- •Введение
- •Системы счисления и формы представления чисел
- •Позиционные системы счисления
- •Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ
- •Лабораторная работа 1
- •Перевод чисел из одной системы счисления в другую
- •Задания к лабораторной работе 1
- •Лабораторная работа 2
- •Арифметические действия в системах счисления
- •Двоичная арифметика
- •Восьмеричная арифметика
- •Шестнадцатеричная арифметика
- •Задания к лабораторной работе 2
- •Вопросы самоконтроля
- •Библиографический список
15
4. Даны 2 числа в шестнадцатеричной системе счисления. Перевести числа в следующие системы счисления:
–десятичную систему, используя правило 3;
–двоичную, используя правило 2.1.
Вариант |
|
Числа |
Вариант |
|
Числа |
||
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
1 |
294,3А |
|
DDF,А1 |
16 |
103,8С |
|
А5D,68 |
2 |
2В3,F4 |
|
FС1,2А |
17 |
32Е,22 |
|
В6F,А6 |
3 |
2D9,8А |
|
D79,45 |
18 |
6ВЕ,А2 |
|
АDF,34 |
4 |
2F4,0С |
|
FF5,А2 |
19 |
366,4Е |
|
F67,СА |
5 |
3D2,04 |
|
D9D,А3 |
20 |
14С,АВ |
|
DВС,АА |
6 |
DD,3В |
|
627,F8 |
21 |
215,72 |
|
FDА,56 |
7 |
3С9,8В |
|
329,1D |
22 |
16Е,В4 |
|
DАА,02 |
8 |
388,64 |
|
3FF,7А |
23 |
3FA,Е8 |
|
F00,ВС |
9 |
940,4А |
|
АD3,В2 |
24 |
396,АЕ |
|
FD1,0А |
10 |
530,9С |
|
209,FF |
25 |
3ЕА,22 |
|
D99,0В |
11 |
С2А,3В |
|
10D,А5 |
26 |
213,АА |
|
F01,СС |
12 |
18В,0С |
|
D0D,78 |
27 |
АВА,12 |
|
DF3,АС |
13 |
1ЕЕ,СА |
|
9DА,В2 |
28 |
ВВ1,31 |
|
FВВ,08 |
14 |
1СА,3В |
|
FСА,19 |
29 |
ЕА7,22 |
|
АВВ,С8 |
15 |
246,18 |
|
4FА,84 |
30 |
ААЕ,79 |
|
С0С,22 |
Лабораторная работа 2
Арифметические действия в системах счисления
Во всех перечисленных системах счисления можно выполнять простые арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Рассмотрим некоторые из них более подробно.
Двоичная арифметика
Преимущество двоичной системы счисления над десятичной с точки зрения ЦВМ состоит в следующем:
–требуются элементы с двумя устойчивыми состояниями;
–существенно упрощаются арифметические операции;
–оборудования требуется в 1,5 раза меньше;
–позволяет применить аппарат математической логики для анализа и синтеза схем. Недостатки двоичной системы счисления состоят в следующем:
–большая длина записи чисел;
–при вводе и выводе информации требуется перевод в десятичную систему счисления.
Рассмотрим, как выполняются основные действия в двоичной арифметике.
|
|
16 |
|
Сложение |
Вычитание |
Умножение |
Деление |
0 + 0 = 0 |
0 – 0 = 0 |
0 × 0 = 0 |
0 : 1 = 0 |
0 + 1 = 1 |
1 – 0 = 1 |
0 × 1 = 0 |
1 : 1 = 1 |
1 + 0 = 1 |
1 – 1 = 0 |
1 × 0 = 0 |
|
1 + 1 = 10 |
10 – 1 = 1 |
1 × 1 = 1 |
|
Правила арифметики во всех позиционных системах счисления одинаковы, то есть сложение, умножение и вычитание начинают с младших разрядов, деление – со старших. При сложении единица переноса складывается с цифрами соседнего старшего разряда. При вычитании единица заёма старшего разряда даёт две единицы в младшем соседнем разряде.
Пример:
Сложить два двоичных числа: 110010010,012 и 11110000,12. Решение:
Два числа нужно записать одно под другим так, чтобы совпадали разряды чисел, то есть цифра в нулевом разряде первого числа складывается с цифрой в нулевом разряде второго числа и т.д. Для этого в конце второго числа дописываем ноль и начинаем сложение с самого младшего разряда, то есть справа налево:
–разряд (-1): 1 + 0 = 1;
–разряд (-2): 0 + 1 = 1;
–разряд (0): 0 + 0 = 0;
–разряд (1): 1 + 1 = 10, следовательно, 0 пишем, а 1 запоминаем, то есть единица переходит в следующий разряд;
–разряд (2): 0 + 1 = 1 и ещё + 1 из предыдущего разряда = 10, также 0 пишем,
1запоминаем;
–разряд (3): 1 + 1 = 10 и ещё + 1 из предыдущего разряда = 11, то есть 1 пишем и 1 запоминаем;
–разряд (4): 1 + 0 = 1 и ещё + 1 из предыдущего разряда = 10, то есть 0 пишем, 1 запоминаем;
–разряд (5): нет цифр, следовательно, записываем 1 из предыдущего разряда. Таким образом, получаем следующее выражение:
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0, |
0 |
1 |
+ |
|
1 |
1 |
1 |
0, |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0, |
1 |
1 |
Пример:
Даны два двоичных числа: 11000002 и 1001102. Вычесть из первого двоичного числа второе.
Решение:
Записываем одно число под другим, учитывая разряды, и начинаем вычита-
17
ние с младшего разряда, то есть справа налево:
–разряд (0): 0 – 0 = 0;
–разряд (1): от 0 мы не можем отнять 1, поэтому занимаем у ближайшей единицы. Она находится в 4-м разряде. Следовательно, в 4-м разряде остаётся 0, в 1-м разряде будет 10, в разрядах 2 и 3 – единицы. Продолжаем вычисления: 10 – 1 = 1;
–разряд (2): в нём вместо 0 теперь стоит 1, следовательно: 1 – 1 = 0;
–разряд (3): в нём вместо 0 тоже стоит 1, следовательно, 1 – 0 = 1;
–разряд (4): в нём вместо 1 теперь остался 0, следовательно, чтобы от 0 отнять 1, нужно опять занять единицу у ближайшего разряда, её имеющего. В данном случае это следующий разряд (5-й). Занимаем, в 5-м разряде остаётся 0, а в 4-м будет 10. Продолжаем вычисления: 10 – 1 = 1;
–разряд (5): в нём остался 0.
Таким образом, получаем следующее выражение: |
|
|
|
|||
0 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
10 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
– |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Умножение двоичных чисел аналогично умножению десятичных, но так как умножаем только на 0 и 1, то умножение сводится к операции сдвига и сложения. Положение точки, отделяющей целую часть от дробной части, определяется так же, как и при умножении десятичных чисел.
Пример:
Умножить двоичные числа 1100,12 × 10,12. Решение:
Записываем числа одно под другим, равняя по правому краю, как в десятичной арифметике. Производим умножение и сложение, отделяем запятой два знака справа.
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0, |
1 |
|
|
|
|
× |
|
|
1 |
0, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
+ |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
– |
сдвину- |
|
|
|
|
|
|
|
|
тое на 2 раз- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда |
влево |
|
|
|
|
|
|
|
|
множимое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1, |
1 |
1 |
|
|
18
Восьмеричная арифметика
Все действия в восьмеричной системе счисления производятся аналогично действиям в десятичной системе, только в следующий разряд при сложении переносится на 10, а 8 и из старшего разряда при вычитании занимается тоже не 10, а 8.
Пример:
Сложить два восьмеричных числа: 127,58 и 75,48. Решение:
Записываем числа одно под другим, учитывая разряды, и начинаем сложение
смладшего разряда:
–разряд (-1): 5 + 4 = 9, но так как система восьмеричная, то 9 – 8 = 1, то есть 1 пишем, а 8 переходит в следующий разряд как 1, то есть 1 запоминаем;
–разряд (0): 7 + 5 = 12 и еще + 1 = 13, 13 – 8 = 5, то есть 5 пишем, а 8 переходит в следующий разряд как 1, то есть 1 запоминаем;
–разряд (1): 2 + 7 = 9 и еще + 1 = 10, 10 – 8 = 2, то есть 2 пишем, 1 запоминаем;
–разряд (2): в нем стоит 1 и + 1 = 2.
Получилось выражение: |
|
|
|
1 |
2 |
7, |
58 |
+ |
7 |
5, |
48 |
|
|
|
|
2 |
2 |
5, |
18 |
Пример:
Даны два восьмеричных числа: 531,48 и 73,28. Требуется из первого числа вычесть второе.
Решение:
Записываем числа одно под другим, учитывая разряды, и начинаем вычитание с младшего разряда:
–разряд (-1): 4 – 2 = 2;
–разряд (0): из 1 не можем отнять 3, поэтому занимаем восьмёрку у следующего разряда. При этом в 0-м разряде станет 1 + 8 = 9, а в 1-м разряде останется 3 – 1 = 2. Производим действия в 0-м разряде: 9 – 3 = 6;
–разряд (1): в нём осталось 2, отнять 7 невозможно, поэтому занимаем восьмёрку у следующего разряда. При этом в 1-м разряде станет 2 + 8 = 10, а во 2-м разряде останется 5 – 1 = 4. В 1-м разряде: 10 – 7 = 3;
–разряд (2): в нём осталось 4.
Получилось выражение: |
|
|
|
5 |
3 |
1, |
48 |
– |
7 |
3, |
28 |
|
|
|
|
4 |
3 |
6, |
28 |