- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.3. Теоремы о пределах функции
Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести все теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.
Теорема 1. Пусть функции и g (x) имеют в точке х0 пределы В и С. Тогда функции , g(x) и (при ) имеют в точке пределы, равные соответственно В С, В С и .
Теорема 2. Пусть функции , и определены в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и функции , имеют в точке предел, равный А, т.е. . Пусть, кроме того, выполняются неравенства . Тогда
.
З а м е ч а н и е. Теоремы 1 и 2 верны также и в случае, когда х0 является одним из символов , +, .
2.4. Два замечательных предела
1. Первый замечательный предел .
С помощью первого замечательного предела вычисляются многие другие пределы.
Пример 1. Найти .
Решение. Знаменатель дроби при стремится к нулю. Поэтому теорема 1 из п. 2.3 здесь неприменима. Для нахождения предела преобразуем данную дробь
Пример 2. Найти
Решение. Имеем
Пример 3. Найти .
Решение. Имеем
2. Второй замечательный предел
Второй замечательный предел имеет широкое применение. С его помощью находятся многие другие пределы.
Пример 4. Найти
Решение. Сделаем замену переменной, полагая . Тогда очевидно, что при . Поэтому
Пример 5. Найти
Решение. Положим . Тогда при и t . Следовательно,
Пример 6. Найти
Решение. Для нахождения предела преобразуем данную дробь:
Но (см. пример 4). Поэтому В частности, при .
2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
1. Бесконечно малые функции.
Определение 1. Функция называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке (или при ), если
Аналогично определяются бесконечно малые функции при х x + x x x0 и х x0+.
Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке »: функция называется бесконечно малой в точке , если для любого существует такое, что для всех х X, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство ; или с помощью логических символов:
( ) ( ) ( , , : |;
и «на языке последовательностей»: функция называется бесконечно малой в точке , если для любой сходящейся к последовательности { } значений аргумента х, отличных от , соответствующая последовательность { } является бесконечно малой.
(29)
Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые последовательности. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при , а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при .
Все сказанное о бесконечно малых функциях при справедливо и для бесконечно малых функций при x x x0 и х x0+.