Учебное пособие 1920
.pdf0.5 |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
х, м |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
, рад |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
-0.50 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 t, c |
Рис. 2.17. Результаты проверки оптимального управления (2.29) на имитационной модели системы регулирования
2
F, Н
0
-2
10
х, м
5
0
0.5
, рад
0 |
|
|
|
|
|
-0.50 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 t, c |
Рис. 2.18. Иллюстрация эмпирического способа импульсного управления объектом
Решение задачи оптимального движения объекта при ограничениях на управление.Принцип максимума Понтрягина
При рассмотрении задач 1 и 2 отмечалось, что найденные экстремали могут потребовать для своей реализации техниче-
150
ски недопустимых значений управляющих воздействий, т. е. в условие задачи необходимо вводить соответствующие ограничения.
Задачи с ограничениями могут быть решены с помощью уравнения Эйлера, однако в том случае, если уравнения движения объекта представимы в нормальной форме Коши и являются линейными относительно управления, то целесообразно воспользоваться другим методом вариационного исчисления – принципом максимума.
Рассмотрим примеры таких задач.
Задача 3. Вернёмся к задаче 1, где рассматривался электропривод поворота платформы экскаватора, для которой требовалось найти закон управления током i(t) двигателя, обеспечивающего поворот платформы за заданное время Т на известный угол с минимальными затратами энергии.
Введём в эту задачу ограничение на управление:
|i(t)| Imax,
где для конкретного примера примем Imax=200 А. Исходные уравнения движения электропривода:
|
d2 |
|
|
|
|||
J |
|
|
Mc |
сm |
i; |
||
dt2 |
|||||||
|
|
|
|
||||
|
di |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
L |
|
|
iR E u |
|
|||
|
|
|
|||||
|
dt |
|
|
|
(обозначения см. в задаче 1) перепишем в явном виде относительно регулируемой величины (t) и управления i(t):
|
cm |
i |
Mc |
. |
(2.30) |
|
|
||||
|
J |
J |
|||
|
|
|
|
Вводя обозначения х1= ; x2 , перейдём к нормальной
форме Коши:
|
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
Mc |
(2.31) |
||
|
|
|
|
cm |
i |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
x |
|
|
J |
||||||
|
|
|
|
J |
|
|
|
151
Минимизируемый функционал задачи:
T |
|
Q i2(t)dt min |
(2.32) |
0 |
|
включим в число фазовых координат х
x0(t) i2(t). (2.33)
Составим вспомогательную функцию – гамильтониан Н:
2 |
0i |
2 |
1x2 |
|
cm |
i |
Mc |
||
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
max. (2.34) |
|||
|
|
|
|||||||
H i xi |
|
J |
J |
||||||
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Найдём максимум для (2.34), не учитывая ограничение на управление.
Для определения функции i(t), доставляющей экстремум гамильтониану, запишем необходимое условие существования
экстремума |
H |
0, или 2 0i |
2cm |
0 , откуда |
|
||
i |
|
|
|||||
|
|
|
J |
|
|||
|
|
i(t) |
2(t)cm |
. |
(2.35) |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
2 0(t)J |
|
Для нахождения в выражении (2.35) неизвестных функций 0(t) и 2(t) воспользуемся известным соотношением между неопределёнными множителями i(t) и гамильтонианом
Н:
d i H . dt xi
Для H вида (2.34) последнее соотношение образует систему трёх дифференциальных уравнений:
d 0 H 0; dt x0
d 1 |
|
H |
0; |
(2.36) |
dt |
|
|||
|
x1 |
|
d 2 H 1. dt x2
152
Из (2.36) получаем выражения для i:
|
|
|
|
|
0 |
const с0; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 const с1; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
dt с |
2 |
c t, |
|
|||||
и далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
c1t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t) |
a |
a |
t, |
(2.37) |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2c0J |
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где a |
c2 |
; |
a |
2 |
|
c1 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
2c0J |
|
|
|
|
|
2c0J |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (2.37) является искомой экстремалью для управляющего воздействия i(t), обеспечивающего минимум функционалу (2.32). Эта экстремаль найдена с использованием принципа максимума для гамильтониана Н.
Для того чтобы сравнить (2.37) с аналогичным результатом (2.12), полученным с помощью уравнения Эйлера, найдём неизвестные параметры а1 и а2, входящие в (2.37).
Интегрируем (2.30) с учётом (2.37):
|
|
|
|
|
|
|
cm |
|
|
Mc |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
dt |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dt |
J |
J |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.38) |
|||||
c |
|
|
|
M |
|
|
|
|
c |
|
a |
|
|
|
c |
a |
M |
|
|||||
m |
a1 |
a2t |
c |
|
|
|
m |
2 |
|
|
c |
|
|||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
m 1 |
|
|
t a3. |
|||||||
|
|
J |
|
|
|
|
2J |
|
|
|
J |
|
|||||||||||
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
Для нахождения неизвестных коэффициентов а1, а2 и постоянной интегрирования а3 обратимся к граничным условиям задачи:
T
(0)=0, (Т)=0, (t)dt .
0
Получим систему уравнений
153
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
c |
|
a |
|
|
c |
a |
M |
|
|
|
|
|
||||||
|
m |
2 |
T2 |
c |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
1 |
|
|
|
T a3 0; |
|||||||||
|
2J |
|
|
J |
|
|
J |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
c |
m |
a |
2 |
T3 |
c |
a |
M |
c |
|
T2 |
||||||||
|
|
|
|
|
m |
1 |
|
|
|
|
|
|
a3T , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
6J |
|
|
|
J |
|
|
|
|
J |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение которой
a |
6J |
M |
|
|
1 |
; |
a |
|
|
12J |
|
1 |
; |
a |
|
0, |
||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
T3 |
|
|
|||||||||||||
1 |
T2 |
|
|
|
cm |
|
2 |
|
|
cm |
|
3 |
|
приводит к выражениям (2.39) и (2.40), полностью совпадающим с соответствующими экстремалями (2.11) и (2.12), полученными с помощью уравнения Эйлера в задаче 1:
|
(t) |
6 |
t2 |
6 |
t , |
|
(2.39) |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
T3 |
|
|
T2 |
|
|
|
|||
1 |
|
12J |
|
6J |
|
|
(2.40) |
|||||||
i(t) |
|
|
|
|
t |
|
|
|
Mc . |
|||||
|
T3 |
T |
2 |
|
||||||||||
|
cм |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, мы показали, что принцип максимума позволяет решать вариационные задачи без ограничений на управление и даёт те же результаты, что и уравнения Эйлера.
Учтём теперь наличие ограничения |i(t)| Imax.
Анализ выражения (2.34) для гамильтониана показывает, что при 0(t) 0 его максимум достигается при максимальных по модулю значениях управления |i(t)|=Imax, точнее, если
i(t)=Imaxsign( 2). (2.41)
Из (2.41) следует, что экстремаль i(t) имеет кусочнопостоянную форму (структуру), причём в силу вещественности корней характеристического уравнения для (2.30)
p2=0; p1,2=0 i(t) имеет два интервала постоянства.
154
Для получения неизвестной функции 2(t), входящей в (2.41), воспользуемся системой уравнений (2.36), из которой2(t)=с2-с1t, и окончательно
i(t)=Imaxsign(с2-с1t); 0=с0 0.
Для определения параметров с1 и с2 закона управления можно снова воспользоваться граничными условиями (0)=0,
T
(Т)=0, (t)dt , однако неизвестный коэффициент с0 не
0
входит в выражения для i(t) и (t) и останется неопределённым, т. е. исходная предпосылка о том, что 0 0, не может быть подтверждена, и наше предположение о структуре управления вида (2.41) обосновать не удаётся.
Таким образом, наша попытка сформировать с помощью принципа максимума оптимальное управление i(t) с учётом ограничения |i(t)| Imax завершилась неудачей и была предпринята с учебными целями для иллюстрации основного условия применимости этого метода – линейности уравнений движения и функционала Q относительно управления. Это условие, как следует из (2.32) и (2.33), в поставленной задаче не выполняется. Вместе с тем нелинейность уравнения (2.33) не является препятствием для решения задачи с помощью уравнения Эйлера.
Для этого неравенство |i(t)| Imax преобразуем в ограниче- ние-равенство путём введения дополнительной переменной z
(для i(t) 0):
i(t)=Imax-z
или
i-Imax+z2=0. (2.42)
В результате задача поиска минимума функционала
T |
|
|
T |
|
|
Q |
i |
2 |
|
2 |
dt min |
|
(t)dt J Mc |
|
|||
0 |
|
|
0 |
|
|
должна содержать два ограничения равенства:
155
T
(t)dt ; i-Imax+z2=0.
0
Составим функцию Лагранжа:
F i2 1 2(t) i Imax z2 ,
или
F J Mc 2 1 2(t) J Mc Imax z2 . (2.43)
Сформировав указанным образом функцию Лагранжа, мы получаем классическую вариационную задачу без ограничений. Решим её с помощью уравнений Эйлера для двух переменных и z:
|
F |
d |
F |
|
||
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
||||
|
|
dt |
|
|||
|
|
(2.44) |
||||
F |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
0. |
|
|
||
|
z |
|
|
|
|
С учётом изопериметрического условия получим:
|
d |
2J |
|
|
2(t)J 1 2J |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
||
dt |
|
2JMc |
|
2J 0; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.45) |
2 2z 0; |
|
|
|
|
|
T
(t)dt .
0
Система трёх уравнений (2.45) для четырёх неизвестных(t), z(t), 1, 2(t) содержит одну свободную переменную, в качестве которой удобно взять 2=const.
Тогда (2.45) распадается на два независимых уравнения:
1 2J2 0
с решением |
|
|
t2 c t |
c |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4J 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
J |
|
Mc |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(2.46) |
i(t) |
|
|
|
|
|
|
|
t c |
M |
|
||||||
|
cm |
|
|
|
|
c |
||||||||||
|
|
cm |
|
|
cm 2J |
2 |
1 |
|
|
|
156
полученным ранее в (2.9) –(2.12); и уравнение z=0 или i(t)=Imax.
Аналогично, для i(t) 0 запишем i(t) -Imax, или i+Imax-z2=0, и придём к равенству i(t)=-Imax.
Общее решение
|i(t)|=Imax. (2.47)
Вид полученного решения (2.46), (2.47) свидетельствует о том, что искомый экстремум функционала Q достигается на кривых, составленных из фрагментов экстремали (2.46) и отрезков границы допустимой области (2.47), и для завершения решения задачи осталось найти точки перехода (сопряжения) от экстремали к границе и обратно.
Рассмотрим общий случай такого перехода, когда имеются две точки сопряжения (рис. 2.19).
i, A |
i(t)(2.47) |
|
Imax |
|
i(t)(2.46) |
|
|
|
|
|
T |
|
t1 |
t, c |
|
t2 |
-Imax
i(t)(2.47)
Рис. 2.19. Общий случай сопряжения экстремали (2.46) и границ допустимой области (2.47)
Из рис. управления i(t):
i(t)
2.19 вытекает структура оптимального
Imax, |
0 t t1; |
|
|
|
|
||||||||
t |
2 |
t |
|
|
|
2I |
max |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
Imax |
|
|
t, |
t1 |
t t2 |
; |
||||
|
|
|
t1 |
t2 t1 |
|||||||||
t2 |
|
|
|
|
|
|
(2.48) |
||||||
I |
max |
, t |
2 |
t T; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
T t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
157
Определим неизвестные параметры t1 и t2 в (2.48). Из граничных условий (0)=0, (Т)=0 следует, что
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.49) |
|||
|
(t)dt 0. |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
(Напомним, что |
|
|
|
|
(T) (0) 0). |
||||
|
|
|
|||||||
(t)dt (t) |
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в (2.49) соотношение |
|
||||||||
|
|
|
cm |
|
Mc |
|
|
||
|
|
|
|
|
i |
, |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
J |
|
J |
|
(см. (2.30)), придём к интегралу
|
|
|
|
cm |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
c |
m |
t1 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J |
Imaxdt i(t |
||||
|
|
t1 |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
Mc |
T |
|
|
|
|
i(t)dt |
dt |
|
|
|
|
|||
J |
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
M |
c |
T |
|
)dt |
|
( Imax )dt |
|
|
dt 0. |
|||
J |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
t2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
Поскольку из условия сопряжения участков экстремали i(t1)=Imax; i(t2)=-Imax, то
t2
i(t)dt 0,
t1
и (2.49) получит вид
|
|
сmImax |
t |
|
t1 |
|
сmImax |
t |
|
T |
|
Mc |
t |
|
T |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
J |
|
0 |
|
J |
|
t2 |
|
|
J |
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
сmImax |
t |
|
сmImax |
(T t |
|
) |
Mc |
T 0, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
J |
1 |
|
|
|
J |
|
|
2 |
|
|
J |
|
|
|
|
или
cmImax(t1-(T-t2))=McT. (2.50)
Из (2.50), в частности, следует, что с ростом момента сопротивления Мс значение t2 приблизится к Т и участок экстремали с i(t)=-Imax исчезнет.
158
Для определения двух неизвестных t1 и t2 одного уравнения (2.50) недостаточно, и в качестве второго уравнения используем граничное условие
T
(t)dt .
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cm |
|
|
|
Mc |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
dt |
имеем |
|
|
||||
Поскольку (t) (t)dt |
J |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
||
c I |
max |
|
|
|
M |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
t, |
|
0 t t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Imax |
|
|
|
|
Mc |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
cm |
|
|
|
I |
max |
t |
|
t2 |
|
|
|
t c , |
t |
t t |
; |
(2.51) |
|||||||||||||||||||
|
|
t |
|
t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(t) J |
|
t |
2 |
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
|
|
J |
1 |
1 |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
c |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m |
max |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t c |
|
, |
t |
|
t T; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
T t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где постоянные интегрирования с1 и с2 определяются из условий сопряжения участков экстремали в точках t1 и t2:
cm I max |
|
|
M |
c |
|
|
|
|
cm |
|
|
t2 |
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
I max |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I max |
t1 |
|
|
|
t1 |
|
|
||||
|
J |
J |
|
|
J |
|
t2 |
|
t1 |
|
t2 t1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
cm I max |
|
|
|
M |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
cm |
|
t2 |
|
t1 |
|
|
|
|
I max |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
I max t2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
t1 |
t2 t1 |
||||||||||||||||||||
|
|
J |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
M c t1 c1 ;
J
|
2 |
|
|
M c |
|
|
|
t |
|
|
t |
|
c1 , |
||
2 |
|
J |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
откуда
|
|
c |
m |
I |
max |
|
|
M |
c |
|
|
|
|
|
c |
m |
t |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
I |
max |
t2 |
|
|
|
M |
c |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
I |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
J |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t |
2 |
t |
max |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
c |
m |
I |
max |
|
|
|
M |
c |
|
|
|
|
|
|
c |
m |
t |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
I |
max |
|
|
2 |
|
|
|
|
M |
c |
|
|
|
|
|||||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
I |
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
c . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
J |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
J |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
J |
|
t |
2 |
t |
|
max |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что постоянная с2 может быть найдена из (2.51) и граничного условия (Т)=0, т. е.
|
c |
m |
I |
max |
|
M |
c |
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
Т. |
|||
|
|
|
|
J |
|
||||
|
|
|
J |
|
|
Интегрируем (2.51) по участкам [0;t1], [t1;t2], [t2;T]:
159