- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Библиографический список
Шипачев В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. М.: Наука, 2000.
Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1980.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1985. Т.1. 429 с.
4. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике / В.С. Шипачев. М.: Наука, 1998.
5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман. – М.: Наука, 1989. 416 с.
6. Каплан И.А. Практические занятия по высшей
математике / И.А. Каплан. – Харьков: ХГУ, 1973. Ч. 1, 2.
7. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова - М.: Высш. шк., 1986. Ч. 1. – 304 c.
Оглавление
Введение...............................................................................3
1. Предел последовательности …..……………..…………4
1.1. Множество действительных чисел………………….4
1.2. Числовые последовательности ……………………..7
1.3. Сходящиеся последовательности….………………..9
1.4. Монотонные последовательности .………………..13
2. Функции одной переменной ...……………………......18
2.1. Классификация функций ……………………..……18
2.2. Предел функции …………………………………… 22
2.3. Теоремы о пределах функции ……………….......... 28
2.4. Два замечательных предела..………………………. 29
2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции ………………………….……………………………. 31
2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших
функций ……………………….……..................…. 33
2.7. Непрерывные функции ………………………….....36
2.8. Классификация точек разрыва..…………………… 39
2.9. Основные свойства непрерывных функций ……....40
3. Дифференцирование ……..……………………………...46
3.1. Производная функции ………………………........... 46
3.2. Дифференцируемость функции …………………... 51
3.3. Дифференциал функции …………………………... 52
3.4. Правила дифференцирования. Производные
основных элементарных функций…..…………. 55
3.5. Производные и дифференциалы высших порядков ...………………………………….............................. 63
3.6. Параметрическое задание функции и ее
дифференцирование ……………………………..... 66
4. Применение дифференциального исчисления к
исследованию функций...................................................73
4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
…...................................................................................73
4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.77
4.3. Формула Тейлора …....................................................82
4.4. Исследование поведения функций и построение
графиков ……..............................................................86
5. Функции нескольких переменных….……....………..111
5.1. Предварительные сведения: n-мерное координатное
и n–мерное евклидово пространства.....….……….112
5.2. Понятие функции многих переменных ..……........117
5.3. Предел функции нескольких переменных..............126
5.4. Непрерывность функции нескольких переменных.139
5.5. Частные производные функции нескольких
переменных………………………………………….147
5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных ....……………………………………...156
Библиографический список …………………..…..…181