Методическое пособие 704
.pdfЗАДАЧА |
80. Найдите |
координаты |
вектора |
x |
в базисе |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 , e2 , e3 . |
|
|
|||
B : e1, e2 , e3 , если он задан в базисе B : |
|
|
|||||||||||
1) |
|
|
5e1 2e2 4e3 , |
|
8e1 3e2 7e3 , |
|
4e1 |
e2 4e3 , |
|||||
e1 |
e2 |
e3 |
|||||||||||
|
|
x (9, 3, 7) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
|
|
7e1 2e2 9e3 , |
|
|
3e1 e2 4e3 , |
|
|
2e1 |
e2 2e3 , |
|||
e1 |
e2 |
|
e3 |
||||||||||
|
|
x (6, 5, 3) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
|
|
2e1 2e2 3e3 , |
|
|
6e1 3e2 7e3 , |
|
|
e1 |
2e2 2e3 , |
|||
e1 |
e2 |
e3 |
|||||||||||
|
|
x (4, 9,8) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
|
|
3e1 4e2 5e3 , |
|
2e1 e2 2e3 , |
|
|
3e1 |
5e2 6e3 , |
||||
e1 |
e2 |
|
e3 |
||||||||||
|
|
x (6, 4, 7) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
|
|
e1 2e2 e3 , |
|
e1 3e2 2e3 , |
|
|
2e1 |
3e2 4e3 , |
||||
e1 |
e2 |
|
e3 |
||||||||||
|
|
x (8, 6,1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
|
|
7e1 4e2 e3 , |
|
12e1 8e2 3e3 , |
|
|
|
|
|
|||
e1 |
e2 |
|
e3 5e1 3e2 e3 , |
||||||||||
|
|
x (6, 2,1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
|
|
5e1 2e2 2e3 , |
|
e1 e2 e3 , |
|
|
3e1 |
2e2 e3 , |
||||
e1 |
e2 |
|
e3 |
||||||||||
|
|
x (9,10,1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8) |
|
|
|
|
|
4e1 3e2 2e3 , |
|
|
3e1 2e2 2e3 , |
||||
e1 |
7e1 5e2 3e3 , e2 |
e3 |
|||||||||||
|
|
x (11, 8, 1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9) |
|
|
2e1 5e2 11e3 , |
|
|
3e1 7e2 16e3 , |
|
|
e1 3e2 7e3 , |
||||
e1 |
e2 |
e3 |
|||||||||||
|
|
x (4, 5,10) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10) |
|
|
e2 2e3 , |
|
8e1 4e2 5e3 , |
|
5e1 2e2 3e3 , |
||||||
e1 3e1 |
e2 |
e3 |
|||||||||||
|
|
x (10, 6, 5) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11) |
|
|
4e2 3e3 , |
|
e1 e2 e3 , |
|
|
5e1 |
2e2 |
e3 , |
|||
e1 8e1 |
e2 |
|
e3 |
||||||||||
|
|
x ( 8,1, 2) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12) |
|
|
|
|
e1 6e2 8e3 , |
|
|
e1 |
5e2 |
6e3 , |
|||
e1 e1 7e2 9e3 , |
e2 |
|
e3 |
||||||||||
|
|
x (2,8, 7) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13) |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
e1 3e1 4e2 2e3 , |
e2 e1 e2 e3 |
e3 7e1 8e2 5e3 , |
x ( 4, 6, 3) ;
161
14) |
|
6e1 2e2 |
9e3 , |
|
4e1 e2 |
5e3 , |
|
|
|
|
e1 |
e2 |
|
e3 5e1 2e2 8e3 , |
|||||||
|
x ( 10, 2, 9) ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
15) |
|
5e1 6e2 |
4e3 |
|
6e1 8e2 5e3 , |
|
|
|
||
e1 |
, e2 |
e3 2e1 e2 e3 , |
||||||||
|
x (7, 9, 5) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16) |
|
8e1 3e2 |
e3 , |
|
5e1 e2 |
e3 , |
|
|
7e1 2e2 |
e3 , |
e1 |
e2 |
e3 |
||||||||
|
x (10, 3,1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
17) |
|
2e1 4e2 e3 , |
|
5e1 9e2 |
3e3 , |
|
|
2e1 3e2 |
2e3 , |
|
e1 |
e2 |
e3 |
||||||||
|
x (6, 9, 5) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18) |
|
2e1 6e2 5e3 |
|
3e1 8e2 7e3 , |
|
e1 5e2 4e3 , |
||||
e1 |
, e2 |
e3 |
||||||||
|
x ( 2,11, 9) ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
19) |
|
4e1 4e2 3e3 |
|
5e1 7e2 |
4e3 , |
|
|
e1 2e2 e3 , |
||
e1 |
, e2 |
e3 |
||||||||
|
x (8, 7, 6) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20) |
|
3e1 5e2 |
4e3 |
|
2e1 7e2 4e3 , |
|
e1 6e2 |
3e3 , |
||
e1 |
, e2 |
e3 |
x (2,9,5) .
ЗАДАЧА 81. Выясните, является ли подпространством соответствующего линейного пространства данная совокупность векторов:
1) |
множество матриц вида |
|
a |
b |
где a, b |
, в простран- |
|
|
b |
, |
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
стве квадратных матриц второго порядка; |
|
|
||||
2) |
множество матриц вида |
1 |
a |
где a, b |
, |
в простран- |
|
|
, |
||||||
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
стве квадратных матриц второго порядка; |
|
|
||||
3) |
множество матриц вида |
0 |
a |
где a, b |
, |
в простран- |
|
|
, |
||||||
|
|
b |
a |
|
|
|
|
|
стве квадратных матриц второго порядка; |
|
|
||||
4) |
векторы пространства |
n , у которых координаты с четны- |
|||||
|
ми номерами равны между собой; |
|
|
|
162
5)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в начале координат;
6)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых лежат на данной прямой;
7)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых не лежат на данной прямой;
8) векторы пространства |
n вида (0, x , 0, x , x ,..., x ) ; |
||
|
2 |
4 5 |
n |
9)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых лежат в третьей четверти;
10)векторы линейного пространства, являющиеся линейными комбинациями данных векторов u1, u2 , ... , uk ;
11) |
векторы пространства |
n вида ( , , , ,...) ; |
12) |
векторы пространства |
n , у которых совпадают первая и |
|
последняя координаты; |
|
13) |
векторы пространства |
n , у которых координаты с нечет- |
ными номерами равны нулю;
14)невырожденные матрицы в пространстве квадратных матриц порядка n ;
15)вырожденные матрицы в пространстве квадратных матриц порядка n ;
16) множество многочленов вида a1x a0 в пространстве P[x](3) многочленов степени n 3 ;
17)множество многочленов вида b0 x4 b1x2 b2 в пространстве P[x](5) многочленов степени n 5 ;
18)множество всех симметричных матриц порядка n с действительными элементами;
19)векторы плоскости, параллельные данной прямой;
20)векторы плоскости, ортогональные данной прямой.
163
ЗАДАЧА 82. Найдите размерность и базис суммы и пересечения подпространств A и B , порожденных данными наборами векторов ai и bi соответственно:
1) |
a1 |
(1,1,1,1), |
a2 (1, 1,1, 1), |
a3 (1,3,1,3); |
|
b1 |
(1, 2, 0, 2), |
b2 (1, 2,1, 2), |
b3 (3,1,3,1); |
2) |
a1 (2, 1, 0, 2), |
a2 (3, 2,1, 0), |
a3 (1, 1,1, 1); |
|
|
b1 (3, 1, 1, 0), |
b2 (0, 1, 2,3), |
b3 (5, 2, 1,0); |
|
3) |
a1 (1, 2, 1, 2), |
a2 ( 1, 0,1, 1), |
a3 (3,1,1,1); |
|
|
b1 ( 1, 2, 7, 3), |
b2 (2,5, 6, 5), |
b3 (3,3,1, 2); |
|
4) |
a1 (1,1,0,0), |
a2 (1,0,0, 1), |
a3 (1, 1,1, 1); |
|
|
b1 (3, 3, 1,1), |
b2 (5, 3,1,1), |
b3 (3, 1,1,1); |
|
5) |
a1 |
(1, 2,1, 0), |
a2 ( 1,1,1,1), |
a3 (1,5, 2,1); |
|
b1 |
(2, 1, 0, 1), |
b2 (1, 1, 3, 7), |
b3 (5, 3,3,5); |
6) |
a1 |
(1, 2, 1, 2), |
a2 (3,1,1,1), |
a3 ( 1,0,1, 1); |
|
b1 |
(2,5, 6, 5), |
b2 ( 1, 2, 7, 3), |
b3 (3,3,1, 2); |
7) |
a1 |
(1,1,1,1), |
a2 ( 1, 2, 0,1), |
a3 (0, 1,1, 2); |
|
b1 |
( 1, 1,1, 1), |
b2 (2, 2, 0,1), |
b3 (1,1, 1, 2); |
8) |
a1 |
(1, 2, 0,1), |
a2 (1,1,1, 0), |
a3 (3,7,1, 2); |
|
b1 |
(1, 0,1, 0), |
b2 (1,3, 0,1), |
b3 (0, 3,1, 1); |
9) |
a1 |
(3,1, 3,1), |
a2 (1, 1,1, 1), |
a3 (1, 2,0, 2); |
|
b1 |
(1,1,1,1), |
b2 (1, 2,1, 2), |
b3 (1,3,1,3); |
10) a1 (1,1, 0, 0), |
a2 (0,1,1, 0), |
a3 (0,0,1,1); |
||
|
b1 (1, 2,1, 2), |
b2 (0, 2,1,1), |
b3 (1,0,1,0); |
|
11) a1 (1, 1, 1,1), |
a2 (2, 2, 0, 0), |
a3 (3, 1,1,1); |
164
b1 (1,1,1,1), |
b2 (1,1, 1, 1), |
b3 (1, 1,1, 1); |
|
12) |
a1 (1, 2,0, 2), |
a2 (1,1,0, 1), |
a3 (1, 2,1,1); |
b1 (1, 4, 1, 1), |
b2 (1, 4, 4,8), |
b3 (2,0,1, 1); |
|
13) |
a1 (1, 2, 1,1), |
a2 (2,1, 0, 1), |
a3 (3,3, 2,1); |
b1 (1, 2, 4, 0), |
b2 (1,1,1,1), |
b3 (3, 1,1,1); |
|
14) |
a1 (2,1, 3, 2), |
a2 (4, 2, 6, 2), |
a3 (6,3, 9,3); |
b1 (1, 0,1, 0), |
b2 (0,1, 0,1), |
b3 (1,1,1,1); |
|
15) |
a1 (1,1,1,1), |
a2 (2,1,1, 0), |
a3 (1,0,0, 1); |
b1 (1, 2,3, 4), |
b2 (0,1, 2, 3), |
b3 (3,1,1, 1); |
|
16) |
a1 (1,1,1, 0), |
a2 (1, 1, 1, 1), |
a3 (2, 2,0, 1); |
b1 (1,1, 5, 2), |
b2 (1, 1, 0, 1), |
b3 (2,0,5,1); |
|
17) |
a1 (0,3, 0,3), |
a2 (1,1,1,1), |
a3 (4, 2,3,5); |
b1 (1,1,1, 2), |
b2 (1, 0,1,1), |
b3 (0,1,0,1); |
|
18) |
a1 (5, 1,15, 4), |
a2 (2,5, 6, 5), |
a3 ( 1, 2, 7, 3); |
b1 (1,1,1, 3), |
b2 (2,1, 2, 1), |
b3 (1,0, 1,1); |
|
19) |
a1 (1, 2,1, 3), |
a2 ( 1,8, 6, 5), |
a3 (0,10, 5,8); |
b1 (1, 4, 1,5), |
b2 (3, 2, 6,3), |
b3 (4, 2,5,8); |
|
20) |
a1 (1,1,1,1), |
a2 (1,1,1, 3), |
a3 (1, 2,1,3); |
b1 (1,1, 2, 2), |
b2 (1,1,1, 2), |
b3 (3,3,3,3). |
165
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ЗАДАЧА 83. Пусть x (x1, x2 , x3 ) 3 . Проверьте, являются
ли данные отображения A и B линейными операторами. В случае линейности найдите матрицу оператора в канониче-
ском базисе пространства 3 .
1)Ax (5x1 4x2 3x3, 2x1 x2 x3, x2 2x3 ) , Bx (x1 x2 3, x1 4x2 , x1 x3 ) ;
2)Ax (6x1 5x2 4x3, 3x1 2x2 , x3 ) ,
Bx (2x2 x3, x1 x2 1, x1 x3 ) ;
3)Ax (4x1 3x2 2x3, x1, x1 2x2 ) ,
Bx (x12 2x2 x3 , x1, x1 4x3 ) ;
4)Ax (3x1 2x2 x3, x1, 2x1 3x2 ) ,
Bx (x1 3x2 , x2 x3, x1 2) ;
5)Ax (x1, x2 3x3, 4x1 5x2 6x3 ) ,
Bx (4x1 x2 3x3 , x1 x22 , x3 ) ;
6)Ax (2x1 x2 , 2x3, 3x1 4x2 5x3) , Bx (2x2 x3, x1 3, x1 2x2 4x3 ) ;
7)Ax (2x1 x2 , x2 2x3, 3x1 4x2 5x3 ) , Bx (x1 x2 3x3, 4, x1 2x2 ) ;
8)Ax (x1, x1 2x2 3x3, 4x1 5x2 6x3) ,
Bx (x1, x2 x3 , x32 ) ;
9)Ax (3x1 2x2 x3, x2 , x1 2x2 3x3 ) ,
Bx (x1 5x2 2x3, x1 x3, 9) ;
166
10)Ax (2x1 x2 , x3, x1 2x2 3x3 ) ,
Bx (x1 4x2 x3, 3x1 2x2 x3, 1) ;
11)Ax ( 3x2 x3, x1 x3, x1 3x2 x3 ) , Bx (x1 2x2 x3, x1 2x2 x3, x1) ;
12)Ax (2x1, 5x1 x2 2x3, x2 4x3) , Bx (x1 5x2 x3,5, x1 5x3 ) ;
13)Ax (5x1 4x2 3x3, 2x1 x2 , x3 ) , Bx (x1 3x2 x3, x1 2x2 , 4x1 4) ;
14)Ax (4x1 3x2 2x3, x1, x2 2x3 ) ,
Bx (x2 1, x1 2x2 , 3x1 5x3 ) ;
15) Ax (3x1 2x3 x2 , x2 , x1 2x2 5x3 ) , Bx (x1 5x2 x3, x1 x2 2x3, x1 x2 7) ;
16)Ax (2x1 x2 , x3, 2x1 3x2 4x3 ) , Bx (x1 3x2 x3, 0, x1 5x2 1) ;
17)Ax (x1, x2 2x3, 3x1 4x2 5x3 ) ,
Bx (x1 x22 x3 , x2 x3 , x3 1) ;
18)Ax (3x1 2x2 x3, x3, x1 2x2 3x3 ) , Bx ( x1 x2 3x3, x2 , x1 2x2 3) ;
19)Ax (x2 2x3, 3x1 x3, 5x1 x2 x3 ) , Bx (x1 x2 x3, x2 x3, x2 x3 ) ;
20)Ax (x1 5x2 4x3, x1 2x2 3x3, 4x2 ) ,
Bx ( x12 2x2 x3, x1 x2 3x3, 0) .
167
ЗАДАЧА 84. Для линейного оператора из задачи 83 определите:
а) Является ли этот оператор обратимым? В случае положительного ответа найдите матрицу обратного оператора в ка-
ноническом базисе пространства 3 и укажите явный вид обратного оператора.
б) Найдите образ вектора x ( 1, 2, 3) .
в) Является ли вектор x (0,1, 2) |
собственным вектором этого |
оператора? |
|
ЗАДАЧА 85. В пространстве 3 |
заданы два линейных опера- |
тора A и B : |
|
Ax (x2 x3, x1, x1 x3 ) , |
Bx (x2 , 2x3, x1) . |
Найдите матрицу и явный вид следующего оператора:
1) 2 A 3B2 ; |
2) |
A 2AB ; |
|||
3) |
AB 3A ; |
4) 2B 3A2 ; |
|||
5) |
A(2B A) ; |
6) |
BA 2A; |
||
7) |
A 3B2 ; |
8) |
B(2 A B) ; |
||
9) |
A(B 2 A) ; |
10) |
2( AB 2 A) ; |
||
11) |
B 2 A2 ; |
12) |
3A2 B ; |
||
13) |
2B A2 ; |
14) |
A(B A) ; |
||
15) |
B2 2 A ; |
16) |
B A B2 ; |
||
17) |
B( A B) ; |
18) |
A BA B ; |
||
19) |
3B 2 A2 ; |
20) |
2 A 2B2 . |
168
ЗАДАЧА 86. Линейный оператор задан матрицей в базисе
B : e1 , e2 , e3 . |
Найдите матрицу этого оператора |
в |
|
базисе |
|||||
|
|
|
|
, |
если известны разложения векторов |
|
|
|
по |
B : e1, e2 |
, e3 |
e1, e2 |
, e3 |
базису B (см. задачу 80).
|
1 |
2 |
0 |
|
|||
1) |
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
2 |
1 |
1 |
|
||
4) |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
2 |
1 |
|
|||
7) |
|
0 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
0 |
2 |
|
3 |
||
10) |
|
4 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
1 |
2 |
|
||
13) |
|
3 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
0 |
|
1 |
||
16) |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
1 |
0 |
|
2 |
||
19) |
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
3 |
2 |
|
2) |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|||
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
||
|
1 |
1 |
2 |
||
5) |
|
0 |
2 |
|
|
|
1 |
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|||
|
1 |
0 |
1 |
||
8) |
|
0 |
1 |
|
|
|
2 |
||||
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
0 |
1 |
2 |
11) |
|
4 |
0 |
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
||
|
|
1 |
1 |
0 |
|
14) |
|
0 |
1 |
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
||
|
|
1 |
3 |
0 |
|
17) |
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
1 |
||
|
|
2 |
0 |
1 |
|
20) |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
0 |
1 |
|||
3) |
|
1 |
1 |
|
|
|||
|
0 |
|||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
2 |
1 |
0 |
||||
6) |
|
1 |
|
0 |
|
|
||
|
|
1 |
||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
1 |
|||||
|
2 |
|
|
1 |
0 |
|||
9) |
|
3 |
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
0 |
1 |
||
12) |
|
3 |
0 |
2 |
|
|||
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
0 |
|
0 |
|
15) |
|
1 |
|
1 |
|
|
||
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|||
|
|
2 |
|
1 |
0 |
|||
18) |
|
1 |
|
0 |
|
|
||
|
|
1 |
||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
169
ЗАДАЧА 87. Найдите собственные значения и соответствующие им собственные векторы данной матрицы.
1) |
7 |
2 |
|
||
|
15 |
|
|
||
|
|
4 |
|
||
3) |
22 |
12 |
|
||
|
32 |
|
|
||
|
|
18 |
|
||
5) |
|
|
7 |
2 |
|
|
15 |
|
|
||
|
|
4 |
|
||
7) |
13 |
3 |
|
||
|
36 |
|
|
||
|
|
8 |
|
||
9) |
12 |
10 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
13 |
|
11) |
22 |
12 |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
30 |
16 |
|
13) |
3 |
4 |
|
||
|
12 |
|
|
||
|
|
|
11 |
|
|
15) |
|
37 |
60 |
||
|
18 |
29 |
|
||
|
|
|
|
||
17) |
53 |
40 |
|
||
|
60 |
|
|
||
|
|
|
45 |
|
|
19) |
|
20 |
28 |
||
|
21 |
29 |
|
||
|
|
|
|
2) |
|
|
6 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|||
4) |
4 |
|
2 |
|
|
|
||
|
15 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
7 |
|
|
|
||
6) |
22 |
|
6 |
|
|
|
||
|
84 |
23 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
8) |
21 |
|
12 |
|
||||
|
|
30 |
|
17 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
10) |
|
13 |
|
10 |
||||
|
15 |
12 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||
12) |
25 |
60 |
|
|||||
|
12 |
29 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
14) |
23 |
75 |
|
|||||
|
10 |
32 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
16) |
37 |
|
30 |
|
||||
|
42 |
|
34 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
18) |
36 |
40 |
||||||
|
24 |
|
26 |
|
||||
|
|
|
|
|
13 6 20) 12 4
170