- •Тема 1. Модели линейного программирования
- •Примеры задач линейного программирования
- •Выражения (1.1), (1.2) и (1.3) составляют экономико-математическую модель задачи линейного программирования.
- •2. Задача оптимального использования ресурсов
- •Условия неотрицательности получаемого решения
- •Условие неотрицательности решения
- •4. Задача составления оптимальной смеси (задача диеты)
- •Условие неотрицательности решения
- •Условие неотрицательности решения
- •Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
- •Решение задач линейного программирования симплекс-методом
- •Тема 2. Транспортная задача
- •Нахождение первоначального опорного плана
- •Циклы пересчёта
- •Открытая транспортная задача
- •Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих дополнительные условия
- •Распределительный метод решения транспортной задачи
- •Метод потенциалов
- •Тема 3. Сетевые модели и методы
- •Сетевая модель и ее основные элементы
- •Допустим, перед фирмой стоит задача реконструкции помещения. Перечень работ представлен в табл. 3.1. Сетевой график представлен на рис. 26.
- •Правила построения сетевых графиков
- •Понятие пути
- •Построение графика Ганта
- •Расчет временных параметров событий
- •Поздний срок свершения завершающего события
- •Расчет временных параметров работ
- •Сетевое планирование в условиях неопределённости
- •Тема 4. Элементы теории массового обслуживания
- •Классификация систем массового обслуживания
- •Расчёт показателей качества функционирования систем массового обслуживания
- •(Замкнутая система массового обслуживания)
- •Тема 5. Модель межотраслевого баланса
- •Характеристика основных разделов и схема межотраслевого баланса
- •Основные балансовые соотношения
- •Экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Модель Леонтьева
- •Методы отыскания вектора валовых выпусков
- •Отыскание вектора конечной продукции
- •Смешанная задача межотраслевого баланса
- •Коэффициенты полных материальных затрат
- •Коэффициенты косвенных затрат
- •Тема 6. Модели управления запасами
- •Тема 7. Элементы теории игр
- •Матричные игры
- •Игра с седловой точкой
- •Решение игры в смешанных стратегиях
- •Игра два на два (2 х 2)
- •Геометрическое решение игры
- •Игры 2 х n и m х 2
- •Тема 8. Элементы теории статистических игр. Игры с «природой»
- •Критерии выбора стратегии
- •Заключение
- •Библиографический Список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
(Замкнутая система массового обслуживания)
Вероятность того, что в системе занято k обслуживающих аппаратов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда очереди нет:
Рk = k Р0, (0 k n), (4.15)
где k– число требований; n – число обслуживающих аппаратов; m – наибольшее возможное число требований, находящихся в обслуживаемой системе одновременно.
Вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда есть очередь:
Рk = k Р0, (n < k m). (4.16)
Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны:
Р0 = ( k + k)-1. (4.17)
Введем обозначения для краткой записи ( ) и ( ), тогда
Р0 = ( + )-1. (4.18)
Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания, т.е. средняя длина очереди
М1 = Рk. (4.19)
Коэффициент простоя обслуживаемого требования в ожидании обслуживания
К1 = . (4.20)
Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе, т.е. в очереди и в обслуживании
М2 = Рk. (4.21)
Коэффициент простоя обслуживаемого требования в обслуживающей системе
К2 = . (4.22)
Среднее число свободных обслуживающих аппаратов
М3 = Рk. (4.23)
Коэффициент простоя обслуживающего аппарата
К3 = . (4.24)
Пример. Два рабочих обслуживают группу из 9 станков. В среднем каждый станок останавливается один раз в час. Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 6 мин. Определить основные характеристики эффективности функционирования системы массового обслуживания.
Решение. n = 2, m = 9, = 1, = 6 мин = 0,1 ч.,
= = 10, = = 0,1.
В любой момент времени система находится в одном из своих возможных состояний:
k = 0 – все станки работают, очереди нет;
k = 1 – один станок обслуживается, очереди нет;
k = 2 – два станка обслуживаются, очереди нет;
k = 3 – два станка обслуживаются, один в очереди, остальные работают;
…………………………..………………………………
k = 9 – два станка обслуживаются, семь в очереди на обслуживание, т.е. ни один станок не работает.
Этим состояниям системы соответствуют вероятности:
Р0, Р1, Р2, Р3, …, Р9.
Определим значения для случая, когда очереди нет
(0 k 2):
0 = 0,1 = 1; 1 = 0,11 = 0,9; 2 = 0,12 = 0,36.
Определим значения для случая, когда очередь есть
(3 k 9):
3 = 0,13 = 0,126; … 9= 0,19 = 0,0000014175.
Вероятность того, что в системе не будет ни одного требования:
Р0 = (2,43545)-1 = 0,4106.
Среднее число станков, стоящих в очереди:
М1 = Рk = 0,098.
Это означает, что в среднем из 9 станков 0,098 простаивают в очереди на обслуживание.
Коэффициент простоя станка в очереди
К1 = = 0,011.
Это означает, что в среднем каждый станок 1,1 % времени простаивает в очереди.
Среднее число простаивающих станков (в очереди и обслуживании)
М2 = Рk = 0,907.
Это означает, что в среднем 95 % рабочего времени 1 станок из 9 не будет работать.
Коэффициент простоя станка в системе обслуживания
К2 = = 0,1008.
Это означает, что 10,08 % времени в среднем будет простаивает каждый станок из 9.
Среднее число свободных обслуживающих аппаратов (рабочих)
М3 = Рk = 1,1907.
Это означает, что из двух человек в среднем один всегда свободен, а другой свободен в течение 18,6 % времени.
Коэффициент простоя рабочего
К3 = = 0,595.
Это означает, что в среднем каждый рабочий 59,5 % рабочего времени простаивает без работы.
Результаты расчетов представлены в таблице 4.2.
Для автоматизации расчёта характеристик многоканальной замкнутой системы массового обслуживания возможно использование программы «Теория массового обслуживания» из ППП PRIMA. Выбор вида модели осуществляется в закладке Параметры и завершается нажатием кнопки Выбор (рис. 60).
Рис. 60. Выбор модели СМО
Таблица 2.2
Число требований, k |
Число требований, ожидающих обслуживания, k - n |
Число свободных рабочих, n - k |
и |
Рk=kР0 |
(k-n) Рk |
kРk |
(n-k) Рk |
0 |
- |
2 |
1 |
0,4106 |
- |
- |
0,8212 |
1 |
- |
1 |
0,9 |
0,3695 |
- |
0,3695 |
0,3695 |
2 |
- |
- |
0,36 |
0,1478 |
- |
0,2956 |
- |
3 |
1 |
- |
0,126 |
0,0517 |
0,0517 |
0,1551 |
- |
4 |
2 |
- |
0,0378 |
0,0155 |
0,031 |
0,062 |
- |
5 |
3 |
- |
0,00945 |
0,00388 |
0,01164 |
0,0194 |
- |
6 |
4 |
- |
0,00189 |
0,000776 |
0,003104 |
0,004656 |
- |
7 |
5 |
- |
0,0002835 |
0,0001164 |
0,000582 |
0,0008148 |
- |
8 |
6 |
- |
0,0002835 |
0,0000116 |
0,0000696 |
0,0000928 |
- |
9 |
7 |
- |
0,0000014175 |
0,0000005 |
0,0000035 |
0,0000045 |
- |
|
- |
- |
2,43545 |
- |
0,098 |
0,907 |
1,1907 |
В качестве исходных данных многоканальной замкнутой модели СМО следует ввести интенсивность входного потока требований и интенсивность обслуживания, число каналов обслуживания и число источников требований (максимально возможное число заявок в системе (рис. 61).
Рис. 61. Ввод исходных данных СМО в диалоговую форму
Результаты расчёта характеристик замкнутой многоканальной системы массового обслуживания представлены на рис. 62.
Рис. 62. Расчёт характеристик замкнутой СМО
Принятие решения о выборе оптимальной системы массового обслуживания требует многократного расчёта параметров системы массового обслуживания при изменении значений исходных данных. Выбор оптимального (рационального) варианта осуществляется согласно принятому критерию эффективности. Так, величина затрат, связанных с пребыванием в очереди одного требования (заявки) имеет вид
,
где С - величина затрат, связанных с пребыванием в очереди одного требования, ден.ед./час; n – число каналов обслуживания; - интенсивность входного потока, заявок/час; Соч –издержки, связанные с пребыванием в очереди одного требования, ден.ед./час; tоч – среднее время ожидания в очереди, час; Соб – затраты на содержание обслуживающего устройства (канала).