3237
.pdfРис.15
Применяя формулу (6.11) к участкам (xi 1, xi ), получаем
|
x2 |
|
|
|
|
y1 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ydx |
h |
|
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.......... .......... .......... ... |
|
|
(6.12) |
|||||||||||
|
xn |
|
|
|
|
yn 1 yn |
|
|
|
|
|||||
|
|
ydx |
|
h |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сложив все формулы (6.12) с формулой (6.11), |
придем к |
||||||||||||||
общей формуле, |
дающей |
приближенное |
выражение для |
||||||||||||
интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
y0 |
yn |
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x)dx |
h |
|
|
|
y1 y2 |
... |
yn 1 |
(6.13) |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта |
формула |
дает |
при |
достаточно малых h , т.е. при |
|||||||||||
большом |
числе |
n |
|
|
|
точек |
|
деления, |
довольно |
хорошие |
|||||
результаты. |
Формула |
(6.13) |
|
|
носит |
название |
формулы |
трапеций, что вполне объясняется ее геометрическим смыслом.
120
Ошибка вычислений по формуле (6.13) складывается из
ошибок вычислений на каждом из отрезков xi 1, xi |
. Поэтому |
|||||||
|
|
|
(b a)h2 |
|
. |
(6.14) |
||
|
R(h) |
|
|
|
max |
f (x) |
||
|
12 |
|
||||||
|
|
|
x a,b |
|
|
|
||
Ошибку по формуле (6.14) не всегда можно оценить, |
||||||||
например, когда функция |
f (x) задана в виде таблицы и ее |
аналитическое выражение неизвестно. В этом случае
производная |
f |
(x) |
|
оценивается |
с |
помощью |
табличных |
||||||||||||||||||||||||||||
разностей |
f |
(x) |
|
2 y |
|
. |
|
|
Поэтому вместо формулы |
(6.14) |
|||||||||||||||||||||||||
h2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
используется формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
R(h) |
|
|
|
(b |
|
a) |
|
|
max |
|
|
|
2 yi |
|
. |
|
|
|
|
|
(6.15) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
|
Вычислить |
|
|
|
по |
|
|
формуле трапеций |
|
xdx , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
разбив интервал |
|
интегрирования |
на 10 |
частей. |
Оценить |
||||||||||||||||||||||||||||||
погрешность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. При тех же обозначениях, что и |
для метода |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямоугольников, используя формулу трапеций, получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
I 0.1 ( |
1 |
1.414 |
1.049 |
|
1.095 1.140 |
|
|
|
1.183 |
1.225 |
1.265 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.304 |
1.342 |
1.378) |
|
|
|
1.218. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Далее, |
f |
(x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
f |
(x) |
|
1 |
|
на отрезке 1;2 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||
4 |
|
x |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, |
по формуле (6.14) находим |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R(h) |
|
|
0.1 |
1 |
1 |
|
0.002. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, I 1.218 0.002.
121
6.4. |
|
Параболическая интерполяция. Формула Симпсона |
|||||||||||||||||||||||||||||
Для |
получения |
|
|
еще |
одной |
|
квадратурной |
формулы |
|||||||||||||||||||||||
численного интегрирования |
|
положим |
|
в (6.10) |
n |
|
2 , |
т.е. |
|||||||||||||||||||||||
отбросим все разности выше второй. |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x0 2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydx |
h 2 y0 |
|
2 |
y0 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.16) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
h 2 y |
|
2 y |
2 y |
|
|
1 |
( y |
|
|
|
2 y |
y |
|
|
) |
|
|
h |
( y |
|
|
4 y |
y |
|
). |
|
|||||
0 |
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
0 |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Геометрический |
|
|
|
|
|
|
смысл |
|
|
|
полученной |
формулы |
|||||||||||||||||||
заключается |
в том, |
|
|
|
|
что |
в |
|
интервале |
|
интегрирования |
||||||||||||||||||||
x0 , x0 |
|
2h |
функция |
|
|
|
y |
f (x) |
|
|
|
заменяется |
обычной |
||||||||||||||||||
параболой |
второй |
степени |
|
y |
|
|
Ax2 |
|
Bx |
|
|
C , |
проходящей |
||||||||||||||||||
через |
три |
точки |
|
кривой |
с |
|
абсциссами |
|
x0 , x0 |
h, x0 |
2h |
(рис.16). При этом площадь криволинейной трапеции заменяется площадью параболической трапеции.
Рис.16
122
Из формулы (6.16) можно получить формулу для приближенного вычисления интеграла по всему интервалу
a,b .
Для этого разобьем интервал a,b на четное число
n 2m |
равных |
|
|
отрезков |
|
|
и |
для |
|
каждого из |
отрезков |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x0 , x2 , x2 , x4 |
,...., |
x2n , x2n |
2 |
|
применим формулу |
(6.16) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydx |
|
|
|
( y |
|
|
4 y |
y |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydx |
|
|
|
( y2 |
4 y3 |
y4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.17) |
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
.......... .......... .......... .......... ....... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ydx |
|
|
|
( y2n |
2 |
4 y2n |
1 |
|
y2n ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x2n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Просуммировав все формулы (6.17), получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x)dx |
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
4( y |
|
y |
|
|
... y |
|
|
|
) |
2( y |
|
|
y |
|
|
y |
|
|
) . |
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
2n |
|
3 |
n 1 |
2 |
4 |
2n 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.18) |
||||
|
Формула (6.18) называется формулой Симпсона или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулой парабол. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Если |
|
подынтегральная |
|
функция |
|
|
f (x) |
|
|
имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||
непрерывную производную четвертого порядка на |
a,b , |
то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
справедлива такая оценка погрешности формулы Симпсона |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R(h) |
|
|
(b a)h4 |
|
max |
|
f |
(4) (x) |
|
(b a)5 |
max |
|
f (4) (x) |
|
(6.19) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
или, пользуясь формулой |
f (4) ( x) |
|
|
4 y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
h4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123
|
|
|
(b a) |
|
|
. |
(6.20) |
||
R(h) |
|
|
max |
|
4 yi |
|
|||
|
|||||||||
|
180 |
||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
При одном и том же числе участков разбиения формула Симпсона обычно дает более хорошие результаты, чем формула трапеций. Поэтому пользуются предпочтительно ею, хотя она и требует несколько большего количества вычислений. Особенно целесообразно предпочесть формулу Симпсона формуле трапеций в тех случаях, когда нет возможности получить значения функции в большом числе точек.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример. Вычислим |
|
|
|
|
|
способом |
трапеций и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
1 |
x 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
парабол, |
разбив участок 0 |
|
x |
1 на 10 |
частей. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Решение. |
По формуле |
h |
|
|
(b |
a) |
определим |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
h |
(1 |
0) |
0.1 |
. Найденные |
значения |
подынтегральной |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
10 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции f (x) |
|
1 |
|
поместим в таблицу 20. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 20 |
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
f (x) |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
0.0 |
|
|
|
0.00 |
|
|
|
1.00 |
|
|
|
|
1.0000000 |
|
|
||||||||
|
|
0.1 |
|
|
|
0.01 |
|
|
|
1.01 |
|
|
|
|
0.9900990 |
|
|
||||||||
|
|
0.2 |
|
|
|
0.04 |
|
|
|
1.04 |
|
|
|
|
0.9615385 |
|
|
||||||||
|
|
0.3 |
|
|
|
0.09 |
|
|
|
1.09 |
|
|
|
|
0.9174312 |
|
|
||||||||
|
|
0.4 |
|
|
|
0.16 |
|
|
|
1.16 |
|
|
|
|
0.8620690 |
|
|
||||||||
|
|
0.5 |
|
|
|
0.25 |
|
|
|
1.25 |
|
|
|
|
0.8000000 |
|
|
||||||||
|
|
0.6 |
|
|
|
0.36 |
|
|
|
1.36 |
|
|
|
|
0.7352941 |
|
|
||||||||
|
|
0.7 |
|
|
|
0.49 |
|
|
|
1.49 |
|
|
|
|
0.6711409 |
|
|
||||||||
|
|
0.8 |
|
|
|
0.64 |
|
|
|
1.64 |
|
|
|
|
0.6097561 |
|
|
||||||||
|
|
0.9 |
|
|
|
0.81 |
|
|
|
0.81 |
|
|
|
|
0.5524862 |
|
|
||||||||
|
|
1.0 |
|
|
|
1.00 |
|
|
|
1.00 |
|
|
|
|
0.5000000 |
|
|
124
По формуле трапеций имеем
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1.0 |
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
0.9900990 ... |
0.5524862 |
0.7849815. |
|||||||||||||
0 1 |
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По формуле Симпсона - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.11.0 |
|
0.5 4(0.9900990 |
0.9174312 ... |
0.5524862) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
1 |
x2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(0.9615385 ... |
0.6097561)] |
0.785398. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Так |
как |
1 |
|
dx |
|
|
|
, |
то можно считать, |
что |
|||||||||||||
|
|
|
|
arctg |
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
01 x2 |
0 |
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
вычисляя |
этот интеграл, |
находим |
приближенное значение |
|||||||||||||||||||||||
числа |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Так |
как |
|
|
истинное |
|
значение |
|
|
=0.78539816, |
то |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
относительная погрешность при пользовании методом
трапеций не превосходит |
0.06% , а при пользовании методом |
||||
парабол - |
практически отсутствует. |
||||
|
Пример. Вычислить приближенно по формуле Симпсона |
||||
|
1 |
|
|
|
|
I |
1 |
x 2 dx с точностью до 0.001. |
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
Решение. Прежде всего воспользуемся формулой (6.19), |
||||
определим, какой шаг |
h нужно взять для достижения |
заданной точности. Имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
f (x) |
1 x2 ; |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
; |
f (x) |
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x 2 |
|
|
|
|
(1 x2 )3 |
|
|
|||||||
|
f (x) |
|
|
3x |
|
; |
|
|
f IV (x) |
|
12x2 |
3 |
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(1 |
x 2 )5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 x2 )7 |
|
|
125
|
|
|
Наибольшее значение |
|
|
f IV (x) |
|
|
|
|
на отрезке |
0;1 |
||||||||||
достигается в точке |
|
x |
0 : |
|
f IV (0) 3 |
|
. |
Значит, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h4 |
|
|
|
f IV (x) |
|
|
h4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|
(b a) |
|
|
|
1 3 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Так как эта погрешность должна быть меньше |
0.001, |
то |
|||||||||||||||||
|
h4 |
|
0.001, |
т.е. |
|
h 4 |
0.06 . Можно принять h |
0.5 (если |
||||||||||||||
60 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
h |
0.5 , |
то |
h4 0.0625), т.е. несколько большей величины, но |
|||||||||||||||||||
это |
не |
отразится |
на |
точности вычислений, поскольку |
при |
оценке была использована предельная абсолютная погрешность – величина заведомо большая фактической погрешности. Итак, для достижения нужной точности достаточно разбить интервал пополам.
|
Вычислим |
|
|
значения |
|
функции |
f (x) |
1 |
|
x2 при |
|||||||||||||
x |
0; |
0.5 |
|
и |
1: |
|
|
|
f (0) |
1.0000; |
|
|
f (0.5) |
1.1180; |
|||||||||
f (1) |
1.4142. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
I |
|
|
0.5 |
(1.0000 |
4 1.1180 |
1.4142) |
1.1477. |
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Таким |
образом, |
округляя |
последний |
знак, |
|
находим |
||||||||||||||||
I |
1.148. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим для сравнения точное значение этого |
||||||||||||||||||||||
интеграла по формуле Ньютона-Лейбница: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 dx |
|
|
|
|
|
1 x2 ) |
|
|
|
|
|||||||||
|
I |
1 |
x |
|
C |
|
ln(x |
|
2 |
ln(1 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 (1.4142 0.8814) 1.1478.
Таким образом, значение этого интеграла, вычисленное по формуле Симпсона, имеет даже не три, а четыре верных знака после запятой.
126
6.5.Правило Рунге оценки погрешности
Для |
оценки погрешности всех |
рассмотренных |
|||
квадратурных |
формул необходимо |
знание |
производных |
||
различных порядков от функции. |
|
|
|
||
Так |
как |
в практических расчетах |
функция |
f (x) часто |
бывает сложной или задается таблично, то вычисление производных и их оценка становится трудной задачей,
особенно для f IV (x) в методе Симпсона. Поэтому на
практике применяют теоретически нестрогое, но простое правило Рунге. Оно состоит в следующем.
Пусть |
при вычислении интеграла |
I |
с шагом |
h |
погрешность вычислений имеет вид ch k , |
где |
постоянные |
||
c 0 и k |
0 не зависят от h . Это значит, что если через |
I h |
обозначить приближенное значение интеграла при вычислении с шагом h . То
I |
Ih |
|
chk , |
|
|
|
|
(6.21) |
|
При удвоении шага имеем |
|
|
|
||||||
|
I I2h |
c(2h)k . |
|
(6.22) |
|||||
Сравнивая (6.21) и (6.22) видим, то |
|||||||||
|
Ih |
|
I2h |
c(2k |
1)hk . |
||||
Но из (6.21) следует, |
что |
|
chk |
I |
Ih . Поэтому |
||||
|
Ih |
I2h |
(I |
|
|
Ih )(2k |
1) . |
||
Отсюда I |
I h |
I h |
I 2h |
|
|
- |
поправка Рунге. |
||
|
2k |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для формулы Симпсона, например, |
k 4 и 2k 1 15 . |
||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
I h |
|
I h |
I 2h |
. |
|
(6.23) |
||
|
|
15 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127
Это число и принимают за приближенное значение интеграла, вычисленное с поправкой Рунге по формуле Симпсона.
Замечание. На практике поступают еще проще: осуществляют двойной пересчет с шагом h и 2h , и считают, что совпадающие десятичные знаки принадлежат точному значению интеграла.
6.6. Квадратурная формула Гаусса
Рассмотрим квадратурную формулу (6.4) на стандартном отрезке 1;1
1 |
n |
|
f (x)dx |
Ak f (xk ) . |
(6.24) |
1 |
k 0 |
|
Данная формула имеет |
2n параметров |
Ak и xk , |
поэтому можно ожидать, что путем соответствующего выбора этих параметров равенство можно сделать точным для всяких алгебраических многочленов степени 2n 1.
Коэффициенты Ak , вычисляются по формуле (6.5) для отрезка 1;1 .
Существует более простой способ вычисления этих коэффициентов. Можно показать, что для получения наивысшей точности квадратурной формулы, узлы xk
следует выбирать совпадающими с корнями многочлена Лежандра степени n (n – число узлов в квадратурной формуле). Существуют рассчитанные таблицы значений узлов и гауссовых коэффициентов Ak . Ниже приведены значения Ak
и tk |
при n = 8 |
(см. таблицу 21). |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 21 |
|
|
n |
|
k |
|
tk |
|
Ak |
|
|
1 |
|
1 |
|
0.57 735 027 |
|
1.0 |
|
|
2 |
|
1;2 |
|
0.77 459 667 |
0.55 |
555 556 |
|
|
3 |
|
1;3 |
|
0.77 459 667 |
0.55 |
555 556 |
|
128
|
2 |
|
0.0 |
|
0.88 888 889 |
4 |
1;4 |
0.86 113 |
631 |
0.34 785 484 |
|
|
2;3 |
0.33 998 |
104 |
0.65 214 516 |
|
5 |
1;5 |
0.90 |
617 965 |
0.23 692 688 |
|
|
2;4 |
0.53 |
846 931 |
0.47 862 868 |
|
|
3 |
|
0.0 |
|
0.56 888 889 |
6 |
1;6 |
0.83 |
246 951 |
0.17 132 450 |
|
|
2;5 |
0.66 |
120 939 |
0.36 076 158 |
|
|
3;4 |
0.23 |
861 919 |
0.46 791 394 |
|
7 |
1;7 |
0.94 |
910 791 |
0.12 948 496 |
|
|
2;6 |
0.74 |
1 5 3 119 |
0.27 970 540 |
|
|
3;5 |
0.40 |
584 515 |
0.38 183 006 |
|
|
4 |
|
0.0 |
|
0.41 795 918 |
8 |
1;8 |
0.96 |
028 986 |
0.10 122 854 |
|
|
2;7 |
0.79 |
666 648 |
0.22 238 104 |
|
|
3;6 |
0.52 |
553 242 |
0.31 370 664 |
|
|
4;5 |
0.18 |
343 464 |
0.36 268 378 |
|
Пусть |
надо |
вычислить |
интеграл |
по |
отрезку |
a, b . |
|||||||||||||||||
Сделаем |
замену |
переменной |
x |
|
b a |
|
|
b |
a |
t , |
которая |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
преобразует отрезок |
a, b для переменной x в отрезок |
1,1 |
||||||||||||||||||||||
переменной |
|
t. |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
b |
a |
dt |
|
и |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
b |
f (x)dx |
|
b a 1 |
f |
b a |
|
b a |
t dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Применяя к последнему интегралу квадратурную |
|||||||||||||||||||||||
формулу Гаусса (6.24), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
a |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
|
Ak f (xk ) , |
|
|
|
|
(6.25) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
2 |
|
k 1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129