- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
Полагая |
г = я -f Пп (2 + V 5), |
найдем |
|
|
|
| sin [л + |
/ In (2 -f ГВ)] | = ;sh [in (2 + Г б)] = |
|
|
|
|
|
e1 n ( 2 + / 5 ) _ e- l n ( 2 + / 5 ) |
2 + > |
|
|
|
|
= |
- |
= |
2 |
= 2 ‘ |
Этот |
пример показывает, |
что тригонометрическая |
функция |
sin г |
в комплексной области может принимать значения, по модулю боль шие единицы.
В следующих задачах найти значение модуля и глав ное значение аргумента данных функций в указанных точках:
62. u> = cos2 , а) 2| = ? -+ * In 2; б) г2 = я4-П п2.
63. ш = sh г, г0 = 1 + i у .'
64.w — zeг, 20 = ш\
65.a> = ch®2 , г0 = ПпЗ.
66.Найти логарифмы следующих чисел:
а) |
е\ б) |
|
в) |
/; г) |
—1 — |
д) 3 —2i; |
е) |
/*'. |
||||
67. |
|
Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Р; б) t7; |
в) 1'; |
г) (—I)1'2; |
д) |
|
|
|
е) |
( х + т ) 5 |
||||
ж) (1 - |
1)3'3'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
68. |
|
Найти |
модуль р и аргумент <р комплексных чисел: |
|||||||||
a) |
th ni; |
б) |
10'; в) 32Ч |
|
|
|
|
|
|
|
||
П р и м е р |
5. |
Записать в алгебраической |
форме |
Arcsin Я |
||||||||
Решение . |
Полагая в формуле (7) |
|
я |
получим |
||||||||
г = — i, |
||||||||||||
|
|
|
Arcsinлгсаш я“- i. = - i L n ( - | - ± |
Y |
1 + |
? |
|
|
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Arcsin j i |
= - |
1 Ln - |
+ У |
1+ ^ ) J = |
|
|
|
|
--‘ ln(f+ Y '+^)+л' + 2*л/]=3
= ( 2 Л . 1) гс —* In |
"Ь |
l + ’g j |
(£ = 0, ±1» |
...) |
и
Arcsln-^-1 =
= - , - L n ( | / ' 1 + ^ _ ^ = - ф п ( ] / 1 + | - - ; ) + 2 ы ]= =
= |
2к я - l 1л (' У | + | |
- -g-j |
(* = 0 , ± 1, ±2, ...). |
|
П р и м е р |
6. |
Записать в алгебраической |
форме A rctg(1 + !')■ |
|
Р е ш е н и е . |
Полагая в формуле |
(9) г = 1 + t, получим |
Arctg ( 1 + 0 =
1+/(1+0
1 - < • ( ! + < • )
Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ln |
|
|
|
|
- |
1п / В |
+ |
(2А: + !) л» - |
1 arctg 2. |
|
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Arctg (1 + 0 = - |
- |
arctg 2 + |
(2А+ 1) ~ |
+ |
| In V s |
|||||
|
|
|
|
|
(А = |
0. ± \ , |
± 2 , ...). |
|
|
||
Записать в алгебраической форме следующие комплекс |
|||||||||||
ные числа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
69. |
а) |
е* |
; |
б) |
In (1 |
- i ) . |
|
|
|
|
|
70. |
a) |
sin ni; |
б) cos яг, в) |
tg -*• i. |
|
|
|||||
71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—. |
|
|
|||||||||
72. |
a) |
Arccos j; 6) |
s h y ; в) |
th ni. |
|
|
|||||
П р и м е р |
7. |
Решить |
уравнение |
sinz = 3. |
величины |
||||||
Р е ш е н и е . |
Задача сводится к нахождению |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z = Arc sin 3. |
|
|
||
Воспользуемся |
формулой |
(7): |
|
|
|
|
|
||||
Будем иметь |
|
Arcsin / = |
— i Ln (it + V~l — /*-)• |
|
|||||||
|
г = Arc sin 3 = — i Ln (3/ + V—$>) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
или, учитывая |
то, что |
|
|
|
|
|
|
K=r8 = ± j l i*l