3237
.pdfГоризонтальная таблица разностей |
|
|
Таблица 3 |
|||||||||
x |
y |
y |
2 y |
|
3 y |
4 y |
||||||
x0 |
y0 |
y0 |
2 |
y0 |
|
3 |
y0 |
4 |
y0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x1 |
y1 |
y1 |
2 |
y1 |
|
3 |
y1 |
|
|
|||
x |
|
|
y2 |
y |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
2 |
y2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
3 |
y3 |
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
4 |
y4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Диагональная таблица разностей |
Таблица 4 |
|||||||
x |
|
y |
y |
2 y |
3 y |
|
4 y |
|||
x0 |
|
y0 |
y0 |
|
|
|
|
|
||
x1 |
|
y1 |
2 |
y0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 y0 |
|
|
|||||
x2 |
|
y2 |
y1 |
2 y |
|
4 y0 |
||||
x |
3 |
|
y |
3 |
y2 |
2 |
1 |
3 y |
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
1 |
|
|
||
x4 |
|
y4 |
y3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Интерполяционные многочлены Ньютона
Пусть |
функция f (x) задана |
на сетке равноотстоящих |
||
узлов xi x0 ih, где i |
0,1,..., n , и для нее построена таблица |
|||
конечных разностей. |
|
|
|
|
Будем строить интерполяционный |
многочлен Pn (x) в |
|||
форме: |
|
|
|
|
Pn (x) a0 |
a1 (x x0 ) a2 (x x0 )(x x1 ) |
|
||
a3 (x |
x0 )(x x1 )(x |
x2 ) ... |
an (x |
x0 )(x x1 )...(x xn 1 ). |
|
|
|
|
(2.18) |
30
Его n 1 коэффициент a0 , a1,..., an определим из условий:
Pn (x0 ) y0 ; Pn (x1 ) |
|
|
|
|
y1; ... ; |
Pn (xn ) |
|
yn . |
(2.19) |
|||||||||||||||
Для этого сначала подставим в (2.18) вместо x |
|
значение x0 . |
||||||||||||||||||||||
Тогда y0 |
Pn (x0 ) |
a0 . |
|
Далее, |
|
полагая x |
x1 , |
получаем |
||||||||||||||||
|
y1 |
Pn (x1) a0 |
|
|
a1(x1 |
x0 ) , |
|
|
|
|
||||||||||||||
или, так как x1 |
|
x0 |
|
h , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y1 |
Pn (x1) y0 |
a1h , |
|
|
|
|
||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
y1 |
y0 |
|
|
y0 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Продолжая вычисление коэффициентов, положим x |
x2 . |
|||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
Pn (x2 ) a0 |
|
a1(x2 |
|
|
x0 ) a2 (x2 |
x0 )(x2 |
x1) . |
||||||||||||||||
Заменим найденные коэффициенты |
a0 , a1 |
их значениями |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
y2 |
y0 |
|
|
|
y0 |
2h a2 |
2h h ; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
2 y |
0 |
|
y |
0 |
|
y |
2 |
|
2 y |
y |
0 |
2a |
2 |
h2 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
Воспользовавшись |
|
формулой, |
|
выражающей |
разности |
|||||||||||||||||||
через значения функции, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
2 y0 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2!h2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Точно так же получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
3 y0 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3!h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичные дальнейшие вычисления позволяют записать общую формулу для отыскания коэффициентов
31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
n y0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!hn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Подставим найденные выражения коэффициентов в |
||||||||||||||||||||||||
формулу (2.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
P (x) |
y |
0 |
|
|
y0 |
(x x |
0 |
) |
|
|
2 y0 |
(x x |
0 |
)(x x ) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
2!h2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 y0 |
|
(x |
|
x |
0 |
)(x |
x )(x |
|
x |
2 |
) ... |
|
|
n y0 |
(x x |
0 |
)(x |
x )...(x |
x |
n 1 |
). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3!h3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n!hn |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.20)
Полученный многочлен называется первым интерполяционным многочленом Ньютона. Учитывая, что каждое слагаемое многочлена Ньютона, начиная со второго, содержит множитель x x0 , естественно предположить, что
им удобно пользоваться при интерполировании в окрестности узла x0 или при x , близких к x0 . Будем называть x0 базовым
для многочлена (2.20).
Для практического использования многочлен Ньютона обычно записывают в несколько преобразованном виде. Чтобы получить его, введем обозначение
|
|
|
|
x |
x0 |
|
|
q |
или x |
|
x0 |
qh . |
||||||
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Множители, входящие в формулу (2.18), выразятся через |
||||||||||||||||||
q следующим образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
x1 |
|
|
|
x |
x0 |
h |
|
q |
|
1 , |
|
|||
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
x2 |
|
|
x |
x0 |
2h |
|
q |
|
2 , |
|
|||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
………………………………. |
||||||||||||||
|
x xn 1 |
|
x x0 |
(n 1)h |
q |
n 1. |
||||||||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Подставив эти выражения в формулу (2.20) , приведем ее к виду
P (x) |
|
y |
|
|
q y |
|
|
|
q(q |
1) |
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
q(q |
|
1)(q |
2) |
|
|
3 y |
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.21) |
||||
|
|
q(q |
1) |
|
... |
(q |
|
n |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
.... |
|
|
|
|
|
|
n y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Первая формула Ньютона (2.21) обычно применяется при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значениях |
|
q |
|
|
1 , а |
|
именно, |
|
для интерполирования вперед |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(при |
x |
(x0 , x1) , |
т.е. |
|
при |
|
|
|
|
q |
|
(0,1)) |
и экстраполирования |
|||||||||||||||||||||||||||
назад |
(при x |
x0 , т.е. при |
|
|
q |
|
0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Частные случаи формулы Ньютона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
При |
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
получается |
|
формула |
|
|
|
|
линейной |
|||||||||||||||||||||||
|
интерполяции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
P (x) |
|
|
y y |
0 |
|
x |
|
|
x0 |
|
|
y |
0 |
; |
y y |
0 |
q y |
0 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
При |
n |
2 – формула квадратичной интерполяции: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
0 |
|
|
y |
0 |
|
|
(x x |
0 |
)(x x ) |
|
|
2 y |
0 |
|
||||||||||||
|
P (x) |
|
y y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y |
y0 |
|
|
q |
|
y0 |
q(q |
|
|
1) 2 |
|
y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интерполяционную формулу (2.21) обычно используют для вычисления значений функции в левой половине отрезка.
Дело в том, разности |
k yi вычисляются |
через |
значения |
||||
функции yi , yi 1, ..., |
yi |
k , |
причем |
i |
k |
n (2.17). Поэтому |
|
при больших значениях |
i |
мы не можем вычислить разности |
|||||
высших порядков k |
n |
i |
. Например, |
при |
i n |
3 в (2.21) |
|
можно учесть только |
|
y , |
2 y и |
3 y . |
|
|
Учет этого обстоятельства приводит к потребности в симметричной, в определенном смысле, для (2.21) формулы, которая была бы пригодна для интерполирования в конце
33
таблицы. Для этого, в отличие от (2.18), форма интерполяционного многочлена Pn (x) берется такой, которая
предусматривает поочередное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и т.д., т.е.
Pn (x) a0 a1(x xn ) a2 (x xn )(x xn 1)
a3 (x xn )(x |
|
xn 1)(x |
|
xn |
2 ) ... |
|
|
an (x |
|
xn )(x |
|
xn 1)...(x x1). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Коэффициенты a0 , a1,..., an |
|
|
|
этого многочлена находятся |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
аналогично тому, как они находились для многочлена (2.18), |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
только |
|
|
здесь |
|
подстановка |
|
узловых точек вместо x и |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рассмотрение интерполяционных равенств производится в |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обратном порядке. Полагая x |
xn , |
|
|
|
x |
xn |
1 ,…, имеем: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pn (xn ) |
|
|
|
yn |
|
|
a0 ; |
a0 |
|
|
yn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
P (x |
n 1 |
) |
|
y |
n |
|
a (x |
n 1 |
|
x |
n |
) |
|
y |
n 1 |
a |
|
|
yn |
|
yn |
1 |
|
|
yn 1 |
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
xn |
|
xn |
|
|
|
|
h |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
P (x |
n |
2 |
) |
y |
n |
|
|
yn |
|
1 |
(x |
n |
2 |
x |
n |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 (xn 2 |
|
xn )(xn 2 |
|
|
xn 1) |
|
yn 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
a2 |
|
|
|
|
yn 2 |
|
|
yn |
|
|
|
2 yn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
yn |
2 yn 1 |
|
yn 2 |
|
|
2 yn 2 |
||||||||||||||||||||
|
(xn 2 |
|
xn )(xn 2 |
|
xn 1) |
|
|
|
|
|
|
|
2h( h) |
|
|
|
|
|
|
2!h2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
и т.д. В общем случае |
|
|
ak |
|
|
|
k yn |
|
|
k |
|
, |
|
k |
1,2,..., n . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k!hk |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Таким |
|
|
образом |
|
|
получаем |
|
второй |
интерполяционный |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
многочлен Ньютона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
P (x) |
|
y |
n |
|
|
|
|
yn 1 |
(x |
|
|
x |
n |
) |
|
|
|
2 yn |
|
|
2 |
|
|
(x |
x |
n |
)(x |
x |
n 1 |
) ... |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2!h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.22) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
... |
|
|
(x |
x |
n |
)(x |
|
x |
n |
1 |
)...(x |
x ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n!hn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
в котором базовым является узел xn .
|
Положим в (2.22) x xn |
qh . Введем новую переменную |
||
q |
x |
xn |
и преобразуем к ней входящие в (2.22) разности |
|
|
h |
|||
|
|
|
|
|
x xi |
xn qh x0 ih x0 |
nh qh x0 ih h(q n i) . |
||
|
В результате приходим ко второй интерполяционной |
|||
формуле Ньютона вида |
|
|
P (x) |
y |
n |
q |
y |
n 1 |
|
q(q |
1) |
|
2 |
y |
n |
|
2 |
|
|
... |
q(q |
|
1)...(q |
n |
1) |
|
n |
y |
0 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.23) |
|
||||
|
|
|
|
|
Ее |
|
также |
|
целесообразно |
|
|
использовать при |
значениях |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
q |
|
1 т.е. в окрестности узла |
xn |
для интерполирования назад |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(при q |
( |
1,0)) и экстраполирования вперед (при q |
0) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Величина |
|
|
|
остаточного |
|
|
|
|
члена |
|
для |
|
первой |
|
|||||||||||||||||||||
интерполяционной |
|
формулы |
|
|
|
|
Ньютона |
определяется |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Rn (x) |
|
Rn (x0 |
qh) |
|
f (n |
1) ( |
|
) |
h |
n |
1 |
q(q |
1)...(q |
n) . |
(2.24) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(n |
1)! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
При наличии оценки |
|
f (n |
|
1) (x) |
|
|
M n |
1 |
x |
a, b |
можно |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
уточнить |
|
|
границы |
|
|
|
|
|
|
абсолютной |
|
погрешности |
|
|||||||||||||||||||||||||||
конечноразностного интерполирования в конкретной точке и |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на всем промежутке a, b |
по типу (2.14), (2.15). Так, |
для |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
x0 |
~ |
|
|
|
|
|
|
оценки погрешности интерполяции в точке x |
qh имеем |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
M n |
1 |
|
|
|
n |
1~ ~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x ) |
Pn (x0 |
|
qh) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
q (q 1)...(q n) . |
(2.25) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
Pn (x0 |
qh) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Если |
интерполяционная |
|
|
формула |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
используется |
для |
|
|
аппроксимации |
|
|
f (x) |
в |
точке |
|
~ |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
35
расположенной достаточно близко к базовому узлу |
x0 справа |
|||||||||||||||||||
от него, т.е. |
если |
~ |
|
|
(0,1) |
, то оценку (2.25) можно |
||||||||||||||
q |
|
|
||||||||||||||||||
существенно |
|
упростить. |
|
Это |
|
достигается |
применением |
|||||||||||||
неравенства |
|
q(q |
1)...(q |
n) |
|
|
n! |
|
для |
|
любого |
~ |
(0,1) . |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подстановка последнего неравенства в (2.25) приводит к |
||||||||||||||||||||
простой точечной оценке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
M n |
1 |
|
|
n |
1 |
, |
|
(2.26) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f (x ) |
Pn (x0 |
|
qh) |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4(n |
1) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
подчеркивающей |
степенную |
|
зависимость |
|
точности |
|||||||||||||||
интерполирования от малости шага таблицы. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример. |
Используя |
|
|
|
|
|
первую |
|
|
или |
вторую |
интерполяционную формулу Ньютона, вычислить значения функции y(x) при следующих значениях аргумента:
1) |
x1 |
1.2273; |
2) |
x2 |
1.253; |
|
||
3) |
x3 |
1.210 ; |
4) |
x4 |
1.2638. |
|||
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
1.215 |
|
|
0.106044 |
|
|
|
|
|
1.220 |
|
|
0.113276 |
|
|
|
|
|
1.225 |
|
|
0.119671 |
|
|
|
|
|
1.230 |
|
|
0.125324 |
|
|
|
|
|
1.235 |
|
|
0.130328 |
|
|
|
|
|
1.240 |
|
|
0.134776 |
|
|
|
|
|
1.245 |
|
|
0.138759 |
|
|
|
|
|
1.250 |
|
|
0.142367 |
|
|
|
|
|
1.255 |
|
|
0.145688 |
|
|
|
|
|
1.260 |
|
|
0.14809 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
Составим |
таблицу конечных разностей |
(таблица 5):
36
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
xi |
yi |
yi |
2 yi |
3 yi |
|
1.215 |
0.106044 |
0.007232 |
-0.000837 |
0.000095 |
|
1.220 |
0.113276 |
0.006395 |
-0.000742 |
0.000093 |
|
1.225 |
0.119671 |
0.005653 |
-0.000649 |
0.000093 |
|
1.230 |
0.125324 |
0.005004 |
-0.000556 |
0.000091 |
|
1.235 |
0.130328 |
0.004448 |
-0.000465 |
0.000090 |
|
1.240 |
0.134776 |
0.003983 |
-0.000375 |
0.000088 |
|
1.245 |
0.138759 |
0.003608 |
-0.000287 |
0.000087 |
|
1.250 |
0.142367 |
0.003321 |
-0.000200 |
------- |
|
1.255 |
0.145688 |
0.003121 |
------ |
------ |
|
1.260 |
0.14809 |
------ |
------ |
------ |
|
|
|
|
|
|
|
При составлении таблицы конечных разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Для вычисления значений функции
при |
|
x 1.2273 и x |
|
1.210 воспользуемся формулой Ньютона |
|||||||||||||||||||
для интерполирования вперед: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
y(x) |
y0 |
q y0 |
q(q 1) |
2 |
y0 |
|
q(q 1)(q |
2) |
|
3 |
y0 , |
|||||||||
|
|
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
q |
|
x |
x0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Если x |
1.2273, то примем x0 |
|
1.225; тогда |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
1.2273 |
1.225 |
|
0.46, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.005 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(1.2273) |
0.119671 |
0.46 |
0.005653 |
0.46( |
0.54) |
( |
0.000649) |
||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.46( |
0.54)( |
1.54) |
0.000093 |
0.119671 |
0.0026004 |
|
0.000806 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.0000059 |
|
0.1223579 |
0.122358. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
|
|
2) Если x |
|
|
1.210, то примем x0 |
|
1.215; тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
1.210 |
1.215 |
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y(1.210) |
0.1106044 |
( 1) |
0.007232 |
|
( 1)( 2) |
( 0.000837) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1)( |
2)( 3) |
0.000095 |
0.097880. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Для |
вычисления |
|
|
значений |
функции |
при |
x |
1.253 |
и |
|||||||||||||||||||||||
x |
1.2638 |
воспользуемся |
|
|
формулой |
|
Ньютона |
|
для |
|||||||||||||||||||||||||
интерполирования назад: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y(x) |
yn |
q yn 1 |
q(q |
1) |
|
2 |
yn 2 |
|
|
q(q |
1)(q |
2) |
3 |
yn 3 |
, |
|||||||||||||||||||
2! |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
q |
|
x |
xn |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Если x |
|
|
1.253, то примем xn |
|
1.255; тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
1.253 |
|
1.255 |
|
0.4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(1.253) |
0.145688 ( |
0.4) |
0.003321 |
( |
|
0.4) |
0.6 |
|
( 0.000287) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
0.4) |
0.6 1.6 |
0.000088 |
0.1443884 |
|
0.144388. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Если x |
1.2638, то примем xn |
1.260 ; тогда |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
1.2638 |
|
0.260 |
|
0.76 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(1.2638) |
0.148809 |
0.76 |
0.003121 |
|
0.76 1.76 |
( |
|
0.000200) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.76 1.76 |
2.76 |
0.000087 |
|
0.1511007 |
0.151101. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Многочлены Лагранжа и Ньютона, построенные для одних и тех же узлов интерполяции, тождественно равны
38
между собой (многочлены степени n совпадают в n 1 точке), хотя и имеют различную форму записи.
Формула Ньютона обычно более удобна для применения. Если мы хотим улучшить приближение, повысив степень аппроксимирующего многочлена, добавив несколько новых узлов не меняя старых, то в формуле Ньютона придется добавить только несколько новых слагаемых. Число их равно числу добавленных узлов. В случае формулы Лагранжа надо производить все вычисления вновь.
Следует подчеркнуть, что существует один и только один интерполяционный многочлен при заданном наборе узлов интерполяции. Формулы Лагранжа, Ньютона и др. порождают один и тот же многочлен (при условии, что вычисления проводятся точно).
Выбор способа интерполяции определяется различными соображениями: точностью, временем вычислений, погрешностями округлений и др. В некоторых случаях более предпочтительной может оказаться локальная интерполяция, тогда как построение единого многочлена высокой степени (глобальная интерполяция) не приводит к успеху.
При построении интерполяционных многочленов с равномерным распределением узлов с увеличением степени многочлена последовательность его значений расходится для
любой фиксированной точки x при 0.7 |
x |
|
1. |
Положение может быть исправлено |
специальным |
расположением узлов интерполяции, например выбором xi ,
совпадающими с корнями многочленов Чебышева степени n 1.
На практике стараются использовать многочлены малой степени (линейную и квадратичную интерполяцию, сплайны).
2.7. Интерполирование функции кубическими сплайнами
В тех случаях, когда отрезок |
[a,b] , |
на котором нужно |
||
подменить |
функцию |
f (x) функцией |
(x) , велик, и |
|
отсутствуют |
основания |
считать |
данную |
функцию f (x) |
39