3237
.pdf
|
f1 |
|
f1 |
|
J |
x1 |
|
x2 |
0 . |
f 2 |
|
f 2 |
||
|
|
|
x1 x2
Тогда решая систему (4.11), например, по правилу Крамера, получим:
|
|
|
x |
(n 1) |
|
x |
(n) |
1 |
|
f |
1 |
|
f 2 |
f |
2 |
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
J |
|
|
x2 |
|
x2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1) |
|
|
(n) |
1 |
|
|
|
|
f 2 |
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x2 |
|
|
f1 |
|
|
|
f 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
J |
|
x1 |
x2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Величины |
|
в |
|
правой |
|
части |
вычисляются |
при |
|||||||||||
x(n) |
(x(n) , x(n) ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.9. Метод итерации для системы двух уравнений |
|||||||||||||||||||
|
Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f1 (x, y) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(4.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
f2 (x, y) 0, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
f1 (x, y) , f2 (x, y) |
непрерывные функции. Требуется найти |
||||||||||||||||||
действительные корни этой системы. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Предположим, |
|
что |
эта |
|
|
|
система |
|
имеет |
только |
|||||||||
изолированные корни. Начальное приближение |
|
( x0 , y0 ) |
||||||||||||||||||
можно |
найти графически, |
построив |
кривые |
f1(x, y) 0 , |
||||||||||||||||
f2 (x, y) |
|
0 и определив координаты их точек пересечения. |
||||||||||||||||||
|
Представим систему (4.12) в виде |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
1(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.13) |
||
|
|
|
|
|
y |
|
2 (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и построим последовательные приближения по следующим формулам
100
|
|
x1 |
1 (x0 , y0 ) ; |
y1 |
2 (x0 , y0 ) ; |
|
|
|
|
x2 |
1(x1, y1) ; |
y2 |
2 (x1, y1) ; |
(4.14) |
|
|
………………………………………. |
|
|||||
|
xn 1 |
1 (xn , yn ) ; |
yn 1 |
2 (xn , yn ) . |
|
||
Если |
существуют пределы |
lim xn , |
lim yn , то |
||||
|
|
|
|
|
|
n |
n |
точка ( |
, |
) является решением системы (4.12). |
|
||||
|
Достаточные |
условия сходимости итерационного |
|||||
процесса содержатся в следующей теореме. |
|
||||||
Теорема. |
|
Пусть |
в |
некоторой |
области |
||
R a |
x |
A, b |
y |
B имеется одно решение системы (4.13). |
Если выполнены условия:
1)функции 1(x, y) и 2 (x, y) определены и непрерывно дифференцируемы в R ;
2)начальное приближение ( x0 , y0 ) и все последующие
приближения ( xn , yn ) принадлежат R ; 3) в R выполнены неравенства
1 (x, y) |
|
2 |
(x, y) |
|
q1 |
1 |
x |
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
||
1 (x, y) |
|
(x, y) |
|
q2 |
1, |
|
|
2 |
|
||||
y |
|
|
y |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
то процесс последовательных приближений (4.14) сходится к корням системы (4.13), т.е. существуют пределы
lim xn , |
lim yn . |
|
|
n |
n |
|
|
Пример. |
Решить методом итераций систему уравнений |
||
|
x 3lg x |
y 2 |
0 |
|
2x2 xy |
5x |
1 0. |
101
Решение. |
Построим |
кривые 1(x, y) |
x |
3lg x y2 и |
2 (x, y) 2x2 |
xy 5x 1 |
и определим графически точки их |
||
пересечения (рис.12). Это будут точки (14.; |
14.) |
и (3.4; 2.2) . |
Для применения метода итерации необходимо привести систему к виду (4.13), что можно сделать различными путями. Если приведем систему к виду
|
x |
y2 |
3lg x |
1(x, y) , |
y 2x |
1 |
5 |
|
(x, y), |
|
|||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то производные |
|
|
1(x, y) |
|
|
3lg e |
; |
|
|
1 |
(x, y) |
|
2 y ; |
||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 (x, y) |
2 |
1 |
; |
|
2 (x, y) |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
x 2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12
Отсюда видно, что в окрестности точки x0 3.4 , y0 2.2 будут иметь место неравенства
102
2 (x, y) |
|
1 |
(x, y) |
1 |
, |
1 |
(x, y) |
4 . |
x |
|
|
x |
|
y |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это показывает, что при таком виде системы итерационный процесс расходится. Определим теперь x из второго уравнения, а y из первого и запишем нашу систему в таком виде
|
|
|
|
|
x( y |
|
5) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(x, y); |
|
|
|
y |
|
|
x 3lg x |
2 (x, y). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 (x, y) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 y |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
1(x, y) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
; |
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 x(5 y) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 x(5 y) 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3lg e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
x |
3lg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
За |
|
|
|
|
|
|
|
|
область |
|
изоляции |
корня |
|
|
|
можно |
принять |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямоугольник 3 |
x 4 , |
2 |
y |
2.5. |
|
|
|
Легко |
установить, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что в этом прямоугольнике |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
(x, y) |
0.60 , |
|
|
|
|
1(x, y) |
0.32 , |
|
|
|
2 (x, y) |
0.34. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(x, y) |
|
|
|
|
|
2 (x, y) |
|
0.60 |
|
0.34 0.94 |
1, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(x, y) |
|
|
|
|
|
2 (x, y) |
|
0.32 |
|
0 0.32 |
1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, итерационный процесс сходится, но так как сумма производных по x сравнительно велика, то скорость сходимости оказывается небольшой.
103
|
Вычисления |
с |
нулевыми |
приближениями |
x0 |
3.4 , |
|||||||||||||||
y0 |
2.2 |
|
|
будем производить по формулам |
|
|
|
|
|
||||||||||||
xn |
|
|
|
|
xn ( yn |
|
5) |
|
1 |
|
, yn 1 |
|
|
|
|
|
( n |
0,1,2,...). |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
xn |
3lg xn |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
различных |
значениях |
|
n |
эти |
вычисления |
дают |
|||||||||||||
следующие результаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x1 |
3.4(2.2 |
5) |
1 |
|
|
|
3.426 , y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3.426 |
3lg3.426 |
2.243, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
3.451, |
|
|
|
|
|
y2 |
|
2.205, |
|
|
|
|
|
||||||
|
x3 |
3.466, |
|
|
|
|
|
y3 |
2.255 , |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x4 |
3.475, |
|
|
|
|
|
y4 |
2.258, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x5 |
3.480 , |
|
|
|
|
|
y5 |
2.259 , |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x6 |
3.483, |
|
|
|
|
|
y6 |
2.260. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Таким образом, |
можно принять |
|
3.483 , |
|
|
2.262 . |
Задачи для самостоятельного решения
1.Определить графически интервалы изоляции
действительных корней уравнения x3 9x 2 18x 1 0 .
2.Определить графически интервалы изоляции
действительных корней уравнения |
x3 |
12x 1 0 . |
|||
3. |
Методами деления |
пополам, |
касательных и хорд |
||
решить с точностью до 0.01 уравнения: |
|||||
а) |
x 4 |
3x 20 0 ; |
б) |
x3 |
2x 5 0 ; |
в) |
x 4 |
3x 1 0 ; |
г) |
x3 |
3x 5 0 . |
4. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение третьей степени, вычислив корни точностью до
0.01:
104
а) x3 3x2 3 0 ; |
б) 2x3 3x2 12x 8 0 . |
5. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0.01:
а) x e x 0 ; |
б) x5 x 2 0 . |
6. Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0.01:
а) x2 4sin x 0 ; |
б) x3 3x 1 0 . |
7. Методом Ньютона найти решение нелинейной системы
уравнений
2x2 y 2 1 0 x3 6x2 y 1 0.
8. Методом Ньютона найти решение нелинейной системы
уравнений |
x |
e y |
0 |
|
e x |
|
|
|
y |
0. |
9.Используя метод итераций, решить систему
нелинейных |
уравнений с точностью |
до |
0.001: |
sin(x 1) |
y 1.2 |
|
|
2x cos y |
2. |
|
|
10.Используя метод Ньютона, решить систему
нелинейных уравнений с точностью |
до |
0.001: |
||
sin(x |
y) |
1.2x 0.2 |
|
|
x 2 |
y 2 |
1. |
|
|
11.Используя метод итераций, решить систему
нелинейных |
уравнений с точностью |
до |
0.001: |
|
cos(x |
1) |
y 1 |
|
|
sin y |
2x |
1.6. |
|
|
|
|
105 |
|
|
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Постановка вопроса
Обычное нахождение производной с помощью таблицы производной при численном решении задач применимо не
всегда, |
в частности, если функция f (x) задана таблично, а |
|||
также |
при |
решении |
дифференциальных |
уравнений |
разностными методами. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.
Для вывода формул приближенного дифференцирования
заменяют |
данную |
функцию |
f (x) на |
отрезке a, b |
||
интерполирующей функцией |
P(x) (чаще всего полиномом), а |
|||||
затем полагают |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
P (x) . |
|
(5.1) |
|
Аналогично поступают при нахождении производных |
||||||
высших порядков функции |
f (x) . |
|
|
|||
Если для интерполирующей функции |
P(x) известна |
|||||
погрешность |
R(x) f (x) |
P(x) , то погрешность производной |
||||
P (x) выражается формулой |
|
|
|
|||
|
r(x) |
f (x) |
P (x) |
R (x) , |
(5.2) |
то есть погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же самое справедливо и для производных высших порядков.
Следует отметить, что приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых
|
y f (x) |
и Y P(x) |
на отрезке a, b |
еще не гарантирует близости на этом отрезке |
|
их производных |
f (x) и P (x) , т.е. малого расхождения |
106
угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента (рис. 13).
5.2. |
Формулы приближенного дифференцирования, |
|||||||
основанные на первой интерполяционной формуле |
|
|||||||
|
|
|
|
Ньютона |
|
|
||
Пусть |
имеем |
функцию |
f (x) , |
заданную |
в |
|||
равноотстоящих точках |
xi |
(i |
0,1,2, . . n. ), |
отрезка a, b с |
||||
помощью значений |
yi |
f (xi ) . |
Для нахождения на |
a, b |
||||
производных |
y f |
(x) , |
y |
f |
(x) и т.д. |
функцию |
f (x) |
|
приближенно |
заменим |
интерполяционным полиномом |
||||||
Ньютона, построенным для системы узлов |
x0 , x1,..., xn , |
т.е. |
||||||
f (x) |
Pn (x). |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.13
Имеем
y(x) |
y0 |
q y0 |
q(q 1) |
2 |
y0 |
q(q 1)(q 2) 3 |
y0 |
||
|
2! |
|
3! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
q(q |
1)(q |
2)(q 3) |
4 y0 |
..., |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4! |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107
где q |
|
x |
|
x0 |
, |
|
|
|
h |
x x |
i |
1 |
|
|
|
|
(i |
|
1,2,..., n) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Перепишем ее, выполнив умножение: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y(x) |
|
|
y0 |
|
|
q y0 |
|
|
q2 |
|
|
|
q 2 |
y0 |
q3 |
3q2 |
|
2q 3 |
y0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q4 |
|
|
6q3 |
|
11q2 |
|
|
|
6q |
|
4 y0 .... |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
dy |
|
dq |
|
1 |
|
|
dy |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dq |
|
dx |
|
|
h |
|
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) |
|
1 |
|
|
|
y0 |
|
2q 1 |
|
2 |
y0 |
|
3q 2 |
|
6q 2 3 |
y0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2q3 |
9q 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11q |
3 4 |
y0 .... |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Аналогично, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) |
|
|
d ( y ) |
|
|
|
|
d ( y ) dq |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dq |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) |
1 |
|
|
|
|
2 |
y0 |
(q |
1) |
|
|
3 |
y0 |
6q 2 |
|
18q |
11 |
4 |
y0 .... . |
(5.4) |
|||||||||||||||||||||||
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Таким же способом в случае надобности можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вычислить и производные функции y(x) любого порядка. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Иногда требуется находить производные функции |
y в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
основных |
табличных |
точках |
|
|
|
|
xi . В этом случае формулы |
численного дифференцирования упрощаются. Так как каждое табличное значение можно считать за начальное, то положив
0 будем иметь:
108
Pn (x0 ) |
|
1 |
|
|
y0 |
|
|
|
2 y0 |
|
|
|
|
3 y0 |
|
|
|
|
|
4 y0 |
|
|
|
|
5 y0 |
|
..... |
|
(5.5) |
|||||||||||
|
h |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (x |
0 |
) |
1 |
|
2 |
y |
0 |
3 |
y |
0 |
11 |
4 |
y |
0 |
5 |
|
|
5 |
y |
0 |
..... . |
|
(5.6) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Пример. |
|
С помощью |
|
|
|
интерполяционной |
формулы |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Ньютона найти значение первой и второй производных |
при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значении x 1.2 для функции, заданной таблицей 15: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 15 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y(x) |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
2.857 |
|
2.4 |
|
|
|
|
6.503 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2 |
|
|
|
3.946 |
|
2.8 |
|
|
|
|
7.010 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6 |
|
|
|
4.938 |
|
3.2 |
|
|
|
|
7.288 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.0 |
|
|
|
5.801 |
|
3.6 |
|
|
|
|
7.301 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Решение. |
|
Составим диагональную |
таблицу |
конечных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
разностей данной функции (таблица 16): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y(x) |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
3 y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0.8 |
|
|
|
|
2.857 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.089 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1.2 |
|
|
|
|
3.946 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.097 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.992 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.032 |
|
|
||||||||
|
1.6 |
|
|
|
|
4.938 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.129 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.863 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.032 |
|
|
||||||||
|
2.0 |
|
|
|
|
5.801 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.161 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.702 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.034 |
|
|
||||||||
|
2.4 |
|
|
|
|
6.503 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.195 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.507 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.034 |
|
|
||||||||
|
2.8 |
|
|
|
|
7.010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.229 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.278 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.036 |
|
|
||||||||
|
3.2 |
|
|
|
|
7.288 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.265 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.013 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3.6 |
|
|
|
|
7.301 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109