- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
3 6 3 . |
$ |
|
dz. |
3 6 4 . |
$ |
|
dz |
|
|
|
1-|-z12' |
|
|||||||
\г |
=1 |
|
|
|
|2 ~2 |
|
|||
10002+ 2 |
|
|
|
|
|
||||
3 6 5 . |
$ |
dz. |
366 ■ |
|
$ |
- * г * - |
|||
1+ Z1--* |
|
||||||||
if 1-2 |
|
1 d -г. |
| 2 |
= 3 |
2» |
|
|||
367. |
[ |
|
368. |
|
|
dz. |
|||
if , -i |
|
|
|
|
|
L |
2J0 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
II. Пр и л о ж е н и е |
в ы ч е т о в |
|
к в ы ч и с л е н и ю |
||||||
о п р е д е л е н н ы х и н т е г р а л о в |
|
|
|||||||
1. И н т е г р а л ы |
от |
р а ц и о н а л ь н ы х ф у н к ц и й . Пусть |
|||||||
/(*) —рациональная |
|
|
Р |
|
(х) |
где |
и 0 л(*)“ “ |
||
функция, / (*) = тП |
|
/ л т’ |
|||||||
|
|
|
|
|
хл (А/- |
|
|
многочлены соответственно степеней т и п. Если / (л*) непрерывна на
всей действительной оси (Qn (а) |
Ф 0) и п ^ т - \- 2, |
т. |
е. степень зна |
|||||||||||
менателя, |
по крайней |
мере, |
па |
две |
единицы |
больше |
степени |
числи |
||||||
теля, |
то |
|
|
|
|
-1-,оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
^ |
f (х) dx = 2niat |
|
|
|
(4) |
|||
|
|
|
|
|
|
— 00 |
|
|
|
Р |
(2) |
|
|
|
где о |
означает |
сумму |
вычетов |
функции |
|
во всех |
црлга- |
|||||||
[ (г) — |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чп \z) |
|
|
|
сах, расположенных в верхней полуплоскости. |
|
|
|
|||||||||||
П р и м е р |
8. |
Вычислить |
интеграл |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(« > 0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х'£ |
|
Р е ш е н и е . Так как подынтегральная функция / (х) = |
fla)a |
|||||||||||||
четная, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*s+ |
||
|
|
|
|
|
-Too |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
л:Мл: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
£ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
J (**+ |
|
|
|
|
|
|
Введем функцию |
= |
|
|
, которая на действительной оси, т. е. |
||||||||||
при |
2 = д*, |
совпадает |
с / (дг). |
Функция |
/(г) |
имеет в |
верхней |
полу |
||||||
плоскости |
полюс |
второго порядка |
в точке z = ai. Вычет / (г) относи |
|||||||||||
тельно этого |
полюса равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
res/ (<w) = |
lim |
* [[(г)(г-т)Ц .= |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
г -*• я» az |
|
|
|
|
|
|
|
|
2aiz |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
dz |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(г + ai)' |
|
ui(2 + m')s |
4ai ‘ |
Пользуясь формулой |
(4), |
получим |
|
|
|
|
-1-со |
*2dx _ |
|
|
|
|
|
/ = * |
f |
1 |
. |
I _ |
гх |
|
2 |
J |
(л'--|-л-)2 ~ |
2 |
Ш |
4о1 “ |
4а * |
— со
Вычислить следующие интегралы с бесконечными пре делами:
|
|
о |
|
|
|
|
|
-I-:-о |
|
|
|
|
|
369: |
|
|
|
|
37°- _[тта+я |
||||||
|
{ 4 ± -Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
.) |
A-'4 "hi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—fwiF- |
|
|
|
|
|
|
(й ^ > 0 , Ь > 0). |
|||
|
371 |
|
Эт2-Т(й$рт- |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
— JO |
|
|
|
|
|
|
4 |
со |
|
|
|
|
-]- со |
|
|
|
|
|
373. |
^ |
<--\ X/ Xl |
Iо\-> * 374- |
.) |
.......... ИГ |
- |
уу • |
||||
|
|
.1 |
(а- н-4а--1-13)- |
|
|
(Л- -г а-)7 (.V- |
Ь -у |
|||||
|
|
— 00 |
|
|
|
|
— СО |
“ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1- со |
у2тп |
|
|
|
|
375. |
|
|
|
|
|
|
(• |
|
|
|
|
|
О |
|
|
37«- |
$ |
T T |
^ d x - |
|
||||
|
|
|
|
|
|
—со |
|
|
|
|
||
|
|
+ 00 |
|
|
|
|
+f ( 3 + 5 W |
|
||||
|
377' |
!i |
Т + 7 - |
|
|
378- |
|
|||||
|
|
— со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
379•5< d £ v |
<” > 0 ' 6 > 0 >- |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ой |
dx |
1 |
-3... (2 л -1 ) |
||
|
380. |
Доказать формулу |
у |
|||||||||
|
(1 + * 2)" 1 |
~ |
2- 4- 6... 2/t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я. |
|
2. И н т е г р а л ы в и д а |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
00 |
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ R (A) cos Хх dx, J |
R (л*) sin l.x dx, |
|
|
|||||
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
где |
(JC) — правильная рациональная дробь, 7 t > 0 —любое веществен |
|||||||||||
ное .число. |
|
|
|
интегралов удобно |
пользоваться следую |
|||||||
|
При |
вычислении таких |
||||||||||
щей л е м м о й |
Ж о р д а н а: |
аналитическая в верхней |
полуплоскости |
|||||||||
(О < |
Пусть |
g (z) —функция, |
||||||||||
arg 2 < |
л), за исключением конечного числа особых точек, и стре |
|||||||||||
мится в этой |
полуплоскости к нулю |
при | г j |
ос, |
Тогда при %> О |
||||||||
|
|
|
|
|
Иin |
\ |
g (z)ei? z dz = 0, |
|
|
|
где контур С — полуокружность в верхней полуплоскости с центь0ц
вточке 0 и радиусом R (рис. 7).
Пр и м е р 9. Вычислить интеграл
— |
. |
OQ |
х sin ах , |
|
|
, |
_ |
л |
« |
|
л\ |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
/ = I & + № dx |
|
|
(а > 0, k > 0). |
|
|
|
|
||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Введем вспомогательную функцию |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
f/ |
\ |
Zeiaz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нетрудно видеть, что если г=лг, |
то |
1т/(дг) |
|
совпадает с подынте |
||||||||||||
гральной функцией ф |
Р а с |
с м |
о |
т |
р |
и |
м |
|
контур, |
указанной |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
на |
рис. |
|
7. |
При |
достаточно |
||||
|
|
|
|
|
|
|
большом J? на контуре |
фунК- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ция g |
( z ) = |
- ^ удовлетворяет |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
неравенству |g(z)| < |
р |
и, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
g(z) |
стремится |
к |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
нулю |
при |
R -+ CQ. |
Значит, |
по |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
лемме Жордана |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
giaz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um |
$- |
|
|
|
Ф) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
-Г .- ,-d z ~ 0. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ft-со |
J |
z2 + |
ft- |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с « |
|
|
|
|
|
|
Для любого Я > |
Л по теореме о вычетах |
имеем |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
R |
*«'ах |
J . |
с |
ге,ог . |
|
„ . |
|
|
|
|
||||
|
|
С |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
\ з в д г * с + ^ я + т р Л - 2 " " - |
|
|
|
|||||||||||
где |
|
- « |
|
|
CR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с-,а [йЧ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В пределе при |
# -> о о , учитывая |
|
соотношение |
(5), |
получим |
|
|
|||||||||
|
|
|
+b оо00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—500ix ewia x |
dx=nie~aK |
|
|
|
|
|
|||||||
Отделяя слева |
и справа вещественные и мнимые части, |
поручим |
|
+«>
{f * L ™ dx= m r*b.
Всилу того, что подынтегральная функция четная, окончательно получим