- •Введение
- •Системы счисления и формы представления чисел
- •Позиционные системы счисления
- •Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ
- •Лабораторная работа 1
- •Перевод чисел из одной системы счисления в другую
- •Задания к лабораторной работе 1
- •Лабораторная работа 2
- •Арифметические действия в системах счисления
- •Двоичная арифметика
- •Восьмеричная арифметика
- •Шестнадцатеричная арифметика
- •Задания к лабораторной работе 2
- •Вопросы самоконтроля
- •Библиографический список
4
Системы счисления и формы представления чисел
Информация в ЭВМ кодируется, как правило, в двоичной или в двоичнодесятичной системе счисления.
Система счисления – это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. Символы, используемые для записи чисел, называются цифрами. Множество цифр образует алфавит системы счисления. Часто в алфавит входит и знак “,” (запятая).
Взависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на
позиционные и непозиционные.
Внепозиционной системе значение цифры не зависит от её положения в записи числа. К таким системам счисления относится, например, римская система счисления, в которой в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равны просто десяти.
Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различные значения, определяемые позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Количество (Р) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до Р-1. Примером позиционной системы счисления может служить привычная нам арабская десятичная система.
Позиционные системы счисления
Любое число C в позиционной системе счисления с основанием Р может быть представлено в виде полинома:
C = Cn Pn +Cn-1 Pn-1 +…+C1 P1 +C0 P0 +C-1 P-1 +…+C-m P-m,
где в качестве Ci могут стоять любые из Р цифр алфавита, а нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):
•положительные значения индексов – для целой части числа (n разрядов);
•отрицательные значения – для дробной (m разрядов).
В вычислительных системах применяются две формы представления чисел:
•естественная форма, или форма с фиксированной запятой (точкой);
•нормальная форма, или форма с плавающей запятой (точкой).
1. С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.
5
C = Cn Cn-1 …C1 C0, C-1 C-2 … C-m.
Запятая опускается, если дробная часть отсутствует. Позиции цифр в такой записи называются разрядами. Разряды нумеруются влево от запятой, начиная с нуля: 0-й,1-й,...(n-1)-й, n-й; и вправо от запятой: 1-й, 2-й,...(m-й).
Значение Ci цифры ci в позиционных системах счисления определяется номером разряда:
Ci = сi Pi.
Величина Pi называется весом, или значением, i-го разряда. В позиционной системе счисления вес каждого разряда отличается от веса (вклада) соседнего разряда в число раз, равное основанию системы. В десятичной системе счисления цифры 1-го разряда – единицы, 2-го – десятки, 3-го – сотни и т.д.
Примеры:
1. Десятичная система счисления. Р = 10.
Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
723,1910 = 7 × 102 + 2 × 101 + 3 × 100 + 1 × 10-1 + 9 × 10-2 . 2. Двоичная система счисления. Р = 2.
Цифры: 0, 1.
10110,112 = 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 +0 × 20 + 1 × 2-1 + 1 × 2-2. 3. Восьмеричная система счисления. Р = 8.
Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
123,158 = 1 × 82 + 2 × 81 + 3 × 80 + 1 × 8-1 + 5 × 8-2 . 4. Шестнадцатеричная система счисления. Р = 16.
Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F. 1СF,5Е2 = 1 × 162 + С × 161 + F × 20 + 5 × 16-1 + Е × 16-2.
Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема в вычислениях.
2. С плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, а вторая порядком, причём абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок – целым числом. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:
N = ± M P ± r,
где M – мантисса числа (|М| <1);
r – порядок числа (r – целое число); P – основание системы счисления.
Пример. Приведём несколько равенств: левая часть равенства – число в естественной форме, правая часть – в нормальной форме. Для записи естественной
6
формы используются 5 разрядов в целой части и 5 разрядов в дробной части.
721,355 = 0,721355 × 103;
0,00328 = 0,328 × 10-2;
–10301,2026 = –0,103012026 × 105.
Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ.
Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ
В вычислительной технике применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и др. Для обозначения используемой системы счисления числа заключают в скобки и индексом указывают основание системы:
(15)10 , (1011)2 , (735)8 ,(1EA9F)16.
Иногда скобки опускают и оставляют только индекс:
1510 ,10112 ,7358 , 1EA9F16.
Ещё один способ обозначения систем счисления – при помощи латинских букв, добавляемых после числа.
В – двоичная (binary);
D – десятичная (decimal); Q – восьмеричная (octal);
Н – шестнадцатеричная (hex).
Пример:
15D; 1011 В; 735Q; 1EA9FH.
Двоичная система счисления.
Основание Р = 2. Алфавит включает две двоичные цифры: 0, 1. C = Cn Cn-1 …C1 C0 C-1 C-m есть сумма степеней числа Р = 2,
C= Cn × 2n +Cn-1 × 2n-1 +…+ C1 × 21 + C0 × 20 +C-1 × 2-1 +…+ C-m × 2
Пример:
Любое число
-m .
101011,112 = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 +1 × 21 + 1 × 20 +1 × 2-1 + 1 × 2-2 = 32 + 8 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 = 43,7510.
Веса разрядов в двоичной системе счисления равны 1, 4, 8, 16,... влево от за-
пятой и 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... вправо от запятой.
Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов – команд, данных, адресов и операндов.
7
Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются латинские буквы A, B, C, D, E, F. Изображения первых шестнадцати чисел в десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах счисления приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Представление чисел в различных системах счисления
Десятичная |
Двоичная |
Восьмеричная |
Шестнадцатеричная |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
10 |
2 |
2 |
|
|
|
|
3 |
11 |
3 |
3 |
|
|
|
|
4 |
100 |
4 |
4 |
|
|
|
|
5 |
101 |
5 |
5 |
|
|
|
|
6 |
110 |
6 |
6 |
|
|
|
|
7 |
111 |
7 |
7 |
|
|
|
|
8 |
1000 |
10 |
8 |
|
|
|
|
9 |
1001 |
11 |
9 |
|
|
|
|
10 |
1010 |
12 |
А |
|
|
|
|
11 |
1011 |
13 |
В |
|
|
|
|
12 |
1100 |
14 |
С |
|
|
|
|
13 |
1101 |
15 |
D |
|
|
|
|
14 |
1110 |
16 |
Е |
|
|
|
|
15 |
1111 |
17 |
F |
|
|
|
|
16 |
10000 |
20 |
10 |
|
|
|
|
17 |
10001 |
21 |
11 |
|
|
|
|
Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду лёгкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами.
Пример:
1.Перевести число 970310 в двоично-десятичную систему счисления.
970310 = 1001 0111 0000 00112-10.
2.Перевести число 101000001112-10 в десятичную систему счисления. Разбиваем число на группы по четыре цифры и переводим по таблицы из
двоичной в десятичную:
101000001112-10 = 101 0000 01112-10 = 50710.