3237
.pdfгде xk |
b |
a |
|
b a |
tk ( k |
1,2,..., n ), |
а tk - нули полинома |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
Лежандра: Pn (tk ) 0 . |
|
|
|||||
Если |
подынтегральная |
функция |
достаточно гладкая |
(имеет непрерывную производную порядка 2n ), то формула Гаусса обеспечивает высокую точность при небольшом числе узлов, так как для формулы с n узлами справедлива оценка:
|
|
|
b |
a |
|
b a |
2n |
|
f (2n) (x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
R |
h |
max |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3n |
|||||||
2 |
n |
|
||||||||||
|
|
|
[a,b] |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Концы а и b отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формулы Гаусса. Это позволяет использовать эту формулу для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки лежат на концах отрезка интегрирования. Например, можно вычислить интеграл
1
0
cos x dx по формуле Гаусса, в то время как формула x
Симпсона здесь неприменима.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример. |
Вычислить |
|
|
|
1 |
2xdx , |
применяя формулу |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гаусса с тремя точками |
( n |
3 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. Пользуемся формулой (6.25) при a |
|
0 и b 1. |
||||||||||||||||||||||||||||
По таблице находим узлы xk |
|
c точностью до пяти знаков: |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
1 |
|
|
1 |
|
t |
|
0.11270; |
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
1 |
t |
|
0.50000; |
|||||||
1 |
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||
x |
1 |
|
|
|
1 |
t |
|
0.088730; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
2 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
5 |
; |
A |
|
|
8 |
; |
A |
|
5 |
; y |
1.10698; |
y |
|
|
|
1.41421; |
||||||||||||
1 |
9 |
|
2 |
|
|
9 |
|
3 |
9 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y3 |
1.66571; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130
|
b a |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
Ak yk ; |
J |
1.39870. |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
«Точное» значение интеграла здесь |
|
|
|
1 |
1.39872. |
||||||
I |
3 |
||||||||||
|
|||||||||||
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сравнивая |
|
изложенные |
|
выше |
методы |
вычисления |
определенных интегралов, можно прийти к следующим рекомендациям.
Интегрирование функций, заданных таблично, методом Симпсона возможно только для функций с равноотстоящими узлами при четном n , а методом Гаусса можно пользоваться только при «правильно» расположенных абсциссах. Поэтому при интегрировании функции с неравноотстоящими узлами можно использовать лишь метод прямоугольников или трапеций. Для интегрирования функций, заданных аналитически, выгоднее применять метод Симпсона или Гаусса. Формула Симпсона при n узлах дает примерно ту же точность, что и формула трапеций при 2n узлах. Метод Гаусса при n узлах дает приблизительно ту же точность, что и метод Симпсона при 2n узлах. Метод Гаусса позволяет достичь большой степени точности, нежели формула Симпсона при том же количестве ординат, но зато точки, где следует вычислить эти ординаты, полностью определены и иррациональны, что является довольно большим неудобством. В силу этого на практике чаще используется метод Симпсона.
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить интеграл по формуле прямоугольников и оценить погрешность.
1 |
e x2 dx, n 4 ; б) |
2 |
|
cos x |
|
2 |
|
a) |
|
dx, n |
6 ; в) |
||||
|
|||||||
0 |
|
0 1 x |
1 |
lnxx, n 4 .
131
2. Вычислить интеграл по формуле трапеций и оценить погрешность.
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
2 |
|
dx |
|
|||||
a) |
, |
n 10 ; |
б) |
|
|
sin xdx, n 4 ; в) |
|
, n 4 . |
||||||
x |
0 |
1 1 x |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.4 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
|
|
|
|
, |
n |
8 . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2 0.5 x2
3.Вычислить интеграл по формуле Симпсона и оценить погрешность.
3 |
|
|
dx |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
dx |
|
|
||
a) |
|
|
, n 4 ; |
б) sin xdx, |
n |
4 ; в) |
|
, n 4 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
1 |
x |
|
|
0 |
|
|
0 |
2 |
x |
|||||
4. |
|
|
Вычислить |
по |
формуле |
|
трапеций |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5sin2 xdx , |
приняв n |
6 ; |
оценить |
погрешность |
|||||||||
I |
1 |
0
заранее, чтобы определить с каким числом знаков надо вести вычисления.
|
8 |
|
dx |
|
|
|
5. Вычислить по формуле Симпсона |
|
|
|
, приняв |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
x |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
n 8 . Оценить погрешность по методу удвоения шага; сравнить с точным значением интеграла. Вычисления вести с пятью знаками после запятой.
|
1.5 |
|
x |
2 |
|
|
6. Вычислить интеграл |
|
|
|
dx , применяя формулу |
||
|
|
|
|
|
||
0.7 |
|
x2 |
1 |
|||
|
|
|
||||
Гаусса с тремя точками ( n |
3 ). |
|
|
|
|
132
7. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
7.1. Понятие о численном решении задачи Коши |
|
||||
Дифференциальное |
уравнение |
первого |
порядка, |
||
разрешенное |
относительно производной, имеет |
вид |
|||
|
y |
f (x, y) |
|
|
(7.1) |
Решением дифференциального уравнения (7.1) называется функция (x) , подстановка которой в уравнение обращает его
в тождество. График решения y (x) называется интегральной кривой. Задача Коши для дифференциального
уравнения (7.1) состоит в том, чтобы найти решение |
этого |
уравнения, удовлетворяющее начальному условию |
|
y(x0 ) y0 . |
(7.2) |
Пару чисел ( x0 , y0 ) называют начальными данными.
Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (7.1) при условии (7.2).
Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящих через точку ( x0 , y0 ) .
Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме.
Теорема. Пусть функция f (x, y) - правая часть дифференциального уравнения (7.1) – непрерывна вместе со
своей частной производной f y (x, y) по |
переменной |
y в |
||
некоторой области D на плоскости. |
Тогда |
при |
любых |
|
начальных данных ( x0 , y0 ) |
D задача Коши (7.1) |
- (7.2) имеет |
||
единственное решение y |
(x) . |
|
|
|
При выполнении условий теоремы |
Коши |
через |
точку |
(x0 , y0 ) на плоскости проходит единственная интегральная кривая.
133
Методы |
решения задачи Коши можно условно разбить |
|
на точные, приближенные и численные. |
|
|
Точные |
методы позволяют получить |
решение |
дифференциального уравнения интегрированием элементарных функций, а это удается не всегда. В приближенных методах
частное решение |
дифференциального |
уравнения y |
(x) |
||
получается как |
предел |
некоторой |
последовательности |
||
элементарных функций |
yn |
n (x) . |
Если n конечно, |
то |
|
получают приближенное решение: |
(x) |
n (x) . Такой прием |
применим для сравнительно простых задач. Иногда используется прием упрощения дифференциального уравнения, заключающийся в обоснованном отбрасывании некоторых членов уравнения.
Численное решение задачи Коши (7.1) - (7.2) состоит в том, чтобы получить искомое решение y (x) в виде таблицы его приближенных значений для заданных значений
аргумента x на некотором отрезке |
a, b : |
|
|||||
|
|
x0 |
a, x1, x2 ,..., xn |
b. |
(7.3) |
||
Точки (7.3) называют узловыми точками, а множество |
|||||||
этих |
точек |
называют |
сеткой |
на |
отрезке |
a, b . Будем |
|
использовать равномерную сетку с шагом h : |
|
||||||
h (b |
a) / n; |
xi xi 1 |
h |
или |
xi |
x0 ih |
(i 1,2,..., n) . |
Приближенные значения численного решения задачи |
|||||||
Коши в узловых точках |
xi обозначим через yi ; таким образом, |
||||||
|
|
yi |
(xi ) |
(i |
1,2,...., n). |
|
Для любого численного метода решения задачи (7.1) - (7.2) начальное условие (7.2) выполняется точно, т.е. y0 (x0 ) .
Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка a, b оценивается величиной
d max |
yi |
(xi ) |
, |
1 i n |
|
|
|
134
т.е. расстоянием между векторами приближенного решения
( y0 , y1,..., yn ) и точного ( (x0 ), (x1),...., (xn )) .
Численные методы применимы к очень широкому классу дифференциальных уравнений. Это обстоятельство, а также появление ПЭВМ послужило основой для выбора этих методов в качестве основного инструмента решения дифференциальных уравнений.
Рассмотрим некоторые методы решения задачи Коши.
7.2. Метод |
последовательных приближений |
|||
Рассмотрим приближенно-аналитический способ решения |
||||
начальной задачи |
(7.1)-(7.2), в |
котором |
искомое |
решение |
y y(x) в некоторой окрестности точки x0 |
является пределом |
|||
последовательности |
получаемых |
определенным |
образом |
|
функций yn (x) . |
|
|
|
|
Проинтегрируем левую и правую части уравнения (7.1) в пределах от x0 до x
x x
y (t)dt f (t, y(t))dt . x0 x0
Отсюда с учетом того, что одной из первообразных для y (x) служит y(x) , получаем
|
|
x |
|
y(x) |
y(x0 ) |
f (t, y(t))dt |
|
|
|
x0 |
|
или, с использованием начального условия (7.2), |
|
||
|
x |
|
|
y(x) |
y0 |
f (t, y(t))dt . |
(7.4) |
|
x0 |
|
|
Таким образом, |
данное |
дифференциальное |
уравнение |
(7.1) с начальным |
условием (7.2) преобразовалось в |
135
интегральное уравнение. Применим к этому уравнению метод простых итераций, рассматривающийся применительно к системам линейных и нелинейных уравнений, а также к
трансцендентным |
уравнениям. |
Беря в качестве начальной |
||
функции |
y0 (x) |
заданную в (7.2) постоянную y0 , получим |
||
при n 0 первое приближение |
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
y1(x) |
y0 |
f (t, y0 )dt . |
|
|
|
|
x0 |
При n |
1 получим второе приближение |
|||
|
|
|
x |
|
|
y2 (x) |
y1 |
f (t, y1)dt и т.д. |
x0
Таким образом, этот приближенно-аналитический метод, называемый методом последовательных приближений или методом Пикара, определяется формулой
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
1(x) |
yn |
|
f (t, yn (t))dt , |
(7.5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
где n |
0,1,2,... и y0 (x) |
y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Достаточные условия сходимости этого метода |
||||||||||||||
содержатся в следующей теореме. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Теорема. Если в некоторой односвязной области G , |
||||||||||||||
содержащей точку ( x0 ; y0 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
f (x, y) |
|
|
C , |
|
f y (x, y) |
|
C1 , |
|
|||
то найдется такая постоянная |
h |
0 , что |
на отрезке |
|||||||||||
x0 , x0 |
h последовательность функций |
yn (x) , определяемая |
||||||||||||
методом (7.5), равномерно сходится к решению |
y(x) задачи |
|||||||||||||
Коши (7.1)-(7.2) и справедлива оценка погрешности |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(x |
x0 )n 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y(x) |
yn (x) |
|
C C1 |
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
(n |
1)! |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136
Отметим два обстоятельства, которые не позволяют часто использовать метод последовательных приближений в практических вычислениях. Во-первых, первообразную не всегда удается найти. Поэтому в чистом виде метод (7.5) редко реализуем. Во-вторых, это метод следует считать локальным, пригодным для приближенного решения в малой окрестности начальной точки. Большее значение метод Пикара имеет для доказательства существования и единственности решения задачи Коши, нежели для его практического нахождения.
7.3. Метод Эйлера
Простейшим численным методом решения задачи Коши (7.1)-(7.2) является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера. В практических вычислениях он применяется редко из-за невысокой точности, однако он лежит в основе
некоторых более точных методов. |
|
|
||||
Пользуясь тем, что |
в |
точке x0 |
известно и значение |
|||
решения |
y(x0 ) |
y0 |
и |
значение |
его |
производной |
y (x0 ) f ( y0 , y0 ) , |
можно записать уравнение |
касательной к |
||||
графику искомой функции y |
y(x) в точке (x0 , y0 ) : |
|||||
|
y |
y0 |
f (x0 , y0 )(x x0 ) . |
(7.6) |
||
При достаточно малом значении h ордината |
||||||
|
|
y1 |
y0 |
hf (x0 , y0 ) |
|
|
этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (7.6) значения x1 x0 h , по непрерывности должна мало
отличаться от ординаты y(x1) решения y(x) задачи (7.1)-(7.2). Следовательно, точка (x1, y1) пересечения касательной с прямой x x1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую
y y1 f (x1, y1)(x x1) ,
137
которая уже приближенно отражает поведение касательной к y(x) в точке (x1; y(x1)). Подставляя сюда x x2 ( x1 h) , получим приближение значения y(x2 ) значением
y2 y1 hf (x1, y1)
и т.д. Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулу Эйлера для решения задачи Коши
(7.1) - (7.2)
yi 1 |
yi |
hf (xi , yi ) |
i 1,2,..., n. |
(7.7) |
|
Геометрический смысл метода Эйлера заключается в том, |
|||||
что интегральная кривая |
y y(x) на каждом отрезке |
x0 , x1 |
, |
||
x1, x2 , …, xm 1 , xm |
заменяется |
отрезком касательной |
к |
||
интегральной кривой, проходящей через точки Pk (xk , yk ) , |
а |
интегральная кривая заменяется ломаной, проходящей через
точки |
P (x |
0 |
, y |
0 |
) , |
P (x , y ) , …, |
P (x |
n |
, y |
n |
) . Эта ломаная |
|
0 |
|
|
1 1 1 |
n |
|
|
называется ломаной Эйлера (рис.17).
Рис.17
138
Рассмотрим еще один способ получения формулы Эйлера
(7.7). |
Для |
этого |
|
на |
отрезке |
xi , xi 1 |
разложим |
искомое |
||||||
решение y(x) по формуле Тейлора |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|||
|
y(xi |
h) |
|
y(xi ) |
|
hy (xi ) |
|
|
|
|
y (xi ) ... . |
(7.8) |
||
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ограничиваясь линейными членами, получим |
|
|||||||||||||
|
|
y |
i |
1 |
y |
i |
hf (x , y |
i |
) o(h2 ) . |
(7.9) |
||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Здесь |
введены |
|
|
обозначения: |
y(xi |
h) yi 1 ; |
|||||||
y(xi ) |
yi , а в правой части (7.1) |
имеем: |
|
|
y (xi ) f (xi , y(xi )) f (xi , yi ) .
Пренебрегая в (7.9) членами порядка o(h 2 ) , получим
формулу (7.7).
Из формулы (7.9) видно, что на каждом шаге погрешность имеет порядок o(h 2 ) . При оценке погрешности
на отрезке |
a, b |
надо |
суммировать |
погрешности на |
|
элементарных отрезках: |
|
|
|
||
|
|
no(h2 ) |
b a |
o(h2 ) |
o(h) , |
|
|
|
|||
|
|
|
h |
|
т.е. метод Эйлера имеет первый порядок точности: R ~ h . Главный недостаток метода Эйлера - большая
погрешность на каждом шаге. Это заставляет использовать очень мелкий шаг, что приводит к большому количеству вычислений. При этом происходит систематическое накопление ошибок из-за неточных входных данных на последующих отрезках, что приводит к ухудшению результата.
Несмотря на существенные недостатки, метод Эйлера до сих пор сохраняет известное практическое значение. Вопервых, метод Эйлера лежит в основе других, более точных методов. Во-вторых, более сложные методы имеют большую
139