3)модифицированных переменных Yt(0)=Yt e-y(1,t), Kt(0)=Kt e-k(1,t), Lt(0)=Lt e- l(1,t);

4)логарифмов модифицированных переменных ln Yt(0), ln Kt(0 , ln Lt(0);

5)оценок параметров A0, ,производственной функции методом наименьших квадратов из уравнения (4.11);

6) величины t* по формуле 4. 2 ;

7) расчётного значения Yt* по формуле (4.13).

Моделирование зависимости производительности труда от капиталовооружённости возможно также с помощью производственной функции (4.2), удовле-

Справедливость предложенного способа подтверждается экспериментально. Так,

неучтённых факторов на рост продукции, больше соответствует действительности, чем гипотеза среднегодового темпа прироста продукции за счёт технического прогресса, т.к. для различных экономических объектов последняя гипотеза не всегда выполняется. Данный метод выделения влияния неучтённых факторов на динамику продукции имеет то преимущество, что величина t, отражающая влияние технического прогресса, погодных условий и других неучтённых факторов, связана с параметрами A0, α0 и β0, т.к. она определяется на втором этапе после оценки указанных параметров. В методе же выделения влияния технического прогресса в рамках динамической функции Тинбергена (Tinbergen)

параметр λ не зависит от этих параметров.

100

4.3Метод оценивания степенной производственной функции

спеременными параметрами

Процесс оценивания параметров Am, αm и βm степенной производственной функции (4.1)

соответствующих произвольному году t = m, состоит так же, как и в случае оценивания параметров А0, α0 и β0 , из нескольких этапов. На первом этапе осуществляется переход от производственной функции с переменными параметрами Аt, αt и βt к производственной функции с постоянными параметрами Am, αm и βm и переменным влиянием технического прогресса, погодных условий и других неучтённых факторов. На следующих этапах исключается влияние неучтённых факторов на темпы экономического роста и оцениваются постоянные параметры Am, αm и βm преобразованной производственной функции с постоянными параметрами и переменным годовым темпом прироста продукции за счёт технического прогресса и других неучтённых факторов.

Рассмотрим подробнее процесс оценивания параметров Am, αm и βm степенной производственной функции (4.1), соответствующих произвольному году t = m,.

Для этого на первом этапе необходимо перейти от производственной функции с переменными параметрами Аt, αt и βt к производственной функции с постоянными параметрами Am, αm и βm и переменным влиянием технического прогресса, погодных условий и других неучтённых факторов:

1) при t < m

Am Kt m Lt m .e t ;

2) при t = m

2) при t > m

101

Таким образом, процесс оценивания параметров Am, αm и βm степенной производственной функции состоит в переходе от производственной функции (4.1) с переменными параметрами Аt, αt и βt к производственной функции с постоянными параметрами Am, αm и βm и переменным годовым темпом прироста продукции за счёт технического прогресса, погодных условий и других неучтённых факторов:

где

Из (4.20) следует, что при t = m справедливо соотношение

m =0.

Это означает, что в базисный момент времени t = m эффективность производства равна единице, то есть

e m 1.

Эффективность же производства в произвольные моменты времени изменяется относительно базисной «единичной» эффективности года t = m.

Определим величину t при t < m в выражении (4.16). Разделив (4.16) на (4.17), получим:

102

или

После преобразований получим:

С другой стороны, разделив (4.16) и (4.17), получим:

Из последних выражений (4.21) и (4.22) следует, что при t < m

Действительно, учитывая соотношение

m =0,

имеем:

Аналогично можно показать, что при t > m

Для этого надо разделить выражение (4.18) на выражение (4.17).

103

ременным годовым темпом прироста продукции за счёт технического прогресса и других неучтённых факторов оцениваются на завершающем этапе методом наименьших квадратов из следующего уравнения:

года t = 0,( n 1) .

Алгоритм оценивания параметров Am, αm и βm степенной производственной функции с переменными параметрами состоит из вычислений:

3)модифицированных переменных Yt(m), Kt(m), Lt(m);

4)логарифмов модифицированных переменных ln Yt(m) , ln Kt(m) , ln Lt(m);

5)оценок параметров Am, αm и βm производственной функции методом наименьших квадратов из уравнения (4.28);

6)расчётного значения Yt* по формуле (4.1).

Следовательно, алгоритм метода оценивания переменных параметров производственной функции вида (4.1) состоит из двух объединенных этапов, на первом из которых вычисляются модифицированные переменные Yt(m), Kt(m) и Lt(m), определяемые по формулам (4.25) – (4.27), а параметры Am, m и m оцениваются на втором этапе методом наименьших квадратов из уравнения (4.28).

105

4.4Метод оценивания переменного вклада факторов

вприрост продукции

Основной предпосылкой экономического роста любой страны и на любом этапе экономического развития выступает технический прогресс, являющийся основой интенсификации производства. В зависимости от динамики выпускаемой продукции и производственных факторов разграничивают экстенсивный и интенсивный тип экономического роста.

Экстенсивный тип экономического роста означает простое расширение поля производства, количественный рост средств производства и трудовых ресурсов в границах качественной неизменности факторов. При экстенсивном росте воспроизводство осуществляется в границах, накладываемых на качественные характеристики факторов производства уровнем развития производительных сил. Экстенсивное расширенное воспроизводство зависит только от размеров факторов производства, соотношения между ними.

Интенсивный тип экономического роста означает углубление поля производства, качественное развитие средств производства и рабочей силы в границах повышающейся эффективности факторов производства. Интенсивное расширение производства предполагает увеличение эффективности средств производства и рабочей силы, причём границы, накладываемые на них уровнем развития производительных сил, всё время ломаются, каждый последующий цикл воспроизводства отрицает предыдущий.

При интенсивном типе экономического роста всесторонне используются факторы производства, множатся полезные свойства потребительных стоимостей. Интенсивный тип экономического роста ведёт к преодолению ограниченности производственных ресурсов. Это усиливает независимость экономики от влияния природных факторов, усиливает технический прогресс. Однако полной независимости от природы быть не может. Поэтому самая глубинная черта интенсификации производства заключается в стремлении общества добиться максимального результата при ограниченных затратах или заданного результата с минимальными затратами, т.е. к экономии рабочего времени.

Экстенсивный и интенсивный типы экономического роста являются противоположными друг другу, что, однако, не отрицает их единства. В реальном процессе расширенного воспроизводства обычно не встречаются чисто экстенсивный и чисто интенсивный экономический рост, тот и другой сосуществуют, сочетаются, перекрещиваются и взаимно сращиваются.

106

Так, рост средств производства и рабочей силы является как экстенсивным, так и интенсивным. Экстенсивным он является постольку, поскольку факторы производства растут количественно, интенсивным постольку, поскольку ввод в

действие основного капитала осуществляется, как правило, на новой технической основе, вовлекаемая в производство рабочая сила обладает более высокой квалификацией. С другой стороны, повышение эффективности производства предполагает создание новых рабочих мест, вовлечение в производство новых работников, использование вновь открытых месторождений полезных ископаемых. Однако возможности преимущественно экстенсивного типа экономического роста не безграничны. Огромные масштабы вовлечённых в хозяйственный оборот первичных производственных ресурсов, накопленного экономического потенциала вызывают необходимость перехода к качественно новому типу расширенного воспроизводства на основе его всесторонней интенсификации.

Курс на интенсификацию в конечном счёте означает переход к качественно новому типу экономического роста и предполагает экономию не только живого, но и овеществлённого в средствах производства труда, не только повышение производительности труда, но и систематическое снижение материалоёмкости, а затем и капиталоёмкости, ускоренное обновление производственного аппарата на основе внедрения новых технологических процессов при опережающем росте производительности оборудования по сравнению с увеличением его стоимости, изменение ассортимента выпускаемой продукции в соответствии со структурой общественных потребностей1.

Для расчёта доли неучтённых факторов в суммарной величине темпов прироста продукции за t лет воспользуемся соотношением (4.9):

y(1,t) = 0 k(1,t) + 0 l(1,t) + t.

Если разделить обе части соотношения (4.9) на y(1,t), то получим:

Первое и второе слагаемые в выражении (4.29) характеризуют соответственно долю факторов K и L, а третье слагаемое – долю неучтённых факторов в сум-

1 Черников Д. А. Темпы и пропорции экономического роста. М. : Экономика, 1982. С. 57 – 63.

107

марной величине темпов прироста продукции за t лет. Из соотношения (4.29) следует, что доля учтённых и неучтённых факторов связана соотношением:

Естественно, чем меньше затраты основного капитала и рабочей силы, тем больше доля неучтённых факторов в суммарной части относительно прироста

фикации производства, а убывание – об экстенсификации производства.

Не менее важной проблемой при исследовании проблем экономического роста является решение проблем разграничения вклада факторов в прирост продукции. Разграничить такой вклад факторов позволяет модифицированная функция с переменным техническим прогрессом.

Для расчёта переменного вклада факторов в прирост продукции воспользуемся уравнением в темпах прироста (4.7) для производственной функции (4.2):

Поскольку оценки параметров производственной функции (4.2) соответству-

С учётом этих соотношений имеем:

Аналогично можно показать, что

где

В величинах Kt,0 и Lt,0 посредством показателей ft-1(0)и pt-1(0) отражается изменяющаяся относительно эффективности базового года t=0 эффективность вводимых в различные годы фондов и труда.

или

где

bt(0)=b0 Lt ,0 .

Lt

Из (4.37) и (4.39) следует, что для базового года t = 0

a0(0)=a0

b0(0)=b0

110

4) скорректированных относительно базового года производственных факто-

ров (4.37) и (4.39)

5) скорректированных относительно базового года предельных эффективностей факторов (4.41)

6) экстенсивного вклада факторов в прирост продукции

7) интенсивного вклада факторов в прирост продукции

113

It= IK+IL+I(неуч)=100 Et .

4.5 Методы преобразования динамических производственных функций

Характеристики производственных функций совпадают не только при отсутствии технического прогресса, но и при предположении его наличия.

Рассмотрим преобразование степенной производственной функции (4.2) с постоянными параметрами А0, α0 и β0 и переменным годовым темпом прироста продукции за счёт технического прогресса и других неучтённых факторов

Yt A0 Kt 0 Lt 0 e t

в динамическую линейную производственную функцию. Ранее было показано, что уравнение в темпах прироста (4.7)

преобразовывается в соотношение (4.40)

Из этого соотношения следует, что

где

114

а K t,0 и Lt,0 определяются соответственно по формулам (4.37) и (4.39):

Таким образом, из уравнения в темпах прироста следует, что степенная производственная функция (4.2) преобразуется в динамическую линейную производственную функцию (4.48) с переменным влиянием технического прогресса, и соответствующие характеристики этих функций совпадают.

Нетрудно заметить, что динамическая ПФ Тинбергена (4.15)

Yt A Kt Lt et

является частным случаем производственной функции (4.2) с переменным влия-

Таким образом, степенная производственная функция (4.2) при выполнении условия (4.50) преобразовывается в динамическую производственную функцию Тинбергена, то есть

Yt A0 Kt 0 Lt 0 e t A0 Kt 0 Lt 0 et ,

когда выполняются условия:

115

1= 2=…= t= ;

t= 1+ 2+…+ t= t.

С другой стороны, линейная производственная функция (4.48) с учётом (4.50) принимает вид:

Следовательно, динамическая производственная функция Тинбергена преобразована в динамическую линейную производственную функцию (4.52) с постоянным темпом экономического роста за счёт технического прогресса.

Это означает, что характеристики динамической производственной функции Тинбергена (4.15) и динамической линейной производственной функции (4.52) совпадают. Эквивалентность характеристик этих функций будет показана в дальнейшем экспериментально.

Если же качественных изменений в производстве не происходит, то

1= 2=…= t= 0,

а величины Kt,0=Kt и Lt,0=Lt, т.к. при неизменной капиталооотдаче и производительности труда величины ft-1(0)и pt-1(0) равны единице:

fi-1(0)= pi-1(0)=1, i=1,2, …,t.

Следовательно, при отсутствии качественных изменений в производстве динамические ПФ (4.15) и (4.52) преобразуются в статические ПФ:

Y=A*+a·K+b·L;

Y=A·K ·L .

116

Для сравнения характеристик динамических ПФ (4.15) и (4.52) следует по найденным оценкам a0 и b0 динамической линейной производственной функции (4.52) рассчитать факторные эластичности выпуска по формулам (4.31):

0=a0· K0 ,

Y 0

0=b 0· L0 .

Y0

При моделировании не всегда удаётся в ПФ одновременно получить экономически обоснованные оценки параметров 0 и 0. Поэтому в экспериментальных расчётах часто используется «динамическая» однородная ПФ Тинбергена первой степени

тельность труда и капиталовооружённость труда,

Для факторных коэффициентов эластичности базового года t=0 «динамической» однородной производственной функции Тинбергена (4.53) первой степени справедливы соотношения:

0= a0· K0 ,

Y 0

117

Тогда параметр A0 в линейной динамической ПФ (4.52) равен нулю:

A0= Y0 -a0 K0 -b0 L0= Y0 –( 0 + 0) Y0=0.

Следовательно, линейная динамическая ПФ (4.52) для случая однородности первой степени принимает вид:

или

где

Если же в динамических линейных производственных функциях (4.52), (4.54) и (4.55) учитывать вместо K t,0 и Lt,0 факторов капитала и труда, корректированных относительно капиталоотдачи и производительности труда базового года t=0, обычные показатели K t и Lt, то получим:

ность и Y t производительность труда в анализируемом периоде времени не ме-

Lt

няются, т.е. ft(0)= pt(0) =1.

Характеристики ПФ (4.52), (4.54) и (4.55), а также (4.56), (4.57) и (4.58) будут близки к соответствующим оценкам параметров функций (4.15) и (4.53) только в случае наличия явно выраженной тенденции роста или спада e t эффективности производства под воздействием различных факторов.

Отметим также, что близость соответствующих характеристик статических линейной и степенной производственных функций наблюдается в периоды отсутствия качественных изменений в экономике страны.

В следующей главе будут рассмотрены методы прогнозирования с помощью традиционных и модифицированных производственных функций.

ГЛАВА 5 ТРАДИЦИОННЫЕ И МОДИФИЦИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Среди множества методов прогнозирования рассмотрим наиболее используемые в моделировании традиционные методы и новые разработанные автором методы прогнозирования с помощью производственных функций с переменными параметрами.

5.1 Общая классификация методов прогнозирования

Разработка прогнозов опирается на применение различных методов прогнозирования. Методами прогнозирования называют совокупность приёмов мышления, позволяющих на основе анализа прошлых (ретроспективных) внешних и

119

внутренних связей, присущих объекту, а также их изменений в рамках рассматриваемого явления вынести суждения определённой достоверности относительно будущего развития объекта.

Каждый из методов имеет свои особенности в зависимости от цели его использования и уровня проводимых исследований. Методы различаются также по научной обоснованности и назначению. Выбор методов прогнозирования осуществляется в соответствии с характером объекта и требований, предъявляемых к информационному обеспечению. Опыт, накопленный современной прогностикой, показывает, что в большом многообразии методов прогнозирования можно выделить следующие их группы: методы экспертных оценок, методы экстраполяции, моделирование, нормативный и целевой методы. Кратко охарактеризуем их. Методы экспертных оценок основаны на использовании экспертной информации. Они помогают установить степень сложности и актуальности проблемы, определить основные цели и критерии, выявить важные факторы и взаимосвязи между ними, выбрать наиболее предпочтительные альтернативы. Известны два подхода к использованию экспертов: индивидуальные оценки и групповые.

Индивидуальные оценки, или метод согласования оценок, состоят в том, что каждый эксперт даёт оценку независимо от других, а затем с помощью какоголибо приёма эти оценки объединяются в одну обобщающую. Индивидуальные экспертные оценки могут быть представлены в виде оценок типа интервью или аналитических записок.

Групповые или коллективные методы экспертизы основаны на совместной работе экспертов и получении суммарной оценки от всей группы специалистов в целом. Среди них наиболее распространёнными являются метод комиссий и метод мозговой атаки (метод коллективной генерации идей или метод группового рассмотрения с отнесенной оценкой).

Наиболее известным методом коллективной экспертной оценки является метод «Дельфи», разработанный в США. Он основан на выявлении согласованной оценки экспертной группы путём их автономного опроса в несколько туров, предусматривающего сообщение экспертам результатов предыдущего тура с целью дополнительного обоснования оценки экспертов в последующем туре. Не менее интересен метод ПАТТЕРН, при котором эксперты выносят свои совместные суждения на основе дерева целей.

Методы экстраполяции основываются на предположении о неизменности факторов, определяющих развитие изучаемого объекта, и заключаются в распространении закономерностей развития объекта в прошлом на его будущее.

120

В зависимости от особенностей изменения уровней в ряду динамики приёмы экстраполяции могут быть простыми и сложными. Первую группу составляют методы прогнозирования, основанные на предположении относительного постоянства в будущем абсолютных значений уровней, среднего уровня ряда, среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста. Вторая группа методов основана на выявлении основной тенденции, т. е. применении статистических формул, описывающих тренд. Их можно разделить на два основных типа: на адаптивные

ианалитические (кривые роста). Адаптивные методы прогнозирования основаны на том, что процесс реализации их заключается в вычислении последовательных во времени значений прогнозируемого показателя с учётом степени влияния предыдущих уровней. К ним относятся методы скользящей и экспоненциальной средних, метод гармонических весов, метод авторегрессионных преобразований. В основу аналитических методов (кривых роста) прогнозирования положен принцип получения с помощью метода наименьших квадратов оценки детерминированной величины ft, характеризующей основную тенденцию.

Особое место в современном прогнозировании занимают методы многофакторного моделирования – логического, информационного, статистического.

Клогическому моделированию относятся, в частности, методы прогнозирования по исторической аналогии, методы сценария, дерева целей, матриц взаимовлияния и др. Метод исторической аналогии основан на установлении и использовании аналогии объекта прогнозирования с одинаковым по природе объектом, опережающим первый в своем развитии. Условиями успешного использования этого метода является правильный выбор объектов сопоставления, а также учёт поправки на историческую обусловленность сознания. В прошлом историческая аналогия применялась в области критического сопоставления культур; известны также акты преемственности в развитии научных принципов

иидей. Если события заданы в форме их описания, то показ вариантов возможной обстановки в будущем и установление времени её наступления осуществляются с помощью метода сценария. Под сценарием понимается обзор информации, характеризующей данную ситуацию. Эти данные включают в себя описание отдельных факторов, влияющих в той или иной степени на наступление конкретного события. Задачей сценария является характеристика обстановки, в которой развивается прогнозируемый процесс.

Применение метода дерева целей в прогнозировании позволяет последовательно разбить основные задачи на подзадачи и создать систему «взвешенных» по экспертным оценкам связей. Для отбора факторов в прогностическую модель

121

и построения системы связей широко используются на практике матрицы взаимовлияния (смежности), теория графов и др.

Методы информационного моделирования составляют специфическую область в прогнозировании. Характерные свойства массовых потоков информации (определённая направленность, возможность оценки интенсивности, ускорения или замедления, возможность выделения характерных структурных составляющих и образования последовательности документов в логической очередности и др.) создают предпосылки для прогнозирования развития на основе массовых источников информации, содержащих необходимые, логически упорядоченные последовательности документов.

Наиболее распространёнными являются методы прогнозирования, основанные на статистическом моделировании. Методы статистического прогнозирования могут быть разбиты на две большие группы: прогнозирование на основе единичных уравнений регрессии, описывающих взаимосвязи признаковфакторов и результативных признаков, и прогнозирование на основе системы уравнений взаимосвязанных рядов динамики. Форма взаимосвязи прогнозируемого явления с другими явлениями, объектами и процессами может быть представлена в виде регрессионного уравнения типа

у=f(х1 , х2 ,…, хm ).

Прогноз при этом получается путём подстановки в него значений признаковфакторов и оценки ожидаемого среднего значения результативного признака. Для установления области, в которой следует ожидать значение прогнозируемого показателя, строятся доверительные интервалы. Прогнозирование на основе регрессионных моделей может осуществляться только после оценки значимости коэффициентов регрессии и проверки модели на адекватность.

Наиболее сложным методом прогнозирования является прогнозирование на основе связных рядов динамики. С его помощью можно получить не только оценки результативного, но и факторных признаков, т.е. анализ взаимосвязанных рядов динамики выражается с помощью системы уравнений регрессии. Прогноз в этом случае лучше поддаётся содержательной интерпретации, чем простая экстраполяция.

Нормативный метод прогнозирования заключается в установлении для определённого отрезка времени фиксированной системы норм. В качестве инстру-

122

мента при нормативном прогнозировании могут быть использованы теория графов, матричный подход и др.

Сущность целевого прогнозирования заключается в решении обратной задачи: в отыскании условий для достижения в будущем норм, задаваемых в виде строго определённых и обоснованных величин. Решение этой задачи обычно осуществляется методами математического программирования. Комплекс методов прогнозирования постоянно совершенствуется и пополняется новыми методами. Одной из центральных проблем является разработка обоснованной классификации и выбор методов прогнозирования. Попытки создания такой классификации делались неоднократно. В настоящее время имеется большое количество классификационных схем методов прогнозирования, в основу которых положены различные классификационные принципы. Однако классификация прогнозов по методам их разработки затрудняется отсутствием единой классификации методов. Наиболее важными классификационными признаками методов прогнозирования, по мнению большинства авторов, являются следующие: степень формализации, общий принцип действия, способ получения прогнозной информации. По степени формализации методы прогнозирования можно разделить на интуитивные и формализованные. Интуитивные применяются тогда, когда невозможно учесть влияние многих факторов из-за значительной сложности объекта прогнозирования либо когда объект слишком прост. Эти методы базируются на информации, которая получается по оценкам специалистов-экспертов. Формализованные методы базируются на фактически имеющемся информационном материале об объекте прогнозирования и его прошлом развитии.

Классы интуитивных и формализованных методов прогнозирования по своему составу аналогичны экспертным и «фактографическим» методам. Фактографические методы имеют источник информации об объекте прогнозирования, основанный на фактических данных, необходимых для достижения цели прогнозирования; экспертные методы базируются на информации, полученной по оценкам специалистов-экспертов.

5.2 Методы экстраполяции на основе кривых роста

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики – на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на

123

экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по которым отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образовании одномерных временных рядов. Рассмотрим метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста экономической динамики. Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях:

–временной ряд экономического показателя действительно имеет тренд, т. е. преобладающую тенденцию;

–общие условия, определявшие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреждения.

В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Чтобы правильно подобрать наилучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:

ŷt = a0 +а1t (полином первой степени);

ŷt = a0 + a1t + a2t2 (полином второй степени);

ŷt = a0 + a1t + a2t2 +a3t3 (полином третьей степени).

Параметр a1 называют линейным приростом, параметр a2 – ускорением роста, параметр a3 – изменением ускорения роста.

Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле

ut = yt - yt-1, t = 2,3,…, n,

то они будут постоянной величиной и равны a1.

124

Если первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь линейную зависимость от времени и ряд из первых приростов u2, u3, … на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты

ut(2) = ut - ut-1

для полинома второй степени будут постоянны.

Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты будут линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле

ut(3) = ut(2) – ut-1(2),

будут постоянной величиной.

На основе сказанного можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:

–от полинома высокого порядка можно путём расчёта последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;

–значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции ŷt .

Таким образом, полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

В отличие от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента представляется в виде функции

ŷt = abt,

где a и b – положительные числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы – функция убывает.

125

Можно заметить, что ордината данной функции изменяется с постоянным темпом прироста. Если взять отношение прироста к самой ординате, оно будет постоянной величиной:

Прологарифмируем выражение для данной функции по любому основанию:

log ŷt = log a + t log b.

Отсюда можно заметить, что логарифмы ординат простой экспоненты линейно зависят от времени.

Модифицированная экспонента имеет вид

ŷt = k + abt,

где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты модифицированной экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.

Если прологарифмировать первые приросты данной функции, то получится функция, линейно зависящая от времени, а если взять отношение двух последовательных приростов, то оно будет постоянной величиной:

В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к ка- кому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные

126

кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую. Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение

где a, b – положительные параметры, причём b меньше единицы; параметр k – асимптота функции.

В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом – прирост функции незначителен, на втором – прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом – происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S. Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции – линейная функция времени.

На основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой используются в демографии для моделирования показателей смертности и т. д.

Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида, – возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде

другие виды этой кривой:

k

ˆyt 1 10a bt .

В этих выражениях a и b – положительные параметры; k – предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.

Если взять производную данной функции, то можно увидеть, что скорость возрастания логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна

127

достигнутому уровню функции и разности между предельным значением k и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату её значения (ординаты) есть линейная функция от времени.

Конфигурация графика логистической кривой близка графику кривой Гомперца, но в отличие от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба.

Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для конкретного временного ряда. Допустим, имеется конкретный временной ряд y1, y2, y3, …, yn. Для выбора вида полиномиальной кривой роста наиболее распространённым методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух величин (тренда и случайной величины), и во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

Более универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней.

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда.

Рассмотрим методы определения параметров отобранных кривых роста. Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выравненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых.

Таким образом, при моделировании экономической динамики, заданной временным рядом, путём сглаживания исходного ряда, определения наличия тренда, отбора одной или нескольких кривых роста и определения их параметров в случае наличия тренда получают одну или несколько трендовых моделей для исходного временного ряда. Встаёт вопрос о том, насколько эти модели близки к экономической реальности, отражённой во временном ряду, насколько обосновано применение этих моделей для анализа и прогнозирования изучаемого экономического явления.

128

5.3 Методы экстраполяции на основе адаптивных методов прогнозирования

Параметры уравнений аппроксимирующих кривых роста не свободны от погрешностей и могут изменять свои оценки при исключении части имеющихся членов ряда либо добавлении новых членов ряда динамики, что отражается на точности расчётных значений уровней ряда динамики. Кроме того, параметры моделей тренда, полученные методом наименьших квадратов, остаются неизменными в течение всего рассматриваемого периода. На практике же нередки случаи, когда параметры моделей меняются, а сглаживающие процедуры с помощью метода наименьших квадратов не могут уловить такие изменения. Поэтому более эффективными оказываются адаптивные методы, в которых значимость уровней ряда динамики убывает по мере их удаления от прогнозируемого периода. К ним относятся: метод экспоненциального сглаживания и его модификации; метод гармонических весов и другие, входящие в класс адаптивных методов. Они позволяют строить самокорректирующиеся модели, которые, учитывая результат прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и различную информационную ценность членов динамического ряда, способны оперативно реагировать на изменяющиеся условия и на этой основе дать на ближайшую перспективу более точные прогнозы.

Метод экспоненциального сглаживания. Особенность его состоит в том,

что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используются только значения предыдущих уровней ряда динамики, взятых с определённым весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаженное значение. Сглаженное значение уровня ряда St на момент t определяется по формуле

St= αyt +(1-α) St-1;

где St – значение экспоненциальной средней в момент t; St-1 – значение экспоненциальной средней в момент (t- 1); yt – значение экономического процесса в момент t; α – вес t-го значения ряда динамики (или параметр сглаживания

[0<α<1]).

Из формулы видно, что при вычислении экспоненциальной средней St используется лишь предыдущая экспоненциальная средняя St-1 и последнее наблюдение yt, а все предыдущие уровни ряда «забываются».

129

Последовательное применение формулы даёт возможность вычислить экспоненциальную среднюю через значения всех уровней данного ряда динамики. Кроме того, она определяет экспоненциальные средние первого порядка, т.е. средние, полученные непосредственно при сглаживании исходных данных ряда динамики. В тех случаях, когда тенденция после сглаживания исходного ряда определена недостаточно ясно, процедуру сглаживания повторяют, т.е. вычисляют экспоненциальные средние 2-го, 3-го и т.д. порядков.

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникают некоторые затруднения. Основными из них являются выбор значения сглаживающего параметра α и определение начального условия у0. От численного значения параметра α зависит, насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень. Чем больше значение параметра α, тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней и соответственно меньшим оказывается сглаживающее воздействие экспоненциальной средней. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания составляет задачу оптимизации модели, которая до сих пор до конца ещё не решена.

Автор метода экспоненциального сглаживания английский ученый Р.Г. Браун предложил следующую формулу расчёта α:

m2 1 ,

где m – число уровней, входящих в интервал сглаживания. Величина m, следовательно, и α определяются в этом случае эмпирически. В качестве удовлетворительного практического компромисса он рекомендует брать α в пределах от 0,1 до 0,3. Поиск оптимального значения параметра сглаживания адаптивных полиномиальных моделей может осуществляться также путём перебора различных его значений. В этом случае в качестве оптимального выбирается то значение α, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки прогнозирования, вычисленная либо при реализации процедуры сглаживания всего ряда динамики либо на неиспользованном в расчётах участке ряда, специально оставленного для проверки качества прогнозных моделей.

Задачу выбора параметра у0, определяющего начальные условия, предлагается решать следующим образом: если есть данные о развитии явления в прошлом,

130

то в качестве у0 можно использовать среднюю арифметическую всех имеющихся уровней ряда динамики или какой-то их части, т.е.

1 n

n i 1 yi .

Если же таких сведений нет, то в качестве у0 используют исходное (первое) значение уровня ряда динамики у1. Вес, приписываемый этому уровню, быстро уменьшается по мере отдаления от первого уровня ряда, вместе с этим быстро уменьшается его влияние на размер экспоненциальной средней.

Метод экспоненциального сглаживания по сравнению с другими методами прогноза имеет достоинства и недостатки. В числе достоинств метода необходимо отметить его точность, которая увеличивается с увеличением числа уровней динамического ряда. Недостатком метода является то, что отсутствует точный метод для выбора оптимальной величины параметра сглаживания α. Точность прогноза по этому методу падает с увеличением прогнозного интервала. Он эффективен для краткосрочных прогнозов, в прочих условиях его можно использовать для получения приближенных оценок.

Более рациональным способом дисконтирования информации является метод гармонических весов. Этот метод был разработан польским статистиком З. Хелвигом. Он близок к методу простого экспоненциального сглаживания, использует тот же принцип. В его основе лежит взвешивание скользящего показателя, но вместо скользящей средней используется идея скользящего тренда. Экстраполяция проводится по скользящему тренду, отдельные точки ломанной линии взвешиваются с помощью гармонических весов, что позволяет более поздним наблюдениям придавать больший вес.

Метод гармонических весов базируется на следующих предпосылках1:

–период времени, за который изучается экономический процесс, должен быть достаточно длительным, чтобы можно было определить его закономерности;

–исходный ряд динамики не должен иметь скачкообразных изменений;

–прогнозируемое социально-экономическое явление должно обладать инерционностью, т.е. для наступления большого изменения в характеристиках процесса необходимо, чтобы прошло значительное время;

–отклонения от скользящего тренда (Еt) имеют случайный характер;

1 Френкель А. А. Математические методы анализа динамики и прогнозирования производительности труда. М. : Экономика, 1972. С. 102.

131

– автокорреляционная функция, рассчитанная на основе последовательных разностей, должна уменьшаться с ростом t, т.е. влияние более поздней информации должно сильнее отражаться на прогнозируемой величине, чем на ранней информации. Для получения точного прогноза методом гармонических весов необходимо выполнение всех вышеуказанных предпосылок для исходного ряда динамики.

Для осуществления прогноза данным методом исходный ряд динамики разбивается на фазы k. Число фаз должно быть меньше числа членов ряда n, т.е. k < n. Обычно фаза равна 3 – 5 уровням. Для каждой фазы рассчитывается линейный тренд, т.е.

yi(t) = ai + bikt (i=1, 2, …, n - k + 1).

При этом

для i= 1, t = 1, 2, …, …k;

для i= 2, t = 2, 3, …, …k + 1;

для i=n – k + 1, t = n- k + 1, n – k + 2, …, n.

Для оценки параметров используется способ наименьших квадратов.

С помощью полученных (n – k + 1) уравнений определяются значения скользящего тренда. Данный метод прогнозирования применяется, когда есть уверенность, что тенденция в будущем описывается плавной кривой, т.е. в ряду динамики отсутствуют сезонные и циклические колебания.

В рассмотренных выше методах прогноза прогнозируется только детерминированная величина ряда динамики и не учитывается случайная величина. Чтобы сделать прогноз более точным, надо отыскать закономерность изменения во времени этой случайной величины и сделать её прогноз. Затем результаты прогноза детерминированной и случайной величин объединяются. Сумма двух полученных таким образом прогнозов даёт общий суммарный прогноз экономического показателя по одному ряду динамики.

Одним из методов прогнозирования случайной величины является метод авторегрессии. В основе метода лежит гипотеза стационарности изучаемого явления, т. е. сохранения статистических характеристик явления без изменения на ретроспективном промежутке времени, в настоящем и будущем. В качестве ин-

132

формации, привлекаемой для прогноза, используется ряд динамики случайной прогнозируемой величины. Относительно случайной величины εt выдвигается гипотеза о том, что она представляет собой стационарный процесс.

Пусть дан ряд динамики некоторого экономического показателя

yt = f(t) + εt .

Чтобы выполнить прогноз по модели стационарных случайных процессов, необходимо проверить гипотезу о том, что отклонения от тренда εt носят случайный характер.

Авторегрессионные модели можно применять при прогнозировании изучаемых экономических показателей динамического ряда только при выполнении следующих предпосылок:

–отклонения от тренда εt представляют собой стационарный в широком смысле случайный процесс;

–отклонения от тренда εt являются случайной величиной, не зависящей от времени;

–отклонения от расчётных значений, полученных по авторегрессионной модели, имеют нормальный закон распределения с математическим ожиданием, равным 0;

–в ряду отклонений от расчётных значений, полученных по авторегрессионной модели, отсутствует автокорреляция.

После того как проведена выполнимость указанных предпосылок и вычислены коэффициенты авторегрессионной модели, прогнозируем значения yt на период (t+l) по авторегрессионной модели следующим образом.

Сначала вычисляется значение y*t+1 по формуле

y*t+1 = a1yt +a2yt-1 + … + apyt-p .

Затем это значение подставляется в модель

y*t+2 = a1y*t+1 +a2yt + … + apyt-p + εp

и находится значение y*t+2 и т.д.

Параметры уравнения ai находятся по способу наименьших квадратов. Важным является оценка погрешности полученного прогноза. Доверитель-

ный интервал прогноза будет

133

yt* - t εt < yt < yt*+ t εt ,

где уt – фактическое значение уровня временного ряда; yt* – прогнозное значение уровня ряда; 2εt – дисперсия случайной величины zt; tα – табличные значения t- критерия Стьюдента с (n – p ) степенями свободы и вероятностью ошибки α1.

5.4 Методы прогнозирования, учитывающие тренд и сезонность

Рассмотрим ряд проблем и основных понятий, связанных с исследованием сезонных колебаний в экономике. Сезонность, как правило, связывается исключительно со сменой природно-климатических условий в рамках ограниченного промежутка времени – годового периода. Наиболее ярко эта связь видна там, где исследуемые процессы прямо связаны с естественными особенностями того или иного времени года: в сельском хозяйстве, добывающих отраслях, отраслях легкой промышленности, обрабатывающих сельскохозяйственную продукцию, и др. Однако сезонные колебания формируются не только под влиянием природ- но-климатических факторов, но и, пусть в меньшей мере, под влиянием иных особенностей системы, уходящих корнями в экономику.

Влияние сезонности на экономику вполне очевидно и проявляется в аритмии производственных и других процессов: недогрузка производственных мощностей в одни периоды года и более интенсивное их использование в другие; неравномерное распределение внутри рамок года объёмов грузооборота и товарооборота и т. д. Не во всех случаях сезонность является следствием действия неуправляемых или почти неуправляемых факторов. Чаще всего они поддаются регулированию. Но даже и в тех случаях, когда прямое воздействие на процессы, вызывающие сезонные колебания, невозможно, необходимо учитывать их действие при совершенствовании технологических, организационно-экономических процессов и процессов управления. Для того чтобы можно было целенаправленно влиять на сезонность, необходимо уметь измерять и анализировать сезонность, уметь предвидеть развитие процессов, подверженных сезонным колебаниям.

Под сезонными колебаниями понимают регулярные, периодические наступления внутригодовых подъёмов и спадов производства, грузооборота и товарооборота и т.д., связанных со сменой времени года, а под сезонностью – ограниченность годового периода работ под влиянием того же природного фактора.

1 Статистическое моделирование и прогнозирование : учеб. пособие / под ред. А. Г. Гранберга. М. : Финансы и статистика, 1990. С. 170 – 196.

134

Временной ряд, согласно определению, представляет упорядоченную во времени последовательность наблюдений экономического процесса. Тогда если процесс подвержен периодическим колебаниям, имеющим определённый и постоянный период, равный годовому промежутку, то мы имеем дело с так называемым тренд-сезонным временным рядом (сезонным временным рядом). Почти всюду, где не оговорено специально, будем рассматривать тренд-сезонный временной ряд {Yt}, t = 1,T , порождаемый аддитивным случайным процессом:

Yt = Ut +Vt +εt , t = 1,T ,

где Ut – тренд;

Vt – сезонная величина; εt – случайная величина;

T – число уровней наблюдения.

Относительно Ut предполагается, что это некоторая гладкая функция, степень гладкости которой заранее неизвестна. Сезонная величина Vt имеет период T0;

V t T 0 = Vt

(T0 = 12 для ряда месячных данных; T0 = 4 – для ряда квартальных данных). Кроме того, известно, что T0 нацело делит Т, т.е. Т = m ×T0, m – целое число.

Очевидно, если T0 – число месяцев или кварталов в году, то m – число лет, представленных во временном ряду {Yt}. Часто исходные данные тренд-сезонного временного ряда представляются в виде матрицы {Yij} размера [m×T0]. В этом случае выражение для Yt перепишется с учётом введения двойной индексации:

Yij = Uij +Vij +εij , i = 1,m , j = 1,T 0 .

Запишем соотношения, устанавливающие связь между индексами t и (i,j):

t

i= 1 ;

T 0

j=t – (i- 1) × T0,

135

где выражение в квадратных скобках [ ] означает целую часть.

Постараемся выделить и кратко охарактеризовать задачи, возникающие при исследовании сезонности вообще и сезонных временных рядов в частности. Проблема анализа сезонности заключается в исследовании собственно сезонных колебаний и в изучении того внешнего циклического механизма, который их вызывает. Для исследования сезонных колебаний вне связи с причинами, их порождающими, очевидно, необходимо отфильтровать из временного ряда {Yt} сезонную величину Vt и затем уже анализировать её динамику. Большинство методов фильтрации построено таким образом, что предварительно выделяется тренд, а затем уже сезонная величина. Тренд в чистом виде необходим и для анализа динамики сезонной волны.

При исследовании сезонной волны Vt чаще всего предполагается, что она не изменяется год от года, т.е. Vij = Vi+k,j , i + k ≤ m. На самом же деле такое предположение далеко от действительности, по крайней мере, для большинства экономических процессов. Для сезонной волны характерно изменение со временем как её размаха, так и формы. В результате возникает необходимость в анализе и предсказании изменений сезонной волны.

Перечислим теперь задачи, которые возникают при исследовании сезонных временных рядов:

–определение наличия во временном ряду тренда и определение степени его гладкости;

–выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний;

–фильтрация величин ряда;

–анализ динамики сезонной волны;

–исследование факторов, определяющих сезонные колебания;

–прогнозирование тренд-сезонных процессов.

Объясним суть некоторых понятий и дадим краткую характеристику каждого пункта. Под степенью гладкости тренда мы будем понимать минимальную степень полинома, адекватно сглаживающего величину Ut. Этот пункт используется в некоторых итерационных алгоритмах фильтрации при выделении из временного ряда {Yt} его величин Ut , Vt, εt.

Выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний сводится к проверке на случайность остаточного ряда:

lt ; lt= Yt - Ut .

136

Под фильтрацией величин ряда понимается выделение из ряда Y t его составляющих Ut,Vt, εt.

Анализ динамики, или эволюции, сезонной волны может рассматриваться как процесс решения трёх взаимосвязанных задач:

1.Анализ динамики амплитуды сезонной волны в каждом месяце (квартале, неделе).

2.Анализ динамики точек экстремума сезонной волны.

3.Исследование изменений формы волны.

В настоящее время развиваются три основных направления фильтрации величин временного ряда: регрессионные, спектральные и итерационные. Рассмотрим более подробно итерационные.

Итерационные методы фильтрации. При выделении (фильтрации) величин временного ряда с помощью тех или иных методов неизбежно встаёт вопрос о «чистоте» фильтрации, т.е. вопрос о степени близости оценок Uˆ t и Vˆ t их истинным значениям Ut, Vt. Следует отметить, что пока ни один из известных методов не обеспечивает необходимой степени чистоты фильтрации для временных рядов различной структуры.

Итерационные методы фильтрации составляющих временного ряда появились в своё время как результат признания невозможности выделения величин ряда прямыми методами. Основная идея итерационных процедур заключается в многократном применении скользящей средней и одновременной оценке сезонной величины в каждом цикле. При этом переход от одного шага итерационной процедуры к другому может сопровождаться изменением параметров скользящей средней. В некоторых итерационных методах, кроме того, используется регрессия (как правило, линейная) исходного ряда Yt на преобразованный в первом шаге ряд

Y t Ut .

Итерационные методы отличает простота и удовлетворительная «чистота» фильтрации величин ряда. Однако всем им присущ и весьма существенный недостаток. Применение скользящей средней приводит к потере части информации на концах временного ряда1.

Наряду с рассмотренной аддитивной моделью

Yt = Ut +Vt +εt

1 Экономико-математические методы и прикладные модели : учеб. пособие для вузов/ под ред. В. В. Федосеева. М. : ЮНИТИ, 1999. С. 163 – 198.

137

существует мультипликативная модель

Yt = Ut ·Vt ·εt .

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (Ut), сезонной (Vt) и случайной величин (εt). Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной величины предполагаются постоянными для различных периодов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной величины.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчёту значений Ut, Vt и εt для каждого уровня ряда.

В общем виде алгоритм построения модели включает следующие этапы.

1.Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2.Расчёт значений сезонной величины Vt.

3.Устранение сезонной величины из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Ut + εt) в аддитивной или (Ut · εt) в мультипликативной модели.

4.Аналитическое выравнивание уровней (Ut + εt) или (Ut · εt) и расчёт значений Ut с использованием полученного уравнения тренда.

5.Расчёт полученных по модели значений (Ut+Vt) или (Ut·Vt).

6.Расчёт абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок εt для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов1.

5.5 Регрессионные методы прогнозирования и метод прогнозирования с помощью модифицированных производственных функций

В случае значительных требований к точности прогноза и при наличии большого (даже огромного) массива данных используются каузальные, или причин- но-следственные, модели прогнозов, в которых прогнозируемая величина явля-

1 Эконометрика : учебник/ под ред. И. И. Елисеевой. М. : Финансы и статистика, 2002. С. 240.

138

ется функцией большого числа переменных. Объёмы продаж товара могут зависеть от цены продукта, затрат на рекламу, действий конкурентов, уровня доходов и других независимых переменных. Если связи между этими переменными удаётся описать математически корректно, то точность каузального прогноза может оказаться довольно высокой. Но, как правило, это требует больших объёмов данных и существенно больших интеллектуальных, временных и финансовых затрат, чем анализ временных рядов. К тому же расчёт каузальных моделей связан с большими объёмами вычислений, что возможно лишь при наличии мощной вычислительной техники. Мы ограничимся краткой характеристикой трёх каузальных методов прогнозирования.

Многомерные регрессионные методы (модели) (multiple regression models),

посредством которых регрессионная зависимость между величинами устанавливается по статистическим данным, являются наиболее распространёнными количественными методами прогнозирования. Простейшее представление о регрессионных моделях даёт описанный выше метод проецирования тренда, в котором регрессионная зависимость устанавливается между прогнозируемым показателем и одной переменной – временем. Многомерные модели линейной регрессии можно рассматривать как естественное обобщение этого метода.

Эконометрические методы (модели) (econometric models) дают количе-

ственное описание закономерностей и взаимосвязей между экономическими объектами и процессами и разрабатываются для прогнозирования динамики экономики. Типичная эконометрическая модель представляет собой систему из тысяч уравнений, решение которой требует мощных вычислительных средств.

Компьютерная имитация (computer simulation). С появлением современных вычислительных средств уровень сложности математических моделей, при помощи которых можно делать правильные предсказания о динамике процессов, существенно вырос. Появились модели, способные создавать «иллюзию реальности». Называемые имитационными, эти модели являются как бы промежуточным звеном между реальностью и обычными математическими моделями. Имитационные модели находятся как бы на пределе возможностей вычислительной техники (и системного программирования) 1.

Не останавливаясь на этих трёх традиционных подходах, следует отметить, что, несмотря на достоинства и недостатки отдельных методов, в целом традиционные методы прогнозирования не позволяют оценить возможные перемен-

1 Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении : учеб. по-

собие. М. : Дело, 2000. С. 204 – 205.

139

ные эффекты, обусловленные учтёнными в модели производственными факторам. Для решения указанной проблемы автором разработаны методы прогнозирования с помощью модифицированных производственных функций, которые позволяют оценивать переменные эффекты учтённых факторов на экономический рост и повысить точность прогнозирования. Содержательной интерпретации лучше поддаётся прогноз с помощью модифицированных производственных функций, чем прогноз с помощью методов экстраполяции. Перейдём к методу прогнозирования на основе модифицированных производственных функций.

Метод прогнозирования влияния учтённых факторов на темпы экономического роста

с помощью модифицированных производственных функций

Производственную функцию (4.2) с постоянными параметрами А0, α0 и β0 и переменным годовым темпом прироста продукции за счёт технического прогресса и других неучтённых факторов

можно использовать не только при ретроспективном моделировании, но и в прогнозировании. Для прогнозирования совместного воздействия учтённых и неучтённых факторов на темпы экономического роста сначала необходимо оценить воздействие только учтённых факторов, а затем на следующем этапе выделить по данным совместного воздействия учтённых и неучтённых факторов ретроспективного периода только воздействие неучтённых факторов и определить их трендовые значения в перспективном периоде.

Таким образом, прогнозирование совместного воздействия учтённых и неучтённых факторов на темпы экономического роста состоит из этапов раздельного оценивания воздействия учтённых и неучтённых факторов:

–прогнозирование для ретроспективного и перспективного периодов воздействия только учтённых факторов на темпы экономического роста;

–прогнозирование по данным совместного воздействия учтённых и неучтённых факторов ретроспективного периода воздействия только неучтённых факторов.

Перейдём к рассмотрению прогнозирования воздействия только учтённых факторов.

140

Прогнозирование для ретроспективного и перспективного периодов воздействия

только учтённых факторов на темпы экономического роста

При прогнозировании будем исходить из следующих предположений:

1) параметры A0, 0, 0 производственной функции (4.2) определены на этапе ретроспективного моделирования методом наименьших квадратов (of the least squares method (MLS)) из уравнения (4.11)

t+1**(неуч)) неучтённых факторов на темпы экономического роста будем предпо-

и (5.1) имеем

141

5) величины Yt+1(учтённых) (или кратко Yt+1(уч)) и t+1(учтённых) (или кратко t+1 (уч)) на момент времени (t+1) являются неизвестными.

Прогнозирование возможно либо с помощью переменных темпов прироста

совместного воздействия на темпы экономического роста учтённых факторов K

и L. Отметим, что метод прогнозирования с помощью Y t 1 даёт аналогичные

Y t

результаты прогнозирования, что и второй метод, только в случае постоянного роста факторов K и L в прогнозируемый период времени. Однако первый метод не позволяет учесть изменения в эффективности совместного воздействия на темпы экономического роста учтённых факторов K и L и адекватно прогнозировать процесс, когда факторы K и L в прогнозируемом периоде не проявляют явно выраженной тенденции роста, то есть не только возрастают, но и уменьшаются. Поэтому сразу перейдём к рассмотрению метода прогнозирования с помощью

e t 1( учтённых ) переменной эффективности совместного воздействия на темпы экономического роста учтённых производственных факторов K и L.

При выполнении перечисленных предположений производственная функция (4.2) в прогнозируемый год (t+1) примет вид:

Таким образом, показатель Y(t учтённых1 ) характеризует прогнозный объём про-

дукции в году (t+1), обусловленный воздействием только учтённых производственных факторов K и L.

В производственной функции (5.3), как уже отмечалось ранее, неизвестными величинами являются Y(t учтённых1 ) и t+1(учтённых), а известными величинами – A0,

*

0, 0, Kt+1, Lt+1, e t .

Преобразуем уравнение в темпах прироста

142