60

а) покажите, что тогда ведомая фирма в равновесии в модели Штакельберга производит не больше, чем в равновесии в модели Курно.

Предположим теперь, что функция реакции ведомой фирмы является убывающей и совокупный равновесный выпуск отрасли возрастает с ростом выпуска фирмы-лидера. Покажите, что тогда справедливы следующие утверждения:

б) в равновесии в модели Штакельберга равновесный выпуск фирмы-лидера и совокупный выпуск отрасли не ниже, чем в равновесии в модели Курно;

в) в равновесии в модели Штакельберга прибыль ведомой фирмы не выше, чем в равновесии в модели Курно.

9. Рассмотрите бесконечно повторяющуюся модель дуополистической конкуренции по Бертрану, в которой фирмы, использующие стратегии возвращения к равновесию по Нэшу, дисконтируют свои будущие выигрыши в соответствии с

коэффициентом дисконтирования δ = . Обратная функция совокупного спроса

имеет вид p(Q) = 10 – Q. Пусть в первом периоде предельные и средние издержки фирм равны ĉ = 2, а начиная со второго периода они становятся равными ć = 4. Может ли монопольная цена, соответствующая предельным издержкам данного периода, быть поддержана в качестве совершенного в подыграх равновесия по Нэшу? Как изменится ваш ответ, если ć = 8?

10. Рассмотрите следующую бесконечно повторяющуюся модель дуополистической конкуренции. Две фирмы, имеющие одинаковые постоянные предельные и средние издержки с > 0, в каждый период t конкурируют по Бертану, дисконтируя свои будущие выигрыши в соответствии с коэффициентом дискон-

тирования δ (0,1). Покажите, что при δ < в любом совершенном в подыграх

равновесии по Нэшу во всех периодах цены будут установлены на уровне предельных издержек.

Тема 11. Общее равновесие и экономическая эффективность

Ключевые термины

Экономика обмена; диаграмма Эджуорта; линия контрактов; оптимальность по Парето; Парето-предпочтительность; эффективность производства; эффективность распределения ресурсов; общее экономическое равновесие при совершенной конкуренции; общее экономическое равновесие при условии несовершенной конкуренции.

61

Тесты

1. Каково условие общего равновесия в производстве товаров А и Б:

а) предельная норма замещения товара А товаром Б равна для всех участников обмена;

б) предельная норма трансформации товара А в товар Б равна предельной норме замещения товара А товаром Б для всех участников обмена;

в) предельная норма технологического замещения труда капиталом в производстве товара А равна предельной норме технологического замещения в производстве товара Б;

г) предельная норма замены товара А товаром Б равна отношению цены товара А к цене товара Б;

д) рынки товаров А и Б находятся в равновесии?

2. Предельная норма трансформации это:

а) отношение изменения количества одного блага к изменению количества другого;

б) отношение предельных издержек производства благ; в) отношение предельного продукта фактора производства для производства

одного блага к предельному продукту фактора при производстве другого блага; г) количество одного блага, от производства которого необходимо отка-

заться при увеличении производства другого на единицу; д) все перечисленное верно.

3. Производственная эффективность и эффективность распределения ресурсов достигается:

а) в условиях совершенной конкуренции; б) в долгосрочном периоде при монополистической конкуренции;

в) если P = MC = ATCmin;

г) верно а) и в); д) все ответы правильные.

4. Оптимальное по Парето распределение благ достигнуто, если: а) потери одного участника меньше, чем выигрыш другого;

б) перераспределение благ приводит к уменьшению полезности обоих участников обмена;

62

в) увеличение полезности для одного из участников обмена невозможно без снижения полезности для другого участника;

г) оба участника могут выиграть от обмена; д) дальнейшее перераспределение благ приводит к росту суммарной по-

лезности обоих участников.

5. Кривая контрактов – это множество точек, в каждой из которых: а) распределение благ является эффективным по Парето;

б) перемещение из точки вне кривой к точке на кривой повышает общественное благосостояние;

в) движение вдоль кривой контрактов может повысить, а может и понизить благосостояние участников обмена;

г) верно а) и б); д) все ответы правильнее.

6.Рынок отрасли сможет осуществить приспособление к изменившимся условиям, только если:

а) произойдут изменения на других рынках; б) ситуация на других рынках останется неизменной;

в) будет оказана помощь в виде государственного регулирования; г) не будут нарушены предпосылки анализа общего равновесия; д) нет правильного ответа.

7.Если сравнить некоторый пункт на контрактной кривой с пунктом вне контрактной кривой, то его можно рассматривать как:

ляющих улучшить положение хотя бы одного участника обмена, не ухудшая при этом положение другого участника, называется:

63

9.Монополия препятствует достижению Парето-оптимального размещения ресурсов:

а) вследствие производственной неэффективности по сравнению с конкурентными фирмами:

б) вследствие искажения ценовой структуры; в) из-за возможности влиять на цены ресурсов;

г) монополия не препятствует достижению Парето-эфективного размещения ресурсов.

10.Кривая производственных возможностей демонстрирует возрастающую предельную норму трансформации, только если:

а) производственная функция для одного из товаров имеет постоянную отдачу от масштаба;

б) производственная функция для одного из товаров имеет убывающую отдачу от масштаба;

в) производственная функция для одного из товаров имеет возрастающую отдачу от масштаба;

г) производственная функция для двух товаров имеет убывающую или постоянную отдачу от масштаба.

Примеры решения задач

Пример 1

Пусть предельные издержки на производство 1 т пшеницы у компании А равны 2 тыс. руб., а у компании Б предельные издержки на производство 1 т овса – 1 тыс. рублей. Пусть на графике объем производства пшеницы откладывается по вертикальной оси, а объем производства овса – по горизонтальной. Считая, что все рынки находятся в состоянии равновесия, чему равна предельная норма трансформации пшеницы в овес?

Решение

Предельная норма трансформации пшеницы в овес равна отношению изменения количества пшеницы к изменению количества овса. Количество пшеницы, от которого приходится отказываться ради получения дополнительной единицы овса, является предельными издержками производства овса. И наоборот, изменение количества овса равно предельным издержкам производства пшеницы, то есть предельная норма трансформации также равна отношению предельных издержек производства овса к предельным издержкам производства пшеницы:

MRTno = ∆ П / ∆O = MCo/MCn = ½ = 0,5.

64

Пример 2

Кривая производственных возможностей общества описывается уравнением: Х2 +Y2 = 4 500. Функция полезности общества представлена в виде: U = 2X + Y. Определите оптимальный объем производства товаров.

Решение

Уравнение кривой производственных возможностей можно представить в виде Y = (4 500 – X2)1/2. Ее угол наклона характеризуется предельной нормой трансфор-

мации: MRT = |Y'X| = 2X/[2 × (4 500 – X2)1/2].

Угол наклона функции полезности характеризуется предельной нормой замены:

MRS = MUX/MUY = 2.

Условие равновесия в производстве и обмене – равенство предельной нормы трансформации и предельной нормы замещения: MRT = MRS. X/(4 500 – X2)1/2 = 2; X2 = 4× (4 500 – X2) = 18 000 – 4X2; 5X2 = 18 000; Х = 60; Y = 30.

Задачи

1.Пусть предельная норма технологического замещения труда капиталом в производстве овощей равна 3, а в производстве фруктов 1. Каким образом можно перераспределить эти ресурсы для увеличения эффективности производства?

2.Предельная норма замены кока-колы квасом равна 2. Для увеличения производства кваса на 1 л нужно отказаться от 1 л кока-колы. Можно ли в таких условиях повысить эффективность?

3.Кривая производственных возможностей общества описывается уравнением X2 + Y2 = 1 125. Функция полезности общества представлена в виде U = 4X + 2Y. Определите оптимальный объем производства товаров.

4.Предположим, в экономике существует две отрасли, производство в одной из них монополизировано, в другой – нет. Покажите влияние монополии на общее равновесие.

5.Для двух потребителей товары X и Y служат совершенными заменителями в пропорции 1:1. Общее количество товара Х – 10 шт., товара Y – 20 шт. Первоначальное распределение товаров таково, что первому потребителю принадлежит 8 единиц товара Х и 3 единицы товара Y. Является ли это распределение Парето-эффективным?

6.Производственная функция для товаров А и В описывается уравнениями: Qa = 2KL; Qb = 0,5KL. Общий объем труда – 100 единиц, общий объем капитала – 60 единиц. Постройте кривую производственных контрактов (минимум три точки).

65

7. Пусть имеется экономика с двумя индивидами – А и В. Их предпочтения представлены функциями полезности: UA(XA, YA) = XA1/2YA1/2 и UB(XB, YB) = XB1/3YB2/3. Индивид А изначально располагает 2 единицами блага Х и ни одной единицей блага Y. Индивид В изначально располагает 3 единицами блага Y и ни одной единицей блага Х.

Рассчитайте равновесные цены и равновесное размещение благ между индивидами. Функция полезности индивида А: UA(XA, YA) = XAYA. Функция полезности

индивида В: UВ(XВ, YВ) = min {XВYВ}.

8. Предположим, что индивид 1 обладает 78 единицами блага Х и ни одной единицей блага Y. Его функция полезности U1 = X1Y1 + 2X1 + 5Y1. Допустим, что индивид 2 обладает 164 единицами благам Y и ни одной единицей блага X.

U2 = X2Y2 + 4X2 + 2Y2.

Подсчитайте, каковыми будут соотношения равновесных цен и какова Паре- то-эффективная комбинация благ (подсказка: для решения используйте понятие избыточного спроса индивидов на блага Х и Y – Ех1, Еу1, Ех2, Еу2, выразите через них Х1, Y1, Х2, Y2 в соответствующих функциях полезности индивидов).

9. Функция полезности каждого индивида U = Q10,5Q20,5. Допустим, что в экономике предложение труда и капитала абсолютно неэластично и при этом L = 100 и К = 100. Производственные функции Q1 = K10,5L10,5; Q2 = 1,5L2. Агрегированный доход в этой экономике есть просто сумма доходов факторов, то есть I = PKK + PLL.

9.1. Выведите формулы для расчета спроса и предложения на товарном и факторном рынке и внесите их в таблицу (подсказка: используйте лемму

Шепарда, согласно которой L = ; K = ).

Двухсекторная конкурентная экономика

66

9.2.Рассчитайте равновесные цены товаров и факторов, равновесные количества товаров без привлечения рынка труда (подсказка: примите цену капитала за счетную цену).

9.3.Покажите, что спрос на рынке труда равен предложению.

9.4.Определите, какая доля общего количества располагаемого труда задействована в производстве каждого из товаров. Найдите доход труда и доход капитала в данной экономике.

10. Пусть экономика состоит из двух индивидов, потребляющих два блага (Х

иY). Индивид 1 изначально обладает благом Х в количестве Х1 = 30 единиц и благом Y в количестве Y1 = 120 единиц. Индивид 2 изначально обладает благом Х в количестве Х2 = 180 единиц и благом Y в количестве Y2 = 90 единиц. Их функции полезности U1 = Х1Y1 и U2 = X2Y2 соответственно.

10.1.Нарисуйте коробку Эджуорта, отвечающую этой экономике.

10.2.Каковы уравнения кривых безразличия, проходящих через точку изначального размещения благ между индивидами? Изобразите их в коробке Эджуорта.

10.3.Заштрихуйте область, представляющую Парето-улучшение по отношению к изначальному размещению благ между индивидами.

10.4.Каково уравнение контрактной кривой в данной экономике? Изобразите ее в коробке Эджуорта.

10.5.Определите две крайние точки на контрактной кривой, ограничивающие ядро экономики обмена (выразите их координаты через значения X1 и Y1).

10.6.Предположим, что некий «секретарь рынка» объявил цены благ. Px = 1 денежной единице (д.е.), РY = 2 д.е. Более того, что он изъял блага у каждого индивида и заменил их деньгами. Затем «секретарь рынка» предложил каждому заказать у него такое количество благ, которое максимизирует его полезность при данном бюджетном ограничении. Какое количество благ X и Y закажут индивиды 1 и 2? Сможет ли «секретарь рынка» удовлетворить их заявки? Будет ли заказанная комбинация благ эффективной?

10.7.«Секретарь рынка» поднял РХ до 2 д.е., соблюдая все прежние условия. Сможет ли он теперь удовлетворить заявки? Будет ли финальное размещение благ эффективным, и если сможет, то почему?

10.8.Определите полезности индивидов 1 и 2, используя ответ на предыдущий пункт, и сравните их с соответствующими полезностями в исходном состоянии. Подсчитайте изменение полезности каждого индивида. Является ли переход из исходного состояния в состояние предыдущего пункта паретоулучшением? Какова суммарная полезность индивидов в предыдущем пункте, насколько она изменилась по сравнению с исходным состоянием и может ли она быть повышена за счет иного размещения благ между ними?