Классификация систем массового обслуживания
Первым признаком, позволяющим классифицировать системы массового обслуживания, является поведение требований, поступивших в обслуживающую систему в тот момент, когда все обслуживающие аппараты заняты. Выделяются следующие типы систем:
а) системы с потерями или отказами (если нет свободного аппарата, заявка покидает систему не обслуженной);
б) системы с ожиданием или без потерь (заявки дожидаются обслуживания в очереди);
в) смешанные системы (заявки присоединяются к очереди, если она не больше определенной длины, или покидают очередь не обслуженными, если закончилось допустимое время ожидания).
Второй признак – все системы массового обслуживания могут быть подразделены в зависимости от количества обслуживающих аппаратов на системы с ограниченным (конечным) и с неограниченным числом обслуживающих аппаратов.
Третий признак – СМО подразделяются по числу требований, которые одновременно могут находиться в обслуживающей системе, на системы с ограниченным и неограниченным потоком требований. В замкнутых системах источники требований находятся внутри системы, а в разомкнутых – вне её.
Четвертый признак – СМО могут подразделяться в зависимости от дисциплины обслуживания на системы с упорядоченной очередью, с неупорядоченным (случайным) выбором из очереди и с приоритетом обслуживания.
Расчёт показателей качества функционирования систем массового обслуживания
Чтобы улучшить работу СМО путем изменения ее организации, необходимо рассчитать показатели качества её функционирования при существующем варианте организации и при других возможных вариантах и на основе этих расчетов принять решение.
А. Система обслуживания с потерями (отказами)
Вероятность того, что в обслуживающей системе находится точно k требований, т.е. занято k обслуживающих аппаратов:
Рk
=
Р0
,
(4.8)
где k – число требований в системе (k = 1, 2, 3, …, n); n – число обслуживающих аппаратов; Р0 – вероятность того, что в системе нет ни одного требования.
Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны (простаивают):
Р0
= (
)-1
. (4.9)
Вероятность отказа в обслуживании. Отказ происходит в случае, когда все обслуживающие аппараты заняты. Тогда вероятность отказа равна вероятности того, что все аппараты заняты, или вероятности того, что в системе находится ровно n требований:
Ротказа
= Pn
=
(
)-1
. (4.10)
Относительная пропускная способность и вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена
Q = Pобс = 1 – Pотк = 1 – Pn . (4.11)
Абсолютная пропускная способность и интенсивность выходящего потока обслуженных заявок
A = Q = (1 – Pn). (4.12)
Степень загрузки системы характеризуется средним числом занятых обслуживающих аппаратов
М
=
=
(1 – Pn). (4.13)
Коэффициент загрузки обслуживающего аппарата
Кзаг = М / n . (4.14)
Пример. В механическом цехе на одном участке работают 3 контролёра. Если деталь поступает в ОТК, когда контролёры заняты, она уходит на склад готовой продукции, не ожидая контроля. Известно, что среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение 1 ч. равно 24, а среднее время обслуживания равно 5 мин. Какова вероятность того, что деталь не будет проконтролирована и насколько будут загружены контролёры работой
Решение.
n
= 3,
= 24,
= 5 мин =
ч.,
=
=
12,
=
=
=
2, n
.
Ротказа
=
=
+
)-1
=
=
(1+ 2 + 2 +
)-1
=
(
)-1
=
= 0,21.
Вероятность отказа 0,21 означает, что из 100 деталей в среднем ОТК пройдет 79 деталей и не пройдет 21 деталь.
Определим степень загрузки контролёров
М
=
=
0
Р0
+ 1
Р1
+ 2
Р2
+ 3
Р3
.
Расчеты представлены в следующей таблице.
Таблица 4.1
Число занятых контролеров |
Рk/Ро= |
Рk = Р0 |
k Рk |
0 |
1 |
0,16 |
0 |
1 |
2 |
0,32 |
0,32 |
2 |
2 |
0,32 |
0,64 |
3 |
4/3 |
0,21 |
0,63 |
|
19/3 |
1 |
1,59 |
Р0
= (
)-1
= 0,16;
М = 1,59 означает, что полностью занято более полутора контролёров.
Коэффициент загрузки одного контролёра
Кзаг
=
=
0,53,
т.е. каждый контролёр в среднем занят более половины дня.
Для автоматизации расчёта характеристик системы массового обслуживания возможно использование программы «Теория массового обслуживания» из ППП PRIMA (рис. 57).
Рис. 57. Ввод исходных данных СМО в диалоговую форму
Выбор модели СМО осуществляется с помощью закладки Параметры. Для этого необходимо выделить требуемый вид модели и нажать кнопку Выбор (рис. 58). Исходными данными для многоканальной системы массового обслуживания с отказами являются: интенсивность входного потока , интенсивность обслуживания и число каналов обслуживания n (рис. 57). Результаты расчётов характеристик СМО с отказами в ППП PRIMA представлены на рис. 59.
Рис. 58. Выбор модели СМО
Рис. 59. Результаты расчётов характеристик СМО с отказами
Б. Система обслуживания с ожиданием или без потерь