3.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий [4].

1. Вероятность появления одного из двух несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B).

2. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице: .

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Обозначение: .

3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же событии.

4. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: .

Пример 3.12. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равна Найти вероятность попадания в цель при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение

1.События А – попадание из 1-го орудия, В – попадание из 2-го орудия, независимы [2].

Вероятность события AB (оба орудия дали попадание)

Искомая

2. Т.к. А, В независимы, то

Ответ: 0,94.

Пример 3.13. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимали по одному шару, не возвращая обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А) [2].

Решение

После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая вероятность условная:

= 0,6.

Этот же результат можно получить по формуле

(Проверить самостоятельно).

Пример 3.14. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что извлекают один шар наудачу, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В) и при третьем – синий (событие С) [2].

Решение

Вероятность появления белого шара в первом испытании

.

Вероятность появления черного шара во втором испытании в предположении, что в первом испытании появился белый, т.е. условная вероятность

.

Вероятность появления синего шара в третьем испытании вычислена в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором – черный, т.е. условная вероятность:

.

Искомая вероятность .

Пример 3.15. Два стрелка производят по одному выстрелу по одной мишени. Первый попадает в мишень с вероятностью 0,8, второй - с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка попадут в мишень; б) оба стрелка промахнутся; в) только один стрелок попадет; г) хотя бы один стрелок попадет в мишень [2].

Решение

Пусть событие А означает, что первый стрелок попал в мишень, событие В – попал второй. По условию , .

а) Пусть событие С - оба стрелка попали в мишень, тогда . Поэтому, учитывая независимость событий А и В, по теореме умножения вероятностей имеем ;

б) перейдем к противоположным событиям, которые состоят в том, что первый стрелок промахнулся , а второй стрелок промахнулся . Тогда событие означает, что оба стрелка промахнулись.

;

в) событие Е – только один стрелок попал можно представить в виде . События и несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим

;

г) вероятность появления хотя бы одного из совместных событий А, В равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий , . Пусть событие F - хотя бы один стрелок попал. Тогда

.