- •Введение
- •§1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •Скорость прямолинейного движения
- •Касательная к кривой
- •1.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
- •1.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •1.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •1.5. Производная сложной и обратной функций
- •1.6. Производные основных элементарных функций Степенная функция
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции
- •Обратные тригонометрические функции
- •1.7. Гиперболические функции и их производные
- •1.8. Таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования
- •§2. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •2.1. Неявно заданная функция
- •2.2. Функция, заданная параметрически
- •§3. Логарифмическое дифференцирование
- •§4. Производные высших порядков
- •4.1. Производные высших порядков явно заданной функции
- •4.2. Механический смысл производной второго порядка
- •4.3. Производные высших порядков неявно заданной функции
- •4.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •§5. Дифференциал функции
- •5.1. Понятие дифференциала функции
- •5.2. Геометрический смысл дифференциала функции
- •5.3. Основные теоремы о дифференциалах
- •5.4. Таблица дифференциалов
- •5.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •5.6. Дифференциалы высших порядков
- •§6. Исследование функций при помощи производных
- •6.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •6.2. Правила Лопиталя
- •Раскрытие неопределенностей различных видов
- •6.3. Возрастание и убывание функций
- •6.4. Максимум и минимум функций
- •6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •6.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •6.7. Асимптоты графика функции
- •6.8. Общая схема исследования функции и построения графика
- •§ 7. Формула тейлора
- •7.1. Формула Тейлора для многочлена
- •7.2. Формула Тейлора для произвольной функции
- •Библиографический список
Введение
Математика – самая древняя и в то же время самая юная из наук. Она складывалась во втором тысячелетии до нашей эры, когда потребности торговли, землемерия и мореплавания заставили упорядочить приемы счета и измерения, начало которых уходит в еще более глубокую древность. Уже строители египетских пирамид владели математическими знаниями. Сложившись, математика не переставала развиваться, разрабатывались новые методы, открывались новые области, совершенствовалась символика и научный аппарат. Многие открытия в огромной степени создали возможность, как для собственного развития, так и для развития других наук, таких, как физика и астрономии.
До сих пор математика продолжает развиваться, поражая воображение многообразием специальных областей, новизной и необычностью используемых представлений и понятий, неожиданным своеобразием методов, особенностями языка. Сила математики в её способности создавать все более высокие абстракции, оперировать ими и изучать их особенности и закономерности. Именно поэтому математические методы можно применять в различных науках помимо физики по мере того, как они сами становятся теоретическими.
В данном учебном пособии излагаются основы высшей математики, поэтому он будет полезен для студентов первого курса заочной формы обучения. Авторы стремились изложить материал по возможности полно. В учебном пособии изложен и теоретический материал, и идет подробное решение типовых заданий.
§1. Производная функции
1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.
Скорость прямолинейного движения
Пусть материальная точка (некоторое тело) движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени соответствует определенное расстояние до некоторой фиксированной точки . Это расстояние зависит от истекшего времени , т. е. .
Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.
Е сли в некоторый момент времени точка занимает положение , то в момент времени ( — приращение времени) точка займет
Рис. 1.1
положение , где ( — приращение расстояния) (см. рис. 1.1). Таким образом, перемещение точки за время будет .
Отношение выражает среднюю скорость движения точки за время :
.
Средняя скорость зависит от значения : чем меньше , тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени .
Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через , получим
, или (1.1)
Касательная к кривой
Дадим сначала общее определение касательной к кривой.
Рис. 1.2
Возьмем на непрерывной кривой две точки и (см. рис. 1.2).
Прямую , проходящую через эти точки, называют секущей.
Пусть точка , двигаясь вдоль кривой , неограниченно приближается к точке . Тогда секущая, поворачиваясь около точки , стремится к некоторому предельному положению .
Касательной к данной кривой в данной точке называется предельное положение секущей , проходящей через точку , когда вторая точка пересечения неограниченно приближается по кривой к точке .
Рассмотрим теперь график непрерывной кривой , имеющий в точке невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где — угол касательной с осью .
Для этого проведем через точку и точку графика с абсциссой секущую (см. рис. 129). Обозначим через — угол между секущей и осью . На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен
.
При в силу непрерывности функции приращение тоже стремится к нулю; поэтому точка неограниченно приближается по кривой к точке , а секущая , поворачиваясь около точки , переходит в касательную. Угол , т. е. .
Следовательно, .
Поэтому угловой коэффициент касательной равен
. (1.2)
Рис. 1.3
К нахождению пределов вида (1.1) и (1.2) приводят решения и множества других задач. Можно показать, что:
– если — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время , то сила тока в момент времени равна
;
– если — количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время , то скорость химической реакции в момент времени равна
; (1.3)
– если — масса неоднородного стержня между точками и , то линейная плотность стержня в точке есть
. (1.4)
Пределы (1.1)–(1.4) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:
; ; ; ;
(читается « равно штрих по », «тангенс равен штрих по » и т. д.).