- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
149. $ {Зг4 — 2z3)dz.
1
150. ^e*dz, С: а) дуга параболы у — х2, соединяющая
с
точки Zi —0 и г2 = 1 + г, |
б) отрезок |
прямой, соединяющий |
|||||
этй |
же |
точки. |
|
|
|
|
|
|
151. |
$cos zjiz, |
С: отрезок прямой, соединяющий точки |
||||
|
|
с |
|
|
|
|
|
= |
у |
и г2 = я |
i. |
|
|
|
|
|
152. |
(* |
'dz |
|
|
|
|
|
\ ■—rrr-, С: а) верхняя половина окружности |г| = 1; |
||||||
|
|
с |
2 |
|
|
|
|
выбирается |
та ветвь функции ]/г, для которой | / 1 = 1 ; |
||||||
-б) | г | = |
1, |
Re г 5:0; |
= |
- / ) . |
|||
|
153. |
\ |
| С: верхняя |
половина окружности \z\=\\ |
|||
|
|
J |
i z:* |
|
|
_ |
|
берется |
с |
ветвь |
функции |
|
|||
та |
w = yrz39 для которой у 1 = 1. |
||||||
|
154. |
2t |
|
22 |
|
155. |
I |
|
j |
(2з _ г) е~2 |
|
J z cos 2 dz. |
|||
|
|
1-f i |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
\{z-i)e-*dz, |
|
1 5 6 . |
\ z sin zdz. |
|
157. |
|||
|
|
l |
1пД.~\ ~~dz по дуге окружности \ z\ = 1, Im z^O , |
||||
|
158. |
^ |
Re г 3*0.
I
159. ^ ^ y - d z по отрезку прямой, соединяющей точки
Zi = 1 И 2а = I.
I+1
160.J sinzcoszdz.
0
1
161. ^ dz по прямой, соединяющей точки гх= 1
I
и z2 = i.
162. |
^ |
со1— |
по |
прям ой, соединяю щ ей точки |
Zj— — 1 |
||||
|
|
J |
У sin г |
|
|
|
|
|
|
и z3 = |
i; |
вы бираем |
ту |
ветвь |
ф ункции |
] / s in z , |
д л я |
которой |
|
] / s i n |
(— 1 ) = »•■)/ s i n l . |
|
|
|
|
|
|||
163. |
\ |
Re (s in z ) cos z d z , |
C: | I m z | = s S l , |
R e z = + |
|||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
164. |
$ z l m ( z 2) dz, |
C: | I m z | ^ l , |
R e z = |
l . |
|
||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
165.^ ze**dz.
~~ i
166. \ i g z d z , С : ду га п араболы y = x 2, соеди н яю щ ая c
точки z = 0, z = 1 + /.
§ 6 . Интегральная формула Коши
Если функция /(г) является аналитической в области D, огра ниченной кусочно-гладким замкнутым контуром С, и на самом кон туре, то справедлива интегральная формула Коши
f (г) dz |
(г0 f |
О), |
(1) |
г — г0 |
с
где контур С обходится так, что область D остается все время слева. Интегральная формула' Коши позволяет вычислять некотбрые
интегралы.
П р и м е р 1. Вычислить интеграл
ch iz
z2 + 4г -К 3 dz.
U=2
Ре ш е н и е . Внутри окружности | z ] = 2 знаменатель дроби обра
щается в нуль в точке |
г0 = — 1. Для применения |
формулы (1) |
пере |
||||
пишем интеграл в следующем |
виде: |
|
|
. ch iz |
|
||
|
ch iz |
|
ch iz |
|
|
|
|
|
C |
|
f* |
2+ 3 |
dz. |
||
|
22 + 4* + 3 tfZ- |
) |
(2+ 1 ) (2 + з Г |
2“ |
J |
г — (—1) |
|
|
|
\21=2 |
|
|г ;=2 |
|
|
|
Здесь ZQ= -—1 и функция / (г) = — ^ является аналитической в круге |
|||||||
I 2 I ^ 2. |
Поэтому |
|
2 + 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
~г* + Аг + 3 dz = |
2jI,7 ( - l) - 2 m - ch |
l) = я / ch <= ni cos 1. |
1*1=2
|
П р и м е р |
2.. Пользуясь |
интегральной |
формулой Коши, вычис |
|||||||||||||||||
лить |
интеграл |
|
|
бг |
dz, |
если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1) |
|
С: | z —2 != |
1; |
2 ) С : | г - 2 | = |
3; |
3) С: |
| z —2 ! = |
5. |
||||||||||||
|
Р е ш е н и е . |
1) |
В замкнутой |
области, |
ограниченной окружностью |
||||||||||||||||
I г — 2 != |
1, подынтегральная |
функция |
аналитическая, поэтому в силу |
||||||||||||||||||
теоремы Коши |
|
|
|
|
|
|
с2*' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(* |
|
dz = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
-Gz |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
12— 2! =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2) |
|
Внутри |
области, ограниченной |
окружностью !г — 2 ! = 3, нахо |
||||||||||||||||
дится |
одна |
точка |
2 = 0, в которой |
знаменатель |
обращается |
в |
нуль. |
||||||||||||||
Перепишем |
интеграл в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z — б |
dz. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
Функция |
/(г) = |
—— — |
является |
аналитической |
в |
данной |
области. |
||||||||||||||
Применяя |
интегральную формулу |
Коши (ги = 0) получим |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- dz = 2д/ |
|
|
|
— 2л/ ( — * |
|
т |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2—6 |
|
|
~ Т ' |
||||||||||||
|
|
12 —2. = 3 |
■6г |
|
|
|
2 —0 |
|
|
\ |
Ь |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3) |
|
В области, |
ограниченной |
окружностью |z — 2 j = 5, |
имеем две |
|||||||||||||||
точки |
г = 0, г = 6, в которых |
знаменатель |
Подынтегральной |
функции |
|||||||||||||||||
обращается |
в нуль. |
Непосредственно |
формулу |
(1) применять |
нельзя. |
||||||||||||||||
В этом случае для вычисления интеграла можно поступать так. |
|||||||||||||||||||||
|
П е р в ы й |
с п о с о б . |
|
Разложим |
дробь |
|
|
|
^ |
на |
простейшие. |
||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
1 |
|
_ |
1 |
1 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
г- — б? |
|
6 |
г —G |
|
б |
|
г |
|
|
|
|
|
|||
Подставляя |
в интеграл, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
- |
|
ег' |
|
|
1 |
|
|
|
c?dz |
|
1 |
|
|
Г |
ег%dz _ |
|
|||
|
J |
|
Z“ — 62 2 _ "6 |
|
J |
|
г - 6 |
|
6 |
|
|
.5 |
г |
|
|
|
|||||
12 —2| = 5 |
|
|
|
|
12 —2 1= 5 |
|
|
1 |
|
12 — 2 1= 5 |
|
£30-- 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 2ш‘г30 — - |
2ш = — ^— т. |
||||||||
в |
В т о р о й с п о с о б . |
Построим |
окружности |
ух и у2 с центрами |
|||||||||||||||||
точках |
2 = 0 |
и |
2 = 6 |
достаточно |
малых |
радиусов таких, |
чтобы |
||||||||||||||
окружности |
не,пересекались |
и целиком лежали |
в круге |
| z —2 | ^ 5 |
|||||||||||||||||
(рис. |
6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[z —2 | = 5, |
|||
Yi |
В трехсвязной области, ограниченной окружностями |
||||||||||||||||||||
и |
Y21 |
подынтегральная |
функция |
всюду |
аналитична. |
По теореме |
Коши для многосвязной области
С |
ez'dz _ |
С ez%dz |
£ ez'dz |
J |
22—6г * J 22- 62 + ) Z2- 6Z* |
||
12 — 2 1= 5 |
|
Vi |
V* |
К каждому интегралу в правой |
части можно применить интегральную |
формулу Коши (1). В результате получим
dz |
0 . с |
+ 2т |
ez |
взв— I |
-62 |
2т |
— |
■лг. |
|
2 - 6 Z-Q |
|
2 |
|
|г —2 ; = 5
С помощью интегральной формулы Коши вычислить следующие интегралы (все окружности обходятся против
часовой |
стрелки): |
|
|
|
ш |
|
|
">7- |
S |
i q r s * - |
, |6 8 - |
|
\ |
П |
л dz. |
|
|
|
|
|Z— i |
=1 |
|
|
169• |
$ |
|
,|7 °- |
|
$ |
* 5 г + з dz. |
|
|
I 2— 11=2 |
|
U =2 |
|
|||
171. |
f |
<fiLr * . |
172. |
C |
I“ » + ro|d2. |
||
|
|
,l/(*+2) |
|
„А з |
|
|
|
|
, Л . ” |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1*1=3 |
|
|
|
173. |
J |
* dz |
* 174. |
J |
f |
|
* |
|
I z| = 5 |
22+16 * |
|
|
(z- + |
9) (z-|-9)' |
|
|
|
|
|
1*1-4 |
|
|
175. |
|
sh |
^-(z + |
i) |
|
176. |
J |
|
|
|
d z. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|г |$= 1 |
|
г-— 2г |
|
|
121—2 |
|
|
|
|
||||
Если функция f (г) |
аналитична в области |
D и на ее границе С, |
|||||||||||
то для любого |
натурального |
п имеет место формула |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
С |
Пг)<ь |
|
|
|
(2) |
||
|
|
|
' " ' « - |
я г |
£ (г -г ь )п+1’ |
|
|||||||
где г , е О , |
г е С . Формулой (2) можно пользоваться для вычисления |
||||||||||||
некоторых |
интегралов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
П р и м е р |
3. |
Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
sin лг |
dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2'1— l)2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1*-|| |
|
|
|
|
sm лг |
|
|
||
Р е ш е н и е . |
Подынтегральная функция |
|
|
|
|||||||||
—— |
является |
ана- |
|||||||||||
литической в области 12 — 1 |
|
|
|
|
(г- — \)г |
||||||||
I всюду, кроме точки Z o=l. Выделим |
|||||||||||||
под знаком интеграла |
функцию |
/(г), |
являющуюся |
аналитической |
|||||||||
в круге | z — 1 [ ^ |
1. Для этого перепишем подынтегральную функцию |
||||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
sin л2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
SU1 Я2 |
( |
* |
+ 1 |
|
) |
а |
|
|
|
|
|
|
|
(г2 — 1)’- |
(г-1)2 |
|
|
|
|
|
|||
и в качестве f (г) |
|
sin лг |
Полагая |
|
в |
формуле (2) |
п = 1 , |
||||||
возьмем |
|
|
|||||||||||
получим |
|
|
|
|
sin лг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
- | ± { |
| + |
г = |
2я»/'(1). |
|
|
||||
|
|
|
! 2 —1. =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
/' (г)= |
( 5|ПЯг |
л cos лг • (z + |
1^— 2 sin лг |
|
||||||||
|
|
|
|
(2+1)3 |
|
|
|
||||||
Отсюда |
|
|
\( г + 1 ) г)': |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2л cos л |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/'(!) = |
|
4 * |
|
|
|
|||||
Следовательно, |
|
23 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
sin лг |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
! г—1, =1 |
{z2 - \ y 2 dZ- |
|
2 |
^ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
П р и м е р |
4. |
Вычислить |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
С |
|
ch 2 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z+ |
I)3 (г — 1) * |
|
|
|
|
1*1—2
|
Р е ш е н и е . |
П е р в ы й |
с п о с о б . |
Знаменатель (г + |
I)3(z— 1) |
||||||||||
подынтегральной функции обращается в нуль в'двух |
точках г , = — 1, |
||||||||||||||
z2 = |
1, лежащих |
внутри круга |
|
| z | ^ 2 . |
Разложим |
на простейшие |
|||||||||
дроби функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
( z + i p ( z - l ) ~ 8 г — 1 |
8 z + 1 |
|
4. (z + 1)- |
|
'2 ( z + l ) 3# |
||||||||||
Используя |
линейность |
интеграла, получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||
f |
|
chz |
_ |
1 |
|
|
ch z dz |
1 |
j |
|
ch г |
|
|
||
) |
(z + l)3 (z -l) Z~~ 8 |
|
|
z — 1 |
8 |
|
T+T dz — |
|
|||||||
| 2| — 2 |
|
|
|
1-2 1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
(* |
ch z |
|
|
1 |
|
Г |
ch z |
dz. |
|
|
|
|
|
|
4 J |
V + W |
|
2 |
|
J 1 F + W |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
| 2 j = 2 |
|
|
|
|
I 21=2 |
|
|
|||
К |
первым |
двум |
интегралам |
|
применяем |
интегральную |
формулу |
||||||||
Коши (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
Z- dz = |
2л/ ch 1, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ui = 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Г |
— г т |
= |
2ni ch 1. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
J |
2+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|2 | = 2
Третий и четвертый интегралы вычисляем с помощью формулы (2):
|
|
|
ch z — dz — 2л/ (ch z)' |
=— 2л/ sh 1. |
|
|
|
|||||||
|
|
(2+1) |
|
|
k— i |
|
|
|
|
|
|
|||
|
) z i = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
chz |
, |
2ni |
. , |
• |
= |
л/ ch 1. |
|
|
|
|
|
|
|
7 ? + - |У а г = " 2 Г (сЬг) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1*1 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ch z dz |
|
2 л /ch 1 |
2 л /ch |
I |
1 |
. |
|
1 . . . |
|||||
|
(Z + 1 ) 3 (Z_ | ) |
|
|
----- 5------- 1- |
. 2л< sh 1— |
» |
m ch 1= |
|||||||
1*1=2 |
|
|
|
o |
|
4 |
|
|
Z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
sh 1 — ch 1 |
. |
|
ni |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
2 |
Ш“ |
|
2e |
|
В т о р о й |
с п о с о б . Построим, |
окружности |
Vi и |
V2 с центрами |
||||||||||
в точках гх = — 1 |
и z2= l |
достаточно малых |
радиусов |
таких, |
чтобы |
|||||||||
окружности не пересекались и целиком лежали |
в круге |
| z }^ |
2. В |
|||||||||||
трехсвязной |
области, |
ограниченной |
окружностями |z | = 2, |
Vi и Y2» |
||||||||||
подынтегральная |
функция |
всюду аналитична. По теореме Коши для |
||||||||||||
многосвязной |
области |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f |
ch z dz |
С |
ch z dz |
|
? |
|
ch z dz |
|
|
|
||||
' |
(г+ 1 ):,( г - 0 |
J |
( z + \ y '( z - l ) |
+ 3 ( 2 + |
l):t (*“ |
0 ‘ |
|
1*1 = 2 |
y t |
V. |
К первому интегралу правой части (3) применим формулу (2), предварительно представив подынтегральную функцию в вид^
|
|
|
ch 2 |
|
|
ch z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z + l ) 3( z - l ) |
(z + Ож |
|
||
^ |
|
ch z |
ивляется аналитической |
внутри |
уь поэтому в силу |
||
Функция |
-— - |
||||||
формулы |
(2) |
• |
|
|
|
|
|
? |
ch zdz |
"ch 2 |
|
|
|
2r-i + ch-1 m. |
|
Г 2 — 1 ^ _ |
2n r / c h 2 \" |
||||||
J ( z + i N z - i r ^ T T i) 1 ' |
2! \z — |
2 = - |
1 |
||||
V, |
|
|
Vi |
|
|
|
|
Ко второму интегралу в правой части (3) применяем интегральную формулу Коши (1)
ch 2
С |
C h . 2 d 2 |
Г ( 2 + 1 ) 3 , |
_ . ch 2 |
. ch 1 |
|
|
|
|
( 2 + 1 ) 3 2 = 1 |
■== m |
—л—• |
V» |
|
V2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
Окончательно получаем
£ |
ch zdz |
. 2e~l + ch 1 |
. ch |
m |
1*1 = 2 |
( 2 + 1 ) 3 ( г - 1 ) |
|
|
2e ' |
|
|
|
|
Вычислить |
следующие |
интегралы: |
|
|
|
||||
|
|
cos z |
|
|
|
f |
sll2 2 |
, |
|
177. |
|2 | = 1 |
|
d?. |
|
|
178. S |
- w |
d z - |
|
|
|
|
|
|
|
1*1 = |
1 |
|
|
|
|
|
. |
л; |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
.-2 |
|
|
|
|
|
179. |
|
|
|
4 |
dz. |
180 |
|
dz. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(2 — 1)“ ( 2 - 3 ) |
• |
|
l)2 |
|
|||
181. |
I 2 —L| = I |
|
|
|
|
|
ts, dz. |
||
|
( 2 - 2 ) 3 |
( г + 4 ) * |
|
|
|||||
|
|
|
z dz |
|
|
|
|
|
|
|
|2 - 3 1 = 6 |
|
|
|
| 2 - 2 = 3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
183. |
|
1 |
|
Я |
, |
*184. |
^ |
dz. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1*1= 1/2 |
|
|
|
I* - 1 = 1 |
(z2 + 4)2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
185. |
|
1— sin 2 dz. |
|
186. |
|
(z2— l)2 |
dz. |
||
|
1* 1= 1/2 |
|
|
|
|* - 1 1=1/2 |
|