- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5. Функции нескольких переменных Введение
Между функциями одной и функциями нескольких переменных имеются существенные различия. Одномерное пространство изменения аргумента функции одной переменной «склеивает» некоторые характеристики функций. Переход от двух переменных к большему их числу, как правило, не представляет затруднений, если не принимать во внимание потерю наглядности графика таких функций.
Зависимость между несколькими переменными величинами, при которой значение одной из них полностью определяется значениями остальных переменных, возникает во многих вопросах естествознания.
Например, наиболее простое термическое уравнение состояния реального газа – уравнение Ван-дер-Ваальса, связывает три переменных p, V, T:
,
где p, V, T – давление, объем газа и его абсолютная температура; R – универсальная газовая постоянная; a и b – постоянные, не зависящие от p, T, но разные для разных газов. Таким образом, это соотношение определяет температуру реального газа в зависимости от значений переменных p и V.
При рассмотрении физических характеристик тела (например, его плотности или температуры T) приходится учитывать изменение этих характеристик при переходе от одной точки тела к другой. Каждую же точку тела можно задать тремя декартовыми координатами x, y, z. Это означает, что рассматриваемая величина (плотность или температура T) определяется значениями трех переменных x, y и z. Если проводится описание физического процесса, то значения физических величин определяются значениями уже четырех
переменных: трех координат точки x, y, z и времени t. Так, при изучении звуковых колебаний газа, его плотность и давление p определяются значениями четырех переменных x, y, z и t.
При изучении экономического поведения индивида учитываются определённого вида зависимости между доходами и его потребностями. Если доля дохода потребителя, которую необходимо потратить для его жизнеобеспечения, равна M, то эта величина зависит от количеств определенных продуктов и диктуемой рынком стоимостью единиц этой продукции .
Для изучения такого рода зависимостей в этой главе вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций. В дальнейшем мы ограничимся изучением в основном функций двух и трех аргументов, причём областью значений будут являться числовые множества.
5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
Координатное и евклидово пространства.
При изложении теории функций многих переменных используют геометрические понятия, обобщающие наши представления о плоскости и о трехмерном геометрическом пространстве.
Координатным n – мерным пространством называется множество всевозможных упорядоченных совокупностей ( ) вещественных чисел . Будем обозначать n - мерное координатное пространство символом . Каждую упорядоченную совокупность ( ) будем называть точкой n – мерного координатного пространства и обозначать буквой (например, M). Числа будем называть координатами точки.
Запись M( ) означает, что точка М имеет координаты .
Если сопоставить каждой точке координатного пространства вектор с координатами и назвать суммой векторов и вектор с координатами ( ), а произведением вектора на вещественное число вектор , то координатное пространство превращается в линейное пространство.
Для построения теории функций многих переменных недостаточно введения n – мерного координатного пространства. Необходимо ввести расстояние между точками координатного пространства.
Определение. Координатное пространство называется n – мерным евклидовым пространством, если между любыми точками и пространства определено расстояние, обозначаемое символом и выражающееся соотношением
. (5.1)
Обозначается n – мерное евклидово пространство символом .
З а м е ч а н и е. В курсе линейной алгебры, изучаемом в первом семестре, давалось общее определение евклидова пространства как такого линейного пространства, для которого предписано правило, ставящее в соответствие любым двум элементам (векторам) и этого пространства действительное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом или ( ). Это правило удовлетворяет требованиям: 1) ( )=( ), 2) ( )=( )+( ), 3) ( )= ( ), 4) , причем только при , где .
Если в пространстве , элементы которого рассматривать как векторы , , …, определить скалярное произведение соотношением
, (5.2)
то будут выполнены указанные выше четыре условия и пространство превратится в евклидово пространство с точки зрения общего определения евклидова пространства, сформулированного в линейной алгебре.