5.2. Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции в точке ка­сательную и рассмотрим ордина­ту этой касательной для точки (см. рис. 5.1). На рисунке , . Из прямоугольного треугольника имеем:

, т.е. .

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . По­этому .

Рис. 5.1

Сравнивая полученный результат с формулой (5.1), получаем , т.е. дифференциал функции в точке ра­вен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение .

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

5.3. Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции ( ) и соот­ветствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции равна нулю, то диф­ференциал постоянной величины равен нулю: .

Теорема 5.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

,

,

.

Доказательство. Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

.

Теорема 5.2. Дифференциал сложной функции равен произведе­нию производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Доказательство. Пусть и две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию . По теореме о производной слож­ной функции можно написать

.

Умножив обе части этого равенства на , получаем . Но и . Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

.

Сравнивая формулы и , видим, что пер­вый дифференциал функции определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала. Формула по внешнему виду совпадает с формулой , но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле — независимая переменная, следовательно, , во второй формуле есть функция от , поэтому, вообще говоря, .

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например, .

5.4. Таблица дифференциалов

1. ;

2. , в частности, ;

3. , в частности, ;

4. , если ;

5. , если , ;

6. ;

7. ;

8. , в частности, ;

9. , в частности,

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. 

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. 

21. 

5.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение функции в точке можно представить в виде , где при , или . Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем , получаем приближенное равенство

, (5.3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше .

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируе­мой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем прира­щение функции, поэтому формула (5.3) широко применяется в вычи­слительной практике.

Пример 5.3. Найти приближенное значение приращения функ­ции при и .

Решение: Применяем формулу (5.3): .

.

Итак, .

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифферен­циал функции вместо ее приращения. Для этого найдем :

.

Абсолютная погрешность приближения равна

.

Подставляя в равенство (5.3) значения и , получим

или

(5.4)

Формула (5.4) используется для вычислений приближенных зна­чений функций.

Пример 5.4. Вычислить приближенно .

Решение: Рассмотрим функцию . По формуле (5.4) имеем:

,

т.е.

.

Так как , то при и получаем:

.

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (5.4) не превышает величины , где — наибольшее значение на сегменте .

Пример 5.5. Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела , = 1,6 м/с².

Решение: Требуется найти . Воспользуемся приближенной формулой ( )

.

При с и с, , находим

(м).

Задача (для самостоятельного решения). Тело массой = 20 кг движется со скоростью = 10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела ( , (Дж)).