, R₃= 80 Ом, Е= 120 В.

Р е ш е н и е: Определим эквивалентное сопротивление цепи относительно источника ЭДС. Сопротивления R₁ и R₃ соединены параллельно, поэтому

Ом;

Сопротивления R₁₃ и R₂ соединены последовательно:

R₁₃ + R₂= 16+24 = 40 Ом.

Ток второй ветви

3 А.

По второму закону Кирхгофа

Е= U_аb + I₂R₂, откуда

U_аb= Е  I₂R₂ =120 

 324 = 120  72 = 48 В.

Пример 1.3. Определить токи во всех ветвях одинарного моста (рис. 1.16), если Е =

= 100 В, R₀= 6 Ом, R₁₂ = R₃₁=

Рис. 1.20 = 10 Ом, R₂₄=14 Ом, R₃₄= 24 Ом,

R₂₃= 30 Ом.

Р е ш е н и е. Преобразуем треугольник сопротивлений R₁₂, R₂₃, R₃₁ в эквивалентную звезду R₁, R₂, R₃:

R₁= = Ом;

R₂= = Ом;

R₃= = Ом;

После преобразования треугольника в звезду получим схему с последовательно-параллельным соединением сопротивлений (рис. 1.21, а).

а) б)

Рис. 1.21

Для этой схемы имеем:

R_А= R₂ + R₂₄ = 6 +14 = 20 Ом;

R_В= R₃ + R₃₄= 6 +24 = 30 Ом;

R_АВ = Ом.

После выполнения преобразований схема имеет вид (рис. 1.21, б), для которой

R_эк= R₁ +R_АВ + R₀ = 2+12+6 = 20 Ом.

Ток I₀ определяем по закону Ома:

I₀= А.

Напряжения для схемы (рис.1.21,б):

U₁= I₀R₁ = 52 = 10 В;

U_АВ = I₀R_АВ = 512 = 60 В;

U₀ = I₀R₀ = 56 = 30 В.

Проверка по второму закону Кирхгофа:

Е = U₁ +U_АВ + U₀ = 10+60+30 = 100 В.

Для схемы (рис. 1.21, а):

I₁= I₀=5 А;

I₂ = I₂₄ = А;

I₃ = I₃₄ = А.

Проверка по первому закону Кирхгофа:

I₁= I₂ + I₃= 3+2 = 5 А.

Для определения токов I₁₂, I₂₃, I₃₁ схемы (рис. 1.16) найдём напряжения U₁₂ , U₂₃ , U₃₁ между соответствующими узлами. С этой целью задаёмся направлениями этих напряжений (на схеме рис. 1.21, а) указаны пунктирными стрелками) и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров, замыкающихся через искомые напряжения;

контур 0120:

U₁₂  I₂R₂  I₁R₁ = 0; U₁₂= I₂R₂ + I₁R₁ = 36 + 52 = 18+10 = 28 В;

контур 0230:

U₂₃  I₃R₃ + I₂R₂ = 0; U₂₃ = I₃R₃  I₂R₂ = 26 36 = 12  18 = 6 В;

контур 0310:

U₃₁ +I₁R₁ +I₃R₃ = 0; U₃₁ = I₁R₁  I₃R₃ = 52 26 = 1012 =

= 22 В.

Так как напряжения U₂₃ и U₃₁ получились отрицательными, то положительные направления напряжений U₃₂ и U₁₃ противоположны предполагаемым (на схеме рис. 1.21, а обозначены сплошными стрелками).

Положительные направления токов на схеме (рис. 1.16) совпадают с положительными направлениями напряжений на схеме (рис. 1.21, а), а их значения определим по закону Ома:

А;

А;

А.

Мощность, расходуемая в сопротивлениях звезды:

P₁= Вт;

P₂= Вт;

P₃= Вт.

P_ = P₁ + P₂ +P₃ = 50+54+24 = 128 Вт.

Мощность, расходуемая в сопротивлениях треугольника:

P₁₂ = Вт;

P₂₃ = Вт;

P₃₁ = Вт.

P_= P₁₂ + P₂₃ +P₃₁ = 78,4+1,2+48,4 = 128 Вт.

Равенство мощностей P_ = P_ подтверждает правильность преобразования треугольника в звезду, т. е. их эквивалентность.

Составим для схемы рис. 1.16 баланс мощностей:

EI₀ = P_ +

EI₀ = 1005 = 500 Вт;

P_+ = 128+3²14+2²24+5²6 =

= 128+126+96+150 = 500 Вт.

Наличие баланса мощностей показывает, что расчёт электрической цепи (рис. 1.16) произведен правильно.