- •Введение
- •§1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •Скорость прямолинейного движения
- •Касательная к кривой
- •1.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
- •1.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •1.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •1.5. Производная сложной и обратной функций
- •1.6. Производные основных элементарных функций Степенная функция
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции
- •Обратные тригонометрические функции
- •1.7. Гиперболические функции и их производные
- •1.8. Таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования
- •§2. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •2.1. Неявно заданная функция
- •2.2. Функция, заданная параметрически
- •§3. Логарифмическое дифференцирование
- •§4. Производные высших порядков
- •4.1. Производные высших порядков явно заданной функции
- •4.2. Механический смысл производной второго порядка
- •4.3. Производные высших порядков неявно заданной функции
- •4.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •§5. Дифференциал функции
- •5.1. Понятие дифференциала функции
- •5.2. Геометрический смысл дифференциала функции
- •5.3. Основные теоремы о дифференциалах
- •5.4. Таблица дифференциалов
- •5.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •5.6. Дифференциалы высших порядков
- •§6. Исследование функций при помощи производных
- •6.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •6.2. Правила Лопиталя
- •Раскрытие неопределенностей различных видов
- •6.3. Возрастание и убывание функций
- •6.4. Максимум и минимум функций
- •6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •6.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •6.7. Асимптоты графика функции
- •6.8. Общая схема исследования функции и построения графика
- •§ 7. Формула тейлора
- •7.1. Формула Тейлора для многочлена
- •7.2. Формула Тейлора для произвольной функции
- •Библиографический список
6.4. Максимум и минимум функций
Точка называется точкой максимума функции , если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .
Аналогично определяется точка минимума функции: — точка минимума функции, если . На рисунке 6.6 — точка минимума, а точка — точка максимума функции .
Значение функции веточке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.
Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 6.8 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: .
Доказательство. Пусть, для определенности, — точка максимума. Значит, в окрестности точки выполняется неравенство . Но тогда , если , и , если . По условию теоремы производная
существует. Переходя к пределу, при , получим , если , и , если . Поэтому . Аналогично доказывается утверждение теоремы 6.8, если — точка минимума функции .
Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику, параллельна оси см. рис. 6.6).
Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если , то это не значит, что — точка экстремума. Например, для функции
Рис. 6.6
ее производная равна нулю при , но не точка экстремума (см. рис. 6.7).
Рис. 6.7
Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция в точке производной не имеет, но точка — точка минимума (см. рис. 6.8).
Рис. 6.8
Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Теорема 6.9 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то — точка минимума.
Доказательство. Рассмотрим -окрестность точки . Пусть выполняются условия: и . Тогда функция возрастает на интервале , а на интервале она убывает. Отсюда следует, что значение в точке является наибольшим на интервале , т. е. для всех . Это и означает, что — точка максимума функции.
Графическая интерпретация доказательства теоремы 6.9 представлена на рисунке 6.9.
Аналогично теорема 6.9 доказывается для случая, когда и .
Рис. 6.9
Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем 6.8 и 6.9 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум:
найти критические точки функции ;
выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;
исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек;
в соответствии с теоремой 6.9 (достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.
Пример 6.9. Найти экстремум функции .
Решение: Очевидно, . Находим , т.е. .
Производная не существует при и равна нулю при . Эти точки разбивают всю область определения данной функции на три интервала , , . Отметим на рисунке 6.10 знаки производной слева и справа от каждой из критических точек.
Рис. 6.10
Следовательно, — точка максимума, , и — точка минимума, .
Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак, существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.
Теорема 6.10. Если в точке первая производная функции равна нулю ( ), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля ( ), то при в точке функция имеет максимум и минимум — при .
Доказательство. Пусть для определенности . Так как
,
то в достаточно малой окрестности точки . Если , то ; если , то .
Таким образом, при переходе через точку первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 6.9, есть точка минимума.
Аналогично доказывается, что если , то в точке функция имеет максимум.
Рис. 6.11