- •Введение
- •§1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •Скорость прямолинейного движения
- •Касательная к кривой
- •1.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
- •1.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •1.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •1.5. Производная сложной и обратной функций
- •1.6. Производные основных элементарных функций Степенная функция
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции
- •Обратные тригонометрические функции
- •1.7. Гиперболические функции и их производные
- •1.8. Таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования
- •§2. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •2.1. Неявно заданная функция
- •2.2. Функция, заданная параметрически
- •§3. Логарифмическое дифференцирование
- •§4. Производные высших порядков
- •4.1. Производные высших порядков явно заданной функции
- •4.2. Механический смысл производной второго порядка
- •4.3. Производные высших порядков неявно заданной функции
- •4.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •§5. Дифференциал функции
- •5.1. Понятие дифференциала функции
- •5.2. Геометрический смысл дифференциала функции
- •5.3. Основные теоремы о дифференциалах
- •5.4. Таблица дифференциалов
- •5.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •5.6. Дифференциалы высших порядков
- •§6. Исследование функций при помощи производных
- •6.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •6.2. Правила Лопиталя
- •Раскрытие неопределенностей различных видов
- •6.3. Возрастание и убывание функций
- •6.4. Максимум и минимум функций
- •6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •6.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •6.7. Асимптоты графика функции
- •6.8. Общая схема исследования функции и построения графика
- •§ 7. Формула тейлора
- •7.1. Формула Тейлора для многочлена
- •7.2. Формула Тейлора для произвольной функции
- •Библиографический список
5.6. Дифференциалы высших порядков
Пусть дифференцируемая функция, а ее аргумент —независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть также функция ; можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается или .
Итак, по определению . Найдем выражение второго, дифференциала функции .
Так как не зависит от , то при дифференцирования считаем постоянным:
,
т.е.
. (5.5)
Здесь обозначает .
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:
.
И, вообще, дифференциал -го порядка есть дифференциал от дифференциала ( )-го порядка: .
Отсюда находим, что . В частности, при = 1, 2, 3 соответственно получаем:
, ,
т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если — независимая переменная. Если же функцию , где — функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения , получаем:
,
т.е.
(5.6)
Сравнивая формулы (5.5) и (5.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое .
Ясно, что если — независимая переменная, то
и формула (5.6) переходит в формулу (5.5).
Пример 5.6. Найти , если и — независимая переменная.
Решение: Так как , , то по формуле (5.5) имеем .
Пример 5.7. Найти , если и и — независимая переменная.
Решение: Используем формулу (5.6): так как
, , , ,
то
.
Другое решение: , . Следовательно, . Тогда по формуле (5.5)
,
т.е.
.
§6. Исследование функций при помощи производных
6.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.
Теорема 6.1 (Ролля). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .
Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, и . Если , то функция постоянна на и, следовательно, ее производная в любой точке отрезка .
Если , то функция достигает хотя бы одно из значений или во внутренней точке с интервала , так как .
Пусть, например, функция принимает значение в точке , т.е. . Тогда для всех выполняется соотношение
. (6.1)
Найдем производную в точке :
.
В силу условия (6.1) верно неравенство . Если (т.е. справа от точки ), то
поэтому .
Если , то
и .
Таким образом, .
В случае, когда , доказательство аналогичное.
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси (см. рис. 6.1 и 6.2). На рисунке 6.3 таких точек две.
Рис. 6.1 Рис. 6.2
Рис. 6.3
Теорема 6.2 (Коши). Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем для , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство .
Доказательство. Отметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с, такая, что , чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию
.
Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , так как является
линейной комбинацией функций и ; на концах отрезка она принимает одинаковые значения .
На основании теоремы Ролля найдется точка такая, что . Но , следовательно,
.
Отсюда следует
и .
Теорема 6.3 (Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство
. (6.2)
Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив , находим , , .
Подставляя эти значения в формулу получаем или .
Полученную формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Запишем формулу (6.2) в виде
,
где . Отношение есть угловой коэффициент секущей , а величина — угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой .
Рис. 6.4
Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции найдется точка (см. рис. 6.4), в которой касательная к графику функции параллельна секущей .
Следствие 6.1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.
Доказательство. Пусть для . Возьмем произвольные и из и пусть . Тогда по теореме Лагранжа такая, что . Но по условию , стало быть, , где . Поэтому имеем , т.е. . А так как и — произвольные точки из интервала , то имеем .
Следствие 6.2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Доказательство. Пусть при . Тогда . Следовательно, согласно следствию 6.1, функция есть постоянная, т.е. для .
Пример 6.1. Доказать, что , где .
Решение: Пусть . Тогда имеем . Отсюда следует, что , т.е. . Положив , находим , т.е. .
Поэтому . Это равенство выполняется и при (проверьте!).
Аналогично доказывается, что .
Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему Лагранжа к отрезку ( ), будем иметь
. (6.3)
Каждое число можно записать в виде , где (действительно, ; положим ). Формула (6.3) примет вид
, где .
Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность приближенного равенства . Сделаем это, считая, что функция имеет непрерывную вторую производную :
,
где .
Итак, . Пусть . Так как , a , то получаем оценку .