19.3. Используемые конечные элементы

Дискретизация конструкции машины может быть осуществлена, например, двумя видами пространственных стержневых КЭ:

1) стержневой КЭ ELBS6 с 12-ю степенями свободы, представленный на рис. 19.2. В нем учитываются напряженно-деформируемые состояния (НДС) - растяжения-сжатия, кручения и изгиба в двух взаимно перпендикулярных плоскостях;

2) шарнирный стержневой КЭ ELBS3 с 6-ю степенями свободы, учитывающий только НДС - растяжения-сжатия (рис. 19.3).

Рис. 19.2. Стержневой КЭ ELBS6 с 12-ю степенями свободы

и его напряженно-деформируемые состояния: а) НДС растяжения-сжатия;

б) НДС изгиба в плоскости ху; в) НДС изгиба в плоскости xz; г) НДС кручения

Рис. 19.3. Шарнирный стержневой КЭ ELBS6 с 6-ю степенями свободы

При работе двигателя и трансмиссии в конструкции машины наряду с низкочастотными возникают среднечастотные и высокочастотные колебательные процессы. Для описания НДС изгиба в КЭ ELBS6 (рис. 19.2, б, в) использовалась уточненная балочная теория Тимошенко, учитывающая деформации сдвига и инерцию вращении поперечных сечений. Система дифференциальных уравнений равновесия бесконечно малого элемента балки Тимошенко и физических уравнений при изгибе в плоскости ху имеет вид:

(19.15)

(19.16)

где , – линейное и угловое перемещения поперечного сечения; , – поперечная сила и изгибающий момент соответственно; F, , – площадь, момент инерции и коэффициент формы поперечного сечения; , Е, G – плотность материала, модуль упругости и модуль сдвига соответственно.

Аппроксимация функций , внутри КЭ осуществляется по формулам:

(19.17)

где – вектор узловых перемещений НДС изгиба в плоскости ху; , – векторы функций формы.

По предложению В.В. Болотина о качестве функций формы, целесообразно принимать статические линии прогибов балки от единичных смещений ее торцов. Данное предложение позволяет получить высокоточные функции формы , в виде кубических полиномов:

(19.18)

(19.19)

где l – длина КЭ; – относительная координата;

. (19.20)

После интегрирования уравнений равновесия (19.15) с функциями формы , , граничных условий и подстановки физических уравнений (19.16) получаются матричные уравнения равновесия для НДС изгиба стержневого КЭ в виде (19.1), в котором матрицы масс и жесткости определяются выражениями:

(19.21)

где .

Матрицы стержневых КЭ, соответствующие НДС растяжения-сжатия и кручения, хорошо известны в литературе по методам конечных элементов и здесь не приводятся.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается задача прогнозирования виброакустических характеристик машин?

2. Какие существуют методы прогнозирования виброакустических характеристик машин?

3. Какие системные объекты задаются при системном анализе виброакустических процессов в машине?

4. Какие операции включает обратная связь в операционной системе системного анализа?

5. Каковы особенности метода конечных элементов?

6. Написать динамическое уравнение равновесия ансамбля КЭ и узлов МКЭ.

7. Что представляют собой стержневые конечные элементы?