Учебное пособие 1920
.pdfи удовлетворяет граничному условию
u( , ) R u*( ).
Частные решения нашего уравнения будут вида u(ρ,θ)=X(ρ)Y(θ),
ограниченные при ρ=0, θ=0, θ=π, находятся из уравнений:
2 X ( ) 2 X ( ) X( ) 0
Y ( ) ctg Y ( ) Y( ) 0.
Первое уравнение с помощью замены переменной cosθ=t приводится к уравнению Лежандра
|
2 |
|
2Y |
|
Y |
|
|
(1 t |
|
) |
|
2t |
|
Y 0. |
|
|
t2 |
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
||
Поэтому уравнение имеет решения, ограниченные в точ- |
|||||||
ках θ=0, θ=π только при |
λ=n(n+1), и этими решениями явля- |
||||||
ются функции Yn( ) Pn(cos ), |
где Pn(t) - многочлен Лежан- |
||||||
дра n-ого порядка. Второе уравнение при |
λ=n(n+1), имеет ре- |
||||||
шение Xn ( ) n, ограниченное в точке |
ρ=0. Следовательно, |
частные решения уравнения, ограниченные при ρ=0, θ=0, θ=π,
имеют вид un( , ) nPn(cos ), n=1,2,3,…. Решение задачи Дирихле в этом случае находится в виде ряда
u( , ) An nPn(cos ).
n 0
Коэффициенты этого ряда находятся так, чтобы выполнялось граничное условие. Полагая в равенстве ρ=R, получим
|
|
|
|
|
|
u*( ) AnRnPn (cos ). |
|||
|
|
|
|
n 0 |
Отсюда следует, что |
||||
|
|
2n 1 |
2 |
|
An |
|
|
|
0 u*( )Pn(cos )sin d . |
|
2Rn |
80
1.21. Задача Дирихле одномерного и двумерного случаев
А. Найти стационарное распределение температуры U(x) в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня имеем
u x 0 0, u x l 1.
Решим уравнение Лапласа |
|
2u |
0, |
u(x)= |
- об- |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
условий: + |
|
|
щее решение. |
находим из краевыхx |
|
,
0 С10 С2, 1 C1l C2 С2 0,C1 ( 1 0)/l.
Решение u(x) ( 1 0)x/l 0 - стационарное распре-
деление температуры в данном стержне носит линейный характер.
Б. Будем решать задачу Дирихле для уравнения Лапласа, преобразованного заменой x=rcos , y=rsin в уравнение Лапласа в полярных координатах (r, ) точки (x,y):
r2 2u r u 2u 0.r2 r 2
Пусть дан круг радиуса R с центром в полюсе 0 полярной системы координат, на окружности которого задана непрерыв-
ная периодическая функция |
f( ) (полярного угла |
|
||||
Будем искать функцию |
u(r, |
|
|
удов- |
||
|
), гармоническую в круге и[0,2 ]. |
|||||
летворяющую на его |
окружности граничному |
уравнению |
||||
u( , ) |
|
R Ф( )R(r). |
Искомая функция должна |
удовлетво- |
||
|
рять в круге уравнению Лапласа.
Согласно методу Фурье частное решение нашего уравне-
ния ищется в виде произведения u( , ) R Ф( )R(r)..
Подставим это выражение в наше уравнение, получим r2R (r)Ф( ) rR (r)Ф( ) R(r)Ф ( ) 0,
(r2R (r) rR (r))Ф( ) R(r)Ф ( ).
81
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
Разделяем переменные |
|
R |
(r) rR (r) |
|
Ф ( ) |
. |
|
|
|
|
R(r) |
|
|||
|
|
|
|
|
Ф( ) |
Так как левая часть этого равенства не зависит от r, а правая от , то обе они не зависят ни от r, ни от , то есть равны постоянному числу. Тождество возможно лишь в том случае, когда общая величина отношения будет постоянной. Обозначим эту величину через . Приравнивая каждую часть полученного равенства к постоянной , получаем обыкновенные дифференциальные линейные однородные уравнения:
Ф ( ) Ф( ) 0, r2R (r) rR (r) R(r) 0.
Параметр λ=const. Отсюда, если λ=0, то уравнения принимают вид r2R (r) rR (r) 0, Ф ( ) 0.
Их решения: Ф( )=A0+B0 ; R(r)=C0+D0lnr, A0, B0, C0, D0 –
постоянные.
Если же λ>0, то будет решение вида
Ф( )=A cos k +B sin k .
Решение уравнения Эйлера будем искать в виде R(r)=rm.
Подставляя его в соответствующее уравнение, получим r2m(m-1)rm-1+rmrm-1-k2rm=0. Или (m2-k)rm =0, т. е. m1,2=± .
Итак, имеется два линейно независимых частных решения R1=rk и R2=r-k; их линейная комбинация с константами
даст общее решение уравнения:
R(r)=C rk + D r –k, C,D=const.
Подставим общие решения Ф( ) и R(r) в соответствующие формулы.
Получим функции u0(r, )=(A0+B0 )(C0+D0lnr) при k=0, uk(r, )=(A0+B0 )(C0+D0lnr), которые будут частными решениями уравнения. Получено множество частных решений уравнения Лапласа:
u0(r, )=a0/2, uk(r, )=(ak cos k +bk sin k )rk, k=1,2,3, …, непрерывных в круге.
Решение задачи Дирихле можно искать в виде функции
82
u(r, ) a0 /2 rn(an cos(n ) bn sin(n )).
n 1
Подберем произвольные постоянные a0, an, bn так, чтобы выполнились граничные условия.
При r=R имеем u( , ) R f ( ), то есть
f ( ) a0 /2 Rn(an cos(n ) bn sin(n )).
n 1
Для выполнения равенства нужно, чтобы функция f( ) разлагалась в ряд Фурье на интервале (-π,π) и чтобы anRn и bnRn были ее коэффициентами Фурье, то есть вычислялись по формулам
= |
1 |
( ) |
; |
||
= |
1 |
|
( ) cos( |
) ; |
|
= |
1 |
|
( )sin( |
) . |
Таким образом, получим формулурешения задачи Дирихле
1 |
|
2 |
m |
r n |
|||||||||
u(r, ) |
|
|
f (t)dt |
|
|
|
|
|
f (t)cos(n(t ))dt |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 R |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
m |
r n |
|||||||
|
|
|
|
f (t){1 2 |
|
|
|
|
cosn(t )}dt. |
||||
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 R |
|
Используя формулу Эйлера cos(at)=(exp(iat)+exp(-iat))/2 и формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:
m |
|
r n |
m |
|
r n |
m |
|
r n |
|
|||
1 2 |
|
|
cosnt 1 2 |
|
|
exp(i nt) 2 |
|
|
exp( i nt). |
|||
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
R |
n 0 |
|
R |
n 0 |
|
R |
|
83
Отсюда имеем решение задачи Дирихле для круга радиу-
са R:
u(r, ) |
1 |
|
(R2 r2)f (t) |
dt,, |
|||
|
|
|
|
|
|||
2 |
R2 |
r2 |
2Rrcos(t ) |
||||
|
|
где интеграл, стоящий в правой части, называется интегралом Пуассона.
Вывод: Решение задачи Дирихле для круга находят в виде ряда, где коэффициенты вычисляются по формулам, либо через интеграл Пуассона находится решение данной задачи.
2. КЛАССИФИКАЦИЯУРАВНЕНИЙВТОРОГОПОРЯДКА
2.1. Типы уравнений второго порядка
Рассмотрим уравнение второго порядка
n |
2u |
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
||
ai,j x,...,xn |
|
|
f |
|
,...,xn |
,u, |
|
,..., |
|
|
|
0. |
x x |
|
x |
x |
|
||||||||
j |
x1 |
|
|
|||||||||
i, j 1 |
i |
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
Коэффициенты aij - заданные функции в области D пространства (x1, ...xn),, причем аij=аji. Функции и независимые переменные будут вещественными.
Возьмем определенную точку (x01 ..., x0n) в области D и рассмотрим квадратичную форму
n
aij x01,..., x0n titj .
i, j 1
Уравнение будет эллиптическим в точке (x01,…,x0n), если в этой точке квадратичная форма положительно или отрицательно определенная.
Уравнение будет гиперболическим в точке (x01,…,x0n), если в этой точке квадратичная форма при преобразовании ее к сумме квадратов содержит все коэффициенты (кроме одного) одного знака, а оставшийся коэффициент имеет противоположный знак.
84
Уравнение называется ультрагиперболическим в точке (x01,…,x0 n), если в этой точке квадратичная форма при ее преобразовании к сумме квадратов будет содержать больше одного положительного коэффициента или больше одного отрицательного и все коэффициенты не равны нулю.
Уравнение относится к параболическому типу в точке (x01,…,x0 n), если в этой точке квадратичная форма при ее преобразовании к сумме квадратов будет иметь один коэффициент равный нулю, остальные коэффициенты имеют одинаковый знак.
Уравнение относится к эллиптическому типу, гиперболическому типу и т. д. в области D, если во всех точках области оно будет эллиптическим, гиперболическим и т. д.
Если aij постоянны, то принадлежность уравнения к тому или иному типу не зависит от значений независимых переменных. Уравнение Лапласа будет эллиптическим, волновое уравнение – уравнением гиперболическим, уравнение теплопроводности – уравнением параболического типа.
2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Пусть имеется уравнение с постоянными коэффициентами
n |
2u |
|
n |
u |
cu f x1,...,xn . |
|
aij |
|
|
bi |
|
|
|
x x |
j |
x |
i |
|||
i, j 1 |
i |
i 1 |
|
|
Введем вместо (x1,…,xn) новые независимые переменные
n
(ξ1,…,ξn) по формуле k ckixi k 1,2,...,n .
i 1
Предполагается, что преобразование неособое, т. е. определитель |cki| отличен от нуля. Тогда можно вычислить производные от старых переменных через новые переменные:
u |
n |
u |
|
2u |
|
n |
2u |
|
|
||||
|
cki |
|
|
, |
|
|
|
ckiclj |
|
|
|
|
. |
x |
|
k |
x |
x |
j |
|
k |
|
|
||||
i |
k 1 |
|
|
i |
|
k,l 1 |
|
|
l |
85
В новых координатах уравнение примет вид
n |
|
2 |
u |
|
n |
u |
cu f1 1,..., n , |
|||
akl |
|
|
|
bi |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
k,l 1 |
k |
l |
i 1 |
|
i |
|||||
|
|
|
|
n
где akl aijckiclj. l, j 1
Формулы преобразования коэффициентов для вторых производных от функции u при замене независимых переменных совпадают с формулами преобразования коэффициентов
n
квадратичной формы aijtitj , если в нее ввести линейное
k, j 1
n
преобразование ti cki k , i 1,2,...,n , приводящее к виду
k 1
n
akl k l. В линейной алгебре получено, что можно подоб-
k,l 1
рать коэффициенты cik так, что квадратичная форма будет
n
иметь вид k 2k , или akl=0 при k≠l и akk= λk. При этом коэф-
k 1
фициенты λk равны ±1 или нулю. Знак λk определяет тип уравнения. Уравнение в новых координатах имеет вид
n |
|
2 |
u |
n |
u |
cu f1 1,..., n . |
|
k |
|
bi |
|||||
|
2 |
|
i |
||||
k 1 |
k |
i 1 |
|
||||
|
|
|
|
Полученное уравнение называется каноническим. Пусть все λk отличны от нуля (уравнение не параболиче-
ское). В этом случае можно путем преобразований освободиться от производных первого порядка, для этого вместо u введем функцию v:
|
1 |
n |
bk |
|
||
|
|
|||||
u ve 2 |
|
k . |
||||
|
||||||
|
|
k 1 |
|
k |
||
|
|
|
86
Подставим это в основное уравнение, получим уравнение
вида
n |
|
2 |
v |
c1v f2 1,..., n . |
k |
|
|||
|
|
2 |
||
k 1 |
k |
|
Уравнения эллиптического типа имеют все λk=l или λk=-1 (можем считать, что все λk=1). Всякое линейное уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами всегда можно привеcти к виду
n 2u
k 1 xk2 c1u f x1,...,xn .
Для гиперболических уравнений имеем (n + 1) независимых переменных, и пусть ξn+1=t. Тогда линейное гиперболическое уравнение с постоянными коэффициентами будет:
|
2 |
u |
n |
|
2 |
u |
c2u f3 x1,...,xn ,t . |
|
|
|
|||||
t |
2 |
|
|
2 |
|||
|
k 1 |
xk |
|
Для уравнения с переменными коэффициентами для каждой точки (x01,…,x0n) области D можно ввести преобразование независимых переменных, приводящее наше уравнение к каноническому виду в этой точке.
Для каждой точки (x01,…,x0n) имеется преобразование независимых переменных, приводящее уравнение к каноническому виду; а для других точек преобразование может не иметь канонический вид.
2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными
Пусть имеем квазилинейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными
|
2u |
|
2u |
|
2u |
|
u |
|
u |
|
|||
A |
|
|
2B |
|
C |
|
|
F x, y,u, |
|
, |
|
|
0, |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
x |
|
x y |
|
y |
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
87
где коэффициенты A, В, С – функции от х и у, имеют непрерывные производные до второго порядка включительно.
Предполагается, что A, В, С не будут одновременно нулями. Тогда уравнению соответствует квадратичная форма
At12 2Bt1t2 Ct22.
Дифференциальное уравнение будет:
1)гиперболическим, если В2-AС> 0 (квадратичная форма знакопеременная);
2)параболическим, если В2-AС = 0 (квадратичная форма знакопостоянная);
3)эллиптическим, если В2-AС <0 (квадратичная форма знакоопределенная).
Вместо (х,у) рассмотрим новые независимые переменные
(ξ,η). Пусть x, y , |
x, y - дважды непрерывно диф- |
||||||||
ференцируемые функции и якобиан |
|
|
|
|
|
|
|||
|
D , |
|
|
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
y |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D x, y |
|
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
вобласти D.
Вновых переменных ξ и η наше уравнение имеет вид
|
|
2u |
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
|
u u |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
2B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
F , ,u, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
0, |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
A , A |
|
|
|
|
2B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
, C , A |
|
|
2B |
|
|
|
|
C |
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||||||||||
B , A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Непосредственной подстановкой можно проверить, что |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
B2 AC B2 AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
88
Преобразование независимых переменных не меняет типа уравнения. Покажем, что две функции ξ(х, у) и η(х, у) можно выбрать так, чтобы выполнялось одно из условий:
1) A=0, С=0; 2) A=0, В=0; 3) A=С, В=0.
Тогда преобразованное основное уравнение примет наиболее простой вид.
1. В области D уравнение будет гиперболическим, если
В2-AС > 0.
В точке (x0,y0) и ее окрестности можно будет привести уравнение к каноническому виду (для А≠0, или С≠0).
Рассмотрим уравнение
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
A |
|
|
2B |
|
|
|
C |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
x y |
|
|
|
|
||||
|
|
y |
|
|
|
Пусть А≠0. Так как B2 - AС> 0, то уравнение примет вид |
|||||||||||||||||||||||
A |
B B2 AC |
|
|
A |
|
|
B |
B2 AC |
|
|
|
0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||
|
|
Одно уравнение распадается на два: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
B |
|
|
|
0; A |
|
B |
|
|
|
0. |
|||||||||||||
A |
B2 AC |
B2 AC |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
y |
Для интегрирования уравнений составим для них системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dx |
|
|
dy |
|
, |
dx |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A B |
B2 AC A |
B |
B2 AC |
|
или
Ady B B2 AC dx 0,Ady B B2 AC dx 0.
Это уравнение можно записать в виде
Ady2 2Bdxdy Cdx2 0.
Коэффициенты этих уравнений имеют непрерывные частные производные до второго порядка. Так как А(x0,y0)≠0, то существуют интегралы φ1 x,y const, φ1 x,y const урав-
нений и левые части имеют непрерывные частные производ-
89