5389

Постройте адекватную модель тренда. Сделайте точечный и интервальный прогноз розничного товарооборота до 2014 года (уровень значимости α = 0,05).

6.13. Динамика продажи товара характеризуется следующими данными:

Для определения основной тенденции развития рынка товара постройте адекватную модель тренда. Сделайте точечный и интервальный прогноз объёма реализации товара на I квартал следующего года (уровень значимости α = 0,05).

6.14. Имеются следующие данные о товарных запасах на складе торговой фирмы:

Для определения основной тенденции в развитии уровня запасов постройте уравнение параболы второго порядка. Сделайте прогноз уровня запасов на 2006 г.: а) по методу среднего абсолютного прироста; б) по методу среднего темпа роста; в) на основе аналитического выравнивания.

Рассчитайте среднюю квадратическую ошибку каждого вида прогноза.

6. 15. Имеются следующие данные о динамике поставки шерстяных тканей в розничную сеть области по кварталам за 2010 – 2012 гг., млн руб.:

81

Постройте модель сезонных колебаний уровня товарооборота, используя первую гармонику ряда Фурье.

Тема 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

7.1. Методические указания

Виды связей между признаками

Существующие между признаками связи принято классифицировать на функциональные (жёстко детерминированные) и статистические (стохастически детерминированные).

Связь признака у с признаком х называется функциональной, если каждому возможному значению независимого признака х соответствует одно или несколько строго определённых значений зависимого признака у.

Функциональную связь можно представить уравнением:

Стохастическая связь — это связь между величинами, при которой одна из них, случайная величина у, реагирует на изменение другой величины x или других величин x1, x2, …, xn (случайных или неслучайных).

В случае корреляционной связи среднее значение (математическое ожидание) случайной величины результативного признака у закономерно изменяется в зависимости от изменения другой величины х или других случайных величин x1, x2, …, xn .Такая связь проявляется не в каждом отдельном случае, а во всей совокупности в целом, и только при достаточно большом количестве наблююдений становится очевидным, вызывает ли изменение значений случайного признака х изменение распределения средних величин случайного признака у . Корреляционная связь является частным случаем стохастической связи.

На первом этапе корреляционно-регрессионного анализа устанавливается факт наличия связи и её форма. На втором этапе измеряется теснота связи и проводится оценка её существенности. На заключительном этапе – построение модели связи (уравнения регрессии).

83

Измерение тесноты связи

Для установления факта наличия связи и её формы используют различные методы.

Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит

линейный коэффициент корреляции (r). При любой форме зависимости

(линейной или криволинейной) рассчитывается эмпирическое корреляционное

величины;

y y – отклонения вариантов значений результативного признака от их средней величины;

n– число единиц в совокупности;

x y – среднее квадратическое отклонение соответственно признака-фактора

ирезультативного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение определяется по формуле

2

2 , y

где 2 – межгрупповая дисперсия результативного признака, вызванная влиянием признака-фактора.

у2 – общая дисперсия результативного признака.

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от –1 до +1. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак при этом указывает на направление связи: «+» говорит о прямой связи, «–» – об обратной. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1; чем ближе значение к 1, тем теснее связь, направление связи оно не показывает.

Оценка существенности линейного коэффициента корреляции при большом объёме выборки свыше 500 проводится с использованием t-критерия Стьюдента,

84

который представляет собой отношение отношения коэффициента корреляции (r) к его средней квадратической ошибке ( r ):

При недостаточно большом объёме выборки величина средней квадратической ошибки коэффициента корреляции определяется по формуле

Уравнение регрессии

Если это отношение окажется больше значения t-критерия Стьюдента, определяемого по Приложению 5 при числе степеней свободы k = n – 2 и с вероятностью (1 – a) , то следует говорить о существенности коэффициента корреляции при уровне значимости а = 0,01 или 0,05.

Квадрат коэффициента корреляции r2 называется коэффициентом детерминации и показывает, на сколько процентов вариация результативного признака обусловлена вариацией признака-фактора.

После установления достаточной степени тесноты связи выполняется построение модели связи (уравнения регрессии). Тип модели выбирается на основе сочетания теоретического анализа и исследования эмпирических данных посредством построения эмпирической линии регрессии. Чаще всего используются следующие типы функций:

Для определения численных значений параметров уравнения связи (линии регрессии) используется метод наименьших квадратов и решается система нормальных уравнений.

Для определения параметров уравнения прямолинейной корреляционной связи система нормальных уравнений (для несгруппированных данных) имеет вид:

85

y an b x

yx a x b x2 .

Параметры а и b можно определить и по следующим формулам

а у bx ; b r y .

x

Для проверки возможности использования линейной функции в качестве модели связи определяется разность (ŋ2−r2). Если она менее 0,1, то считается возможным применение линейной функции. Для решения этой же задачи можно использовать величину ω2, определяемую по формуле

где m − число групп, на которое разделён диапазон значений факторного

признака.

Если ω2 окажется меньше табличного значения F-критерия, то нулевая гипотеза о возможности использования в качестве уравнения регрессии линейной функции не опровергается. Значение F – критерия определяется по таблице в зависимости от уровня значимости а = 0,05 (вероятность Р = 0,95) и

числа степеней свободы числителя (k1 = m−2) и знаменателя (k2 = n–m)

(приложение В).

В качестве меры достоверности уравнения корреляционной зависимости используется процентное отношение средней квадратической ошибки уравнения

Se к среднему уровню результативного признака у :

регрессии;

l − число параметров уравнения регрессии.

Если это соотношение не превышает 10 − 15%, то следует считать, что уравнение регрессии достаточно хорошо отображает изучаемую взаимосвязь.

86

7.2. Решение типовых задач

Пример 7.1

Известны следующие данные о величине оборотного капитала и прибыли по

группе предприятий торговли.

На основе приведённых данных: 1) определим тесноту связи между оборотным капиталом и прибылью и дадим оценку существенности линейного коэффициента корреляции; 2) построим уравнение регрессии и оценим возможность использования линейной функции.

Решение

1. Факторный признак – величина оборотного капитала (x); результативный признак – прибыль (y).

Предполагая, что зависимость между оборотным капиталом и прибылью имеет линейную форму, определим тесноту связи на основе линейного коэффициента корреляции. Данные для расчёта приведены во вспомогательной таблице 1:

87

Вспомогательная таблица 1

Линейный коэффициент корреляции составит:

88

Значение линейного коэффициента корреляции 0,95 свидетельствует о прямой и тесной связи между величиной оборотного капитала и прибылью предприятий торговли.

Чтобы это утверждать, дадим оценку существенности линейного коэффициента корреляции на основе расчёта t-критерия Стьюдента:

Показатель tтабл находим по таблицам Стьюдента (приложение Б).

Для числа степеней свободы К = n−2=25−2=23 и уровня значимости 1% tтабл = 2,797; 14,591 > 2,797.

Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать существенность коэффициента корреляции.

2. В случае линейной связи параметры уравнения регрессии ( yˆ a bx) определяются следующим образом:

Используя данные таблицы 1, рассчитаем среднее значение факторного и результативного признака, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Среднее значение факторного признака:

Среднее квадратическое отклонение результативного признака:

89

Теперь можем определить параметры уравнения регрессии:

Подставим значения параметров в уравнение регрессии: yˆ 115 0,4x .

Коэффициент регрессии b = 0,4 говорит о том, что при увеличении оборотного капитала на 1 тыс. руб. прибыль в среднем возрастет на 0,4 тыс. руб., или на 400 руб.

Возможность использования линейной функции может быть оценена на основе величины:

где m − число групп, на которое разделен диапазон значений факторного признака.

Для расчёта ω2 необходимо исчислить эмпирический коэффициент детерминации:

2

2 2 .

Для определения межгрупповой дисперсии произведём группировку по факторному признаку и выполним вспомогательные расчёты (таблица 2).

Таблица 2 – Группировка предприятий по величине оборотного капитала

90